Signification de la dilatation
Ladilatation est une transformation qui redimensionne une pré-image, elle est donc non isométrique.
Ladilatation est une technique de transformation qui est utilisée pour rendre les figures plus grandes ou plus petites sans changer ou déformer la forme.
Le changement de taille se fait à l'aide d'une quantité appelée facteur d'échelle. Ce changement de taille peut être une diminution ou une augmentation selon le facteur d'échelle utilisé dans la question et se fait autour d'un point central donné. Les images ci-dessous montrent un agrandissement puis une réduction d'une forme autour de l'origine.
Fig. 1. Exemple d'agrandissement.
Fig. 2. Exemple de réduction.
Propriétés de la dilatation
Ladilatation est une transformation non isométrique et, comme toutes les transformations, elle utilise la notation de la pré-image (la forme originale) et de l'image (la forme après la transformation).
Le fait d'être non isométrique signifie que cette transformation change la taille, mais qu'elle conserve la même forme.
Les principales caractéristiques des images dilatées par rapport à leurs pré-images sont les suivantes,
- Tous les angles de l'image dilatée par rapport à la pré-image restent les mêmes.
- Les lignes qui sont parallèles et perpendiculaires le restent également dans l'image dilatée.
- Le point médian du côté d'une image dilatée est le même que celui de la pré-image.
Facteur d'échelle de dilatation
Le facteur d 'échelle est le rapport entre la taille de l'image et la taille de la pré-image. Il se calcule comme suit : \[\mbox{facteur d'échelle} = \frac{\mbox{dimensions de l'image}}{\mbox{dimensions de la pré-image}}.\]
La façon dont nous appliquons la dilatation consiste à prendre une pré-image et à changer les coordonnées de ses sommets par un facteur d'échelle \((r)\) donné dans la question.
Nous modifions les coordonnées à partir d'un point central donné. Nous pouvons savoir comment l'image va changer par rapport à la pré-image en examinant le facteur d'échelle. Celui-ci est régi par ,
- L'image est agrandie si le facteur d'échelle absolu est supérieur à 1.
- L'image rétrécit si le facteur d'échelle absolu est compris entre 0 et 1.
- L'image reste la même si le facteur d'échelle est égal à 1.
Le facteur d'échelle ne peut pas être égal à 0.
Si nous avions un facteur d'échelle de \(2\), les sommets de l'image seraient chacun deux fois plus éloignés du point central que ceux de la pré-image et seraient donc plus grands.
Inversement, un facteur d'échelle de \(0,5\) signifierait que chaque sommet serait plus proche de la moitié du point central que les sommets de la pré-image.
Un facteur d'échelle de \(2\) est illustré ci-dessous à gauche, et un facteur d'échelle de \(0,5\) à droite. Le point central des deux images est l'origine et est marqué G.
Fig. 3. Graphique montrant comment le facteur d'échelle affecte l'image autour d'un point central.
Formule de dilatation
Nous distinguons deux cas en fonction de la position du point central.
Cas 1. Le point centralest l'origine.
La formule pour calculer une dilatation est directe si notre point central est l'origine. Nous allons simplement prendre les coordonnées de la pré-image et les multiplier par le facteur d'échelle.
Comme on le voit dans l'exemple ci-dessus, pour un facteur d'échelle de \(2\), nous multiplions chaque coordonnée par \(2\) pour obtenir les coordonnées de chacun des sommets de l'image.
Cas 2. Le point central n'est pas l'origine.
Mais que se passe-t-il si notre point central n'est pas l'origine ? La façon de procéder serait d'utiliser un vecteur pour chaque sommet à partir du point central et d'appliquer le facteur d'échelle. Prenons l'exemple de l'image ci-dessous.
Fig. 4. Graphique illustrant l'approche vectorielle.
Comme tu peux le voir dans l'image ci-dessus, on ne nous donne pas de coordonnées mais des vecteurs allant du point central à chaque sommet. Si ton point central n'est pas situé autour de l'origine, cette méthode permet de résoudre ton problème de dilatation.
Dans l'image ci-dessus, nous avons placé le point central à l'origine pour faciliter le calcul du vecteur de position entre le point central et un sommet. Mais examinons l'image ci-dessous pour voir comment nous pourrions calculer ce vecteur à partir du point central.
Fig. 5. Graphique montrant comment trouver les vecteurs de position.
Dans cette image, nous avons un sommet et le point central pour simplifier le processus. Lorsque nous appliquons cette méthode à une forme, nous répétons le processus entre le point central et chaque sommet.
Pour trouver notre vecteur entre le point central et le sommet, nous partons du point central et comptons combien d'unités le sommet est éloigné du point central horizontalement pour trouver notre valeur \(x\). Si le sommet est à droite du point central, nous considérons qu'il s'agit d'une valeur positive, s'il est à gauche, nous considérons qu'il s'agit d'une valeur négative. Nous procédons ensuite de la même manière, mais verticalement, pour la valeur \(y\), en considérant le haut comme positif et le bas comme négatif. Dans ce cas, le sommet se trouve à 4 unités à droite et à 4 unités en haut du point central, ce qui donne le vecteur position de \(\begin{bmatrix}4\4\end{bmatrix}\).
Nous multiplions ensuite chaque vecteur par le facteur d'échelle pour obtenir un vecteur vers chaque sommet de l'image.
Si le facteur d'échelle est par exemple \N(1,25\N), nous multiplions chaque composante du vecteur par \N(1,25\N) puis, à partir du point central, nous traçons ce nouveau vecteur. Une fois que nous aurons fait cela pour chaque vecteur vers les sommets de la pré-image, nous aurons des vecteurs menant à chaque sommet de l'image.
En termes de notation pour une forme générale, laissons,
- \N(C\N) = Point central
- \(A\) = Sommet de la préimage
- \(\vec{CA}\) = Vecteur du point central au sommet de la pré-image
- \N(r\N) = Facteur d'échelle
- \N(A'\N) = Sommet de l'image
- \(\vec{CA'}\) = Vecteur du point central au sommet de l'image
L'équation mathématique de la dilatation sera donc,\N[\Nvec{CA'}=r\cdot \Nvec{CA}.\N].
Exemples de dilatation
Maintenant que nous comprenons comment fonctionne la dilatation, voyons quelques exemples pour mettre la théorie en pratique.
Centre d'origine
Nous allons d'abord examiner un exemple où le point central est situé à l'origine.
Considérons un carré dont les sommets sont situés à \N((4,4)\N), \N((-4,4)\N), \N((-4,-4)\N) et \N((4,-4)\N). Le point central est à l'origine et le facteur d'échelle est \(r=1,5\). Esquisse l'image sur un graphique.
Solution
Tout d'abord, nous esquissons ce que nous savons d'après la question, comme indiqué ci-dessous.
Fig. 6. Mise en place de l'image préalable.
Comme nous nous basons autour de l'origine, il nous suffit de multiplier les coordonnées par le facteur d'échelle pour recevoir les nouvelles coordonnées. Nous n'avons que \N(4\N) ou \N(-4\N) comme coordonnées, elles deviendront donc \N(6\N) ou \N(-6\N) respectivement comme \N(4\Ncdot 1,5=6\N) et \N(-4\Ncdot 1,5=-6\N). Il en résulterait l'image ci-dessous.
Fig. 7. Croquis de l'image finale.
Facteur d'échelle positif
Voyons maintenant un exemple simple avec un facteur d'échelle positif et un centre qui n'est pas à l'origine.
Considérons un triangle dont les sommets sont situés à \N(X=(0,3)\Nquad Y=(2,4)\Nquad Z=(5,2)\N).
Le point central est défini comme \N(C=(-1,-1)\Net le facteur d'échelle est \N(r=0,75\N). Esquisse la pré-image et l'image sur un graphique.
Solution
Notre première étape consistera à esquisser la pré-image et le point central et à définir nos vecteurs vers chaque sommet.
En examinant les coordonnées, nous pouvons voir que pour passer du point central à \N(X\N), nous devons déplacer \N(1\N) vers la droite et \N(4\N)vers le haut. Cela est dû au fait que \N-(-1\N) à \N(0\N) augmente de un, et \N-(-1\N) à \N(3\N) augmente de quatre. Pour passer à \N- Y\N, nous déplaçons \N- 3\N à droite et \N- 5\N vers le haut, et pour passer à \N- Z\N, nous déplaçons \N- 6\N à droite et \N- 3\N vers le haut.
Fig. 8. Esquisse de la pré-image, du point central et des vecteurs vers chaque sommet.
Maintenant que nous avons notre première esquisse, il ne nous reste plus qu'à appliquer la formule vue précédemment à chaque sommet.\[\begin{align}\vec{CX'}&=r\cdot \vec{u}\&=0.75\cdot \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\&=\begin{bmatrix}0.75\\3\end{bmatrix}\end{align}\]
\[\begin{align}\vec{CY'}&=r\cdot \vec{v}\\&=0.75\cdot \begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}2.25\\3.75\end{bmatrix}\end{align}\]
\[\begin{align}\vec{CZ'}&=r\cdot \vec{w}\\&=0.75\cdot \begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}4.5\\2.25\end{bmatrix}\end{align}\]
Nos nouveaux vecteurs de position étant mis à l'échelle par notre facteur d'échelle, nous pouvons maintenant esquisser notre image.
À partir du point central de \N(-1,-1)\Nnous allons déplacer \N(\Nbut{bmatrix}0,75\N\3\Nend{bmatrix}\N) pour donner les coordonnées de \N(X'\N) comme \N((-0,25,2)\N) à partir du calcul:\N[x=-1+0,75=-0,25\N]\N[y=-1+3=2\N].
For \(Y'\):\[x=-1+2.25=1.25\]\[y=-1+3.75=2.75\]\[Y'=(1.25,2.75)\]
For \(Z'\):\[x=-1+4.5=3.5\]\[y=-1+2.25=1.25\]\[Z'=(3.5,1.25)\]
Nous traçons ensuite nos nouveaux sommets, et nous obtenons l'image ci-dessous. Nous remarquons que l'image est réduite car le facteur d'échelle est inférieur à 1.
Fig. 9. Croquis de l'image et de la pré-image.
Facteur d'échelle négatif
Nous avons vu comment appliquer un facteur d'échelle positif, mais qu'en est-il si tu as un facteur d'échelle négatif ? Voyons ce que cela donnerait.
Considérons un triangle dont les sommets sont situés à \N(X=(0,3)\Nquad Y=(2,4)\Nquad Z=(5,2)\N). Le point central est défini comme \N(C=(-1,-1)\Net le facteur d'échelle est \N(r=-2\N). Esquisse la pré-image et l'image sur un graphique.
Solution
Notre première esquisse de mise en place de la question est la même que celle du dernier exemple. Vois donc le graphique ci-dessous,
Fig. 10. Première esquisse mise en place.
Nous allons maintenant appliquer les mêmes formules mathématiques que la dernière fois pour obtenir nos nouveaux vecteurs, mais cette fois-ci \(r=-2\) :
\[\begin{align}\vec{CX'}&=r\cdot \vec{u}\\&=-2\cdot \begin{bmatrix}1\\4\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}-2\\-8\end{bmatrix}\end{align}\]
\[\begin{align}\vec{CY'}&=r\cdot \vec{v}\\&=-2\cdot \begin{bmatrix}3\\5\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}-6\\-10\end{bmatrix}\end{align}\]
\[\begin{align}\vec{CZ'}&=r\cdot \vec{w}\\&=-2\cdot \begin{bmatrix}6\\3\end{bmatrix}\\&=\begin{bmatrix}-12\\-6\end{bmatrix}\end{align}\]
Nos nouveaux vecteurs de position étant mis à l'échelle par notre facteur d'échelle, nous pouvons maintenant esquisser notre image.
À partir du point central de \((-1,-1)\N- nous déplacerons \N- \N- \N- \N- (\N-{bmatrix}-2\N-8\Nend{bmatrix}\N-) pour obtenir les coordonnées de \N- (X'\N-) comme \N- (-3,-9)\N- \N- \N- à partir du calcul :
\[x=-1-2=-3\]
\[y=-1-8=-9\]
Pour \N(Y'\N) :
\[x=-1-6=-7\]
\[y=-1-10=-11\]
\[Y'=(-7,-11)\]
Pour \N-(Z'\N) :
\[x=-1-12=-13\]
\[y=-1-6=-7\]
\[Z'=(-13,-7)\]
Fig. 11. Croquis avec un facteur d'échelle négatif.
Comme tu peux le voir dans l'image ci-dessus, lorsque nous avons un facteur d'échelle négatif, nous appliquons le même principe qu'un facteur d'échelle positif. La seule différence est que l'image se retrouve de l'autre côté du point central.
Revenir au facteur d'échelle
Ok, nous savons maintenant comment effectuer des dilatations à l'aide de facteurs d'échelle, mais que se passe-t-il si on ne nous donne pas de facteur d'échelle mais les coordonnées du point central, de l'image et de la pré-image ? À quoi cela ressemblerait-il ?
Dilatations - Points clés à retenir
La dilatation est une transformation non isométrique qui consiste à redimensionner une image en fonction d'un facteur d'échelle et d'un point central.
Le facteur d'échelle est défini comme suit:\[\mbox{facteur d'échelle} = \frac{\mbox{dimensions de l'image}}{\mbox{dimensions de la pré-image}}.\N].
Si la valeur absolue du facteur d'échelle est supérieure à un, l'image est agrandie. Si la valeur absolue du facteur d'échelle est comprise entre 0 et 1, l'image est rétrécie.
Le vecteur entre le point central et un sommet de l'image est donné comme suit : [\vec{CA'}=r\cdot \vec{CA},\] où :
- \N(C\N) = Point central
\(A\) = Sommet de la pré-image
\(\vec{CA}\) = Vecteur du point central au sommet de la pré-image
\N(r\N) = Facteur d'échelle
\N(A'\N) = Sommet de l'image
\(\vec{CA'}\) = vecteur du point central au sommet de l'image
- \N(C\N) = Point central
Si le facteur d'échelle est négatif, l'image est située de l'autre côté du point central et redimensionnée de la valeur absolue du facteur d'échelle.
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