Théorèmes de congruence ASA, AAS et HL en géométrie
Qu'est-ce que HL ?
C'est le seul théorème destiné explicitement à déterminer la congruence des triangles rectangles. Mais quelle est la signification de HL ? Cet acronyme signifie "Hypoténuse-Leg". Cela signifie que si l'hypoténuse et la jambe respective sont égales entre deux ou plusieurs triangles, triangles, alors les triangles donnés sont congruents. Tu peux considérer que HL est la même chose que SSS pour les triangles rectangles. Pourquoi penses-tu que c'est le cas ?
Je vais te donner un indice - il y a un célèbre théorème qui explique cela.
Comme tu le sais probablement déjà, c'est à cause du théorème de Pythagore.
Si tu connais deux côtés d'un triangle rectangle, tu peux calculer précisément le troisième côté à l'aide de cette formule. Cela signifie que si deux côtés d'un triangle rectangle sont égaux aux côtés respectifs d'un autre triangle rectangle, les deux triangles sont congruents.
Si tu peux calculer le troisième côté à partir de deux côtés quelconques d'un triangle rectangle, pourquoi cette condition de congruence s'appelle-t-elle HL et non SS (comme dans Side-Side) ?
C'est une excellente question pour tester ta compréhension des triangles rectangles. Peut-être peux-tu trouver la réponse à cette question ?
Tout d'abord, SS pourrait être confondu avec une condition universelle de congruence, pas seulement pour les triangles droits, parce que les lettres sont très similaires à d'autres conditions - SSS, SAS, etc. HL se démarque. Mais c'est assez banal.
La raison principale de la nécessité de l'hypothénuse et de la jambe pour cette condition est que, étant donné un triangle droit avec deux jambes connues, la condition serait SAS, c'est-à-dire Côté-Angle-Latéral. Si cela te semble confus, rappelle-toi que nous parlons de triangles rectangles, ce qui signifie que nous connaissons déjà l'angle entre les deux jambes. Il s'agit d'un angle droit, exactement 90º. Donc, si tu sais que la longueur des deux jambes est égale à celle d'un autre triangle rectangle, les deux triangles sont congruents étant donné la condition SAS.
HL est propre aux triangles droits - SAS est universel à tous les triangles. Il est important de noter que lorsqu'on utilise la condition HL, l'angle entre la jambe et l'hypothénuse peut ne pas être connu et n'est pas nécessaire pour prouver la congruence avec un autre triangle droit.
Il est toujours important de distinguer les jambes de l'hypoténuse afin d'utiliser correctement la condition HL pour évaluer la congruence. Allons plus loin !
Qu'est-ce que l'ASA ?
La signification d'ASA est Angle-Côté-Angle. Ce théorème de congruence dit que si deux triangles ou plus ont un côté égal et des angles égaux aux deux extrémités de ce côté, alors les triangles donnés sont congruents. Regarde l'image ci-dessous pour mieux comprendre :
Deux triangles congruents selon le théorème AAS, StudySmarter Originals
Pour que l'ASA fonctionne, les angles respectifs doivent être égaux et situés de part et d'autre du côté correspondant.
Théorème de congruence AAS
Angle-angle-côté ou AAS en abrégé. Comme son nom l'indique, un angle doit se trouver à l'une des extrémités d'un côté, et l'autre angle est l'angle "libre". Cela signifie que l'angle qui n'est pas attaché à l'une des extrémités du côté respectif sera opposé à celui-ci. Voici une image qui t'aidera à y voir plus clair :
Deux triangles congruents dus à l'AAS, StudySmarter Originals
L'angle "libre" est directement au-dessus du côté correspondant - il n'est pas attaché à l'autre extrémité du côté. L'AAS peut donc être formulé comme suit : si un côté, un angle à l'une de ses extrémités et un angle opposé sont égaux entre deux ou plusieurs triangles, alors ces triangles sont congruents.
Théorème AAS
Le théorème AAS est le même que le théorème de congruence AAS.
Exemples d'ASA, d'AAS et de HL
Voyons comment nous pouvons utiliser ces théorèmes à travers quelques exemples !
Trois triangles droits sont donnés. Ils ont tous des hypoténuses égales. Cela signifie-t-il qu'ils sont tous congruents ? Voici une image pour t'aider à mieux comprendre :
Triangles droits orientés de façon égale, StudySmarter Originals
Comme tu peux le voir, des hypoténuses égales ne signifient pas tout de suite la congruence. Tu dois également connaître la longueur d'au moins une jambe de chaque triangle pour prouver la congruence ou la non-congruence.
Deux triangles droits sont positionnés en face l'un de l'autre comme ceci :
Triangles rectangles à position différente, StudySmarter Originals
Les hypoténuses sont égales, et la branche inférieure du triangle de droite est égale à la branche supérieure du triangle de gauche. Ces triangles sont-ils congruents ?
Comme tu peux le voir, HL peut être utilisé pour prouver la congruence. Pour les deux triangles, l'hypoténuse et la jambe correspondante sont égales. On peut mieux s'en rendre compte en faisant pivoter un des triangles de 180º. Nous pouvons donc dire que
Trois triangles droits sont donnés dans l'image ci-dessous. Ne suppose pas d'unités de mesure, mais seulement des nombres.
Tu trouveras ci-dessous des informations sur les triangles donnés.
ABC : AB = 10, BC = 5
DEF : DE = 10, EF = 5
GHI : IG = 5, HI = 10
La congruence peut-elle être prouvée dans cet exemple ?
Dans cet exemple, la congruence ne peut être prouvée qu'entre les triangles ABC et DEF car IG et HI sont tous deux des branches du triangle GHI - l'hypoténuse GH a une longueur d'environ 11,18.
ABC ≅ DEF
Trois triangles partagent un même côté. On sait que les deux d'entre eux ont des angles respectifs égaux. Les triangles donnés sont-ils tous congruents ?
Trois triangles partageant un côté, StudySmarter Originals
Tous les triangles partagent le côté AB, nous n'avons donc pas besoin de connaître la longueur d'un côté pour continuer à prouver la congruence. Nous ne connaissons pas non plus les angles des triangles donnés, mais nous n'avons pas besoin d'en connaître les valeurs précises non plus. Il suffit de savoir que les deux triangles ont deux angles respectifs égaux. Ces angles sont DAB, DBA, CAB et CBA. Comme tu peux le voir, ces angles égaux sont situés aux deux extrémités du côté commun AB. En utilisant l'ASA, nous pouvons prouver la congruence entre deux des triangles donnés, qui sont ACB et ADB :
ACB ≅ ADB
Pour répondre complètement à la question posée dans cet exemple - non, tous les triangles donnés ne sont pas congruents. Seuls deux d'entre eux le sont.
Deux triangles rectangles partagent la même hypoténuse et ont un angle aigu égal. Ces triangles sont-ils congruents ?
Deux triangles rectangles partageant le même côté, StudySmarter Originals
Les deux triangles rectangles partagent l'hypoténuse. Les deux angles aigus d'un triangle droit se trouvent toujours à chaque extrémité de l'hypoténuse, et l'angle droit est toujours opposé à l'hypoténuse. Donc, deux angles : l'un à l'extrémité du côté partagé, l'autre - directement opposé. Tous les angles respectifs sont égaux, et le côté est partagé. Cela nous donne toutes les infos nécessaires pour que le théorème AAS prouve la congruence entre les deux triangles :
ACB ≅ ADB
HL, ASA et AAS - Principaux enseignements
- HL est le seul théorème explicitement destiné à déterminer la congruence des triangles rectangles.
- HL est dérivé de Hypoténuse-Patte et signifie que si l'hypoténuse et la patte respective sont égales entre deux ou plusieurs triangles, alors les triangles donnés sont congruents ;
- ASA signifie Angle-Côté-Angle et nous dit que si deux triangles ou plus ont un côté égal et des angles égaux aux deux extrémités, alors les triangles donnés sont congruents ;
- AAS vient de Angle-Angle-Côté et signifie que si un côté, un angle à l'une de ses extrémités et un angle opposé sont égaux entre deux ou plusieurs triangles, alors ces triangles sont congruents.
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