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Nous pouvons additionner les nombres « habituels », mais savais-tu que nous pouvons également additionner les vecteurs ? Il s'agit d'un des aspects clés du calcul vectoriel. Dans ce résumé de cours, nous montrerons d'abord comment faire la somme de vecteurs et comment utiliser la relation de Chasles. Par la suite, nous détaillerons ce qu'il faut savoir sur la norme d'un vecteur, ainsi que comment calculer les coordonnées d'un vecteur. Enfin, tu pourras t'entraîner avec quelques exercices.
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Inscris-toi gratuitementIl y a plusieurs façons de définir la norme d'un vecteur.
La relation de Chasles ne s'applique qu'aux vecteurs.
La norme d'un vecteur correspond à ___.
Si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB} = \)
Quelles formules permettent de calculer la norme d'un vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\) ?
Il y a plusieurs façons de définir la norme d'un vecteur.
La relation de Chasles ne s'applique qu'aux vecteurs.
La norme d'un vecteur correspond à ___.
Si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors \(\overrightarrow{AB} = \)
Quelles formules permettent de calculer la norme d'un vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\) ?
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Équipe enseignants Calcul vectoriel
Pour faire la somme de deux vecteurs, nous additionnons les composantes respectives des vecteurs. Géométriquement, cela correspond à faire les deux déplacements que ces vecteurs représentent. Naturellement, c'est plus clair avec un exemple.
Peux-tu calculer la somme des vecteurs \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\) ?
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 \\ -2 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 3 \\ 0 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 0 + 3 \\ -2 + 0 \end{pmatrix}\)
\(\vec{u} + \vec{v} = \begin{pmatrix} 3 \\ -2 \end{pmatrix}\)
Fig. 1 - La somme des vecteurs \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) correspond à la somme des déplacements représentés par les deux vecteurs
Pour faire la différence de deux vecteurs, il faut plutôt soustraire les composantes respectives.
Un résultat important en lien avec l'addition de vecteurs est la relation de Chasles.
La relation de Chasles est la propriété suivante : \(\overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC}\). Cette relation évoque le fait que voyager du point A au point B et ensuite, du point B au point C est le même que voyager de A à C directement. La relation de Chasles permet de simplifier des expressions vectorielles.
Peux-tu simplifier l'expression \(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\) à l'aide de la relation de Chasles ?
\(\overrightarrow{HF} + \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{FG}\)
\(= \overrightarrow{HF} + \overrightarrow{FG} + \overrightarrow{HG} \)
\(= \overrightarrow{HG} + \overrightarrow{HG} \)
\(= 2 \overrightarrow{HG}\)
Dans ce résumé de cours, nous évoquons la relation de Chasles pour les vecteurs. Or, la relation de Chasles est présente dans d'autres domaines mathématiques, notamment pour les intégrales et les séries numériques.
La norme d'un vecteur est sa « longueur ». Pour calculer la norme d'un vecteur en deux dimensions, nous utilisons le théorème de Pythagore. Étant donné le vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\), la norme de ce vecteur se calcule grâce à la formule \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\).
Peux-tu calculer la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 4 \end{pmatrix}\) ?
\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{(-3)^2 +(4) ^2}\)
\( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{25} = 5\)
Il est également possible de calculer la norme d'un vecteur grâce à la formule du produit scalaire. Pour en savoir plus, consulte notre résumé de cours sur le produit scalaire.
La norme vectorielle habituellement utilisée est appelée la norme euclidienne. Il existe également d'autres façons de définir la norme d'un vecteur, notamment la distance de Manhattan. Cette appellation est due au fait que cette norme correspond à la distance parcourue lorsque quelqu'un se déplace dans une ville où les rues sont organisées en forme de quadrillage, comme à Manhattan.
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur à partir de deux points, nous devons soustraire les coordonnées du point de départ des coordonnées du point d'arrivée. Autrement dit, si nous disposons des points \(A(x_A, y_A)\) et \(B(x_B, y_B)\), alors nous avons le vecteur \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Peux-tu calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(C(-2, 1)\) à \(D(3, 5)\) ?
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} x_D - x_C \\ y_D - y_C \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 3 - (-2) \\ 5 - 1 \end{pmatrix}\)
\(\overrightarrow{CD} = \begin{pmatrix} 5 \\ 4 \end{pmatrix}\)
Les corrigés des exercices de vecteurs suivants sont fournis dans les flashcards en bas de cette page.
Pour bien assimiler les concepts du calcul vectoriel, il faut faire de nombreux exercices pour s'entraîner.
1. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} -1 \\ -2 \\ 3 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -3 \\ 3 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{u} +\vec{v}\).
2. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 0 \\ -1 \end{pmatrix} \) et \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} - \vec{u}\).
3. Soient \(\vec{u} = \begin{pmatrix} 1 \\ -1 \end{pmatrix} \), \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -2 \\ 3 \end{pmatrix}\) et \(\vec{w} = \begin{pmatrix} -4 \\ -2 \end{pmatrix}\). Détermine \( \vec{v} + \vec{u} - \vec{w}\).
4. Simplifie l'expression suivante : \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{BC} + 2\overrightarrow{CA}\).
5. Quelle est la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} -8 \\ -15 \end{pmatrix}\) ?
6. Détermine tout \(x\) tel que la norme du vecteur \(\vec{v} = \begin{pmatrix} x \\ 12 \end{pmatrix}\) soit \(13\).
7. Calculer les coordonnées du vecteur qui va de \(A(2, 0)\) à \(D(-1, 10)\).
Pour calculer les coordonnées d'un vecteur, nous utilisons la formule \(\overrightarrow{AB} = \begin{pmatrix} x_B - x_A \\ y_B - y_A \end{pmatrix}\).
Pour maîtriser le calcul vectoriel, il convient de faire de nombreux exercices.
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Quand utiliser la relation de Chasles ?
Nous utilisons la relation de Chasles quand nous voulons simplifier une somme de vecteurs en fonction de leurs points de départ et d'arrivée.
Comment additionner les vecteurs ?
Pour additionner les vecteurs, il faut additionner les composantes respectives des deux vecteurs.
Comment calculer la norme d'un vecteur ?
Nous calculons la norme d'un vecteur grâce à la formule suivante : \( \lVert \vec{v} \rVert = \sqrt{v_x^2 + v_y^2}\), où \(\vec{v} = \begin{pmatrix} v_x \\ v_y \end{pmatrix}\).
Comment on normalise un vecteur ?
Pour normaliser un vecteur, il faut diviser chacun de ses composantes par la norme du vecteur.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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