Qu'est-ce qu'un angle inscrit dans un cercle ?
Les angles inscrits sont des angles formés dans un cercle par deux cordes qui partagent un point d'extrémité sur le cercle. Le point d'extrémité commun est également appelé sommet de l'angle. C'est ce que montre la figure 1, où deux cordes et forment un angle inscrit Le symbole '' est utilisé pour décrire un angle inscrit.
Angles inscrits, StudySmarter Originals
Les autres extrémités des deux cordes forment un arc sur le cercle, qui est l'arc AC illustré ci-dessous. Il existe deux types d'arcs formés par un angle inscrit.
Lorsque la mesure de l'arc est inférieure à celle d'un demi-cercle ou à celle d'un arc de cercle, l'arc est défini comme un arc de cercle. alors l'arc est défini comme un arc mineur, comme le montre la figure 2a.
Lorsque la mesure de l'arc est supérieure à un demi-cercle ou à alors l'arc est défini comme un arc majeur, comme le montre la figure 2b.
Mais comment créer un tel arc ? En traçant deux cordes, comme nous l'avons évoqué plus haut. Mais qu'est-ce qu'une corde exactement ? Prends deux points quelconques sur un cercle et joins-les pour obtenir un segment de droite :
Un accord est un segment de droite qui joint deux points sur un cercle.
Arc majeur et arc mineur d'un cercle, StudySmarter Originals
Maintenant qu'un accord a été défini, que peut-on construire autour d'un accord ? Commençons par un arc, et aussi évident que cela puisse paraître, il s'agit d'une simple partie du cercle défini ci-dessous :
Un arc de cercle est une courbe formée par deux points d'un cercle. La longueur de l'arc est la distance entre ces deux points.
- Un arc de cercle qui a deux points d'extrémité sur le diamètre, alors l'arc est égal à un demi-cercle.
- La mesure de l'arc en degrés est la même que l'angle central qui intercepte cet arc.
La longueur d'un arc peut être mesurée en utilisant l'angle central à la fois en degrés ou en radians et le rayon comme indiqué dans la formule ci-dessous, où θ est l'angle central, et π est la constante mathématique. Parallèlement, r est le rayon du cercle.
Formule des angles inscrits
Plusieurs types d'angles inscrits sont modélisés par diverses formules en fonction du nombre d'angles et de leur forme. Il n'est donc pas possible de créer une formule générique, mais ces angles peuvent être classés dans certains groupes.
Théorèmes sur les angles inscrits
Examinons les différents théorèmes sur les angles inscrits.
Angle inscrit
Le théorème de l'angle inscrit met en relation la mesure de l'angle inscrit et son arc intercepté.
Il stipule que la mesure de l'angle inscrit en degrés est égale à la moitié de la mesure de l'arc intercepté, la mesure de l'arc étant également la mesure de l'angle central.
Théorème de l'angle inscrit, StudySmarter Originals
Angles inscrits dans le même arc
Lorsque deux angles inscrits interceptent le même arc, alors les angles sont congruents. Les angles congruents ont la même mesure de degré. Un exemple est présenté dans la figure 4, où et m<ABC sont égaux car ils interceptent le même arc AC :
Angles inscrits congruents, StudySmarter Originals
Angle inscrit dans un demi-cercle
Lorsqu'un angle inscrit intercepte un arc qui est un demi-cercle, l'angle inscrit est un angle droit égal à . Ceci est illustré ci-dessous dans la figure, où l'arc est un demi-cercle d'une mesure de et son angle inscrit est un angle droit dont la mesure est .
Angle inscrit dans un demi-cercle, StudySmarter Originals
Quadrilatère inscrit
Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle, ce qui signifie que le quadrilatère est formé dans un cercle par des cordes, alors ses angles opposés sont complémentaires. Par exemple, le diagramme suivant montre un quadrilatère inscrit, où est complémentaire de et est complémentaire de :
Quadrilatère inscrit, StudySmarter Originals
Exemples d'angles inscrits
Trouve les angles et si l'angle central illustré ci-dessous est .
Exemple d'angles inscrits, StudySmarter Originals
Solution :
Puisque les angles et interceptent le même arc ils sont donc congruents.
En utilisant le théorème de l'angle inscrit, nous savons que l'angle central est le double de l'angle inscrit qui intercepte le même arc.
L'angle est donc .
Quelle est la mesure de l'angle dans le cercle ci-dessous si est ?
Angles inscrits congruents, StudySmarter Originals
Solution :
Comme les angles et interceptent le même arc, ils sont égaux. Par conséquent, si est alors doit aussi être .
Méthode pour résoudre les problèmes d'angles inscrits
Pour résoudre n'importe quel exemple d'angles inscrits, écris tous les angles donnés. Reconnais les angles donnés en dessinant un schéma s'ils ne sont pas donnés. Voyons quelques exemples.
Trouve si son arc intercepté a une mesure de .
Solution :
En utilisant le théorème de l'angle inscrit, on en déduit que l'angle inscrit est égal à la moitié de l'angle central.
Trouve et dans le quadrilatère inscrit illustré ci-dessous.
Exemple de quadrilatère inscrit, StudySmarter Originals
Solution :
Comme le quadrilatère illustré est inscrit dans un cercle, ses angles opposés sont complémentaires.
Ensuite, nous substituons les angles donnés dans les équations, et nous réarrangeons les équations pour faire de l'angle inconnu le sujet.
Trouver , , et dans le diagramme ci-dessous.
Un quadrilatère inscrit, StudySmarter Originals
Solution :
Les angles inscrits et interceptent le même arc . Ils sont donc égaux, donc
L'angle est inscrit dans un demi-cercle. Par conséquent, <c doit être un angle droit.
Comme le quadrilatère est inscrit dans un cercle, ses angles opposés doivent être complémentaires.
Angles inscrits - Principaux enseignements
- Un angle inscrit est un angle formé dans un cercle par deux cordes dont l'extrémité commune se trouve sur le cercle.
- Le théorème de l'angle inscrit stipule que l'angle inscrit est égal à la moitié de la mesure de l'angle central.
- Les angles inscrits qui interceptent le même arc sont congruents.
- Les angles inscrits dans un demi-cercle sont des angles droits.
- Si un quadrilatère est inscrit dans un cercle, ses angles opposés sont complémentaires.
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