Angles dans les cercles

Trouver des angles dans les cercles

Les angles dans les cercles peuvent être construits à partir des rayons, des tangentes et des cordes. Si nous parlons de cercles, l'unité commune que nous utilisons pour mesurer les angles dans un cercle est le degré.

Tu as 360 degrés dans un cercle, comme le montre la figure ci-dessous. En regardant de plus près cette figure, on se rend compte que tous les angles formés sont une fraction de l'angle complet formé par un cercle, qui se trouve être de $360°$.

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Par exemple, si tu prends le rayon qui se trouve à $0º$ et un autre rayon qui va tout droit vers le haut comme le montre la figure 2, cela représente un quart de la circonférence du cercle, donc l'angle formé sera également un quart de l'angle total. L'angle formé par un rayon qui va tout droit avec l'autre rayon qui est soit à gauche soit à droite est appelé angle perpendiculaire (droit).

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Règles sur les angles dans les cercles

Il s'agit de diverses règles qui permettent de résoudre les problèmes concernant les angles dans un cercle. Ces règles seront abordées dans plusieurs sections ci-après.

Types d'angles dans un cercle

Il existe deux types d'angles que nous devons connaître lorsque nous traitons des angles dans un cercle.

Angles centraux

L'angle dont le sommet est situé au centre du cercle forme un angle central.

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Angles inscrits

Pour les angles inscrits, le sommet se trouve à la circonférence du cercle.

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Relations angulaires dans les cercles

Fondamentalement, la relation d'angle qui existe dans les cercles est la relation entre un angle central et un angle inscrit.

Relation entre un angle central et un angle inscrit

Jette un coup d'œil à la figure ci-dessous dans laquelle un angle central et un angle inscrit sont dessinés ensemble.

La relation entre un angle central et un angle inscrit est qu'un angle inscrit est la moitié de l'angle central sous-tendu au centre du cercle. En d'autres termes, un angle central est le double de l'angle inscrit.

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Jette un coup d'œil à la figure ci-dessous et écris l'angle central, l'angle inscrit et une équation mettant en évidence la relation entre les deux angles.

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Fig. 6. Un exemple d'angle central et d'angle inscrit.

Solution :

Comme nous savons qu'un angle central est formé par deux rayons ayant un sommet au centre d'un cercle, l'angle central pour la figure ci-dessus devient,

$$\text{Central Angle}=\mathrm{\angle }AOB$$

Pour un angle inscrit, on considérera les deux cordes ayant un sommet commun à la circonférence. Ainsi, pour l'angle inscrit ,

$$\text{Inscribed Angle}=\mathrm{\angle }AMB$$

Un angle inscrit est la moitié de l'angle central, donc pour la figure ci-dessus, l'équation peut être écrite comme suit ,

\[\N-angle AMB=\Ndfrac{1}{2}\Nà gauche(\N-angle AOB\Nà droite)\N]

Angles d'intersection dans un cercle

Les angles d'intersection d'un cercle sont également connus sous le nom d'angle de corde. Cet angle est formé par l'intersection de deux cordes. La figure ci-dessous illustre deux cordes \N(AE\N) et \N(CD\N) qui se croisent au point \N(B\N). Les angles \(\N-angle ABC\N-angle DBE\N-angle DBE\N-angle DBE\N-angle DBE sont congruents car ce sont des angles verticaux.

Pour la figure ci-dessous, l'angle \N(ABC\N) est la moyenne de la somme des arcs \N(AC\N) et \N(DE\N).

$$\mathrm{\angle }ABC={\displaystyle \frac{1}{2}}(\widehat{AC}+\widehat{DE})$$

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Trouve les angles $x$ et $y$ dans la figure ci-dessous. Toutes les lectures données sont en degrés.

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Fig. 8. Exemple sur deux cordes qui se croisent.

Solution :

Nous savons que la somme moyenne des arcs \N(DE\N) et \N(AC\N) constitue Y. D'où ,

$$Y={\displaystyle \frac{1}{2}}(100º+55º)=82.5º$$

L'angle \N(B\N) est également \N(82,5°\N) puisqu'il s'agit d'un angle vertical. Remarque que les angles \N(\Nangle CXE\N) et \N(\Nangle DYE\N) forment des paires linéaires car \N(Y + X\N) est \N(180°\N) . Ainsi ,

$$\begin{array}{rl}180º-Y& =X\\ 180º-82.5º& =X\\ X& =97.5º\end{array}$$

On utilise ici certains termes que tu dois connaître.

Une tangente - est une ligne extérieure à un cercle qui touche la circonférence du cercle en un seul point. Cette ligne est perpendiculaire au rayon du cercle.

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Fig. 9. Illustration de la tangente d'un cercle.

Une sécante - est une ligne qui coupe un cercle en touchant la circonférence en deux points.

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Fig. 10. Illustration de la sécante d'un cercle.

Un sommet - est le point de rencontre de deux sécantes, de deux tangentes ou d'une sécante et d'une tangente. Un angle est formé au sommet.

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Fig. 11. Illustration d'un sommet formé par une sécante et une tangente.

Arcsintérieurs et arcs extérieurs - les arcs intérieurs sont des arcs qui délimitent l'une ou l'autre des tangentes et des sécantes, ou les deux, vers l'intérieur. Quant aux arcs extérieurs, ils relient les tangentes et les sécantes vers l'extérieur, ou les deux.

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Fig. 12. Illustration des arcs intérieurs et extérieurs.

Angle sécant-sécant

Supposons que deux droites sécantes se croisent au point A. La figure ci-dessous illustre la situation. Les points $B$, $C$, $D$, et $E$ sont les points d'intersection sur le cercle tels que deux arcs sont formés, un arc intérieur $\widehat{BC}$, et un arc extérieur $\widehat{DE}$. Si nous voulons calculer l'angle $\alpha$, l'équation est la moitié de la différence des arcs $\widehat{DE}$ et $\widehat{BC}$.

$$\alpha ={\displaystyle \frac{1}{2}}(\widehat{DE}-\widehat{BC})$$

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Trouve $\theta$ dans la figure ci-dessous :

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Fig. 14. Exemple sur les angles sécants.

Solution :

D'après ce qui précède, tu devrais noter que $\theta$ est un angle sécant-sécant. L'angle de l'arc extérieur est \N(128º\N), tandis que celui de l'arc intérieur est \N(48º\N). Par conséquent, $\theta$ est :

$$\theta ={\displaystyle \frac{128º-48º}{2}}$$

Ainsi

$$\theta =30º$$

Angle de la tangente sécante

Le calcul de l'angle sécante-tangente est très similaire à celui de l'angle sécante-sécante. Dans la figure 15, la tangente et la sécante se croisent au point $B$ (le sommet). Pour calculer l'angle $B$, tu dois trouver la différence entre l'arc extérieur $\widehat{AC}$ et l'arc intérieur $\widehat{CD}$, puis diviser par $2$. Donc,

$$X={\displaystyle \frac{1}{2}}(\widehat{AC}-\widehat{CD})$$

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À partir de la figure ci-dessous, trouve \(\cesta\c) :

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Fig. 16. Exemple de la règle de la sécante-tangente.

Solution :

D'après ce qui précède, tu dois noter que $\theta$ est un angle sécant-tangent. L'angle de l'arc extérieur est \N(170º\N), tandis que celui de l'arc intérieur est \N(100º\N). Par conséquent, $\theta$ est :

$$\theta ={\displaystyle \frac{170º-100º}{2}}$$

Ainsi

\N- [\N- \Ntheta=35º\N]

Angle tangent-tangente

Pour deux tangentes, dans la figure 17, l'équation pour calculer l'angle $P$ deviendrait,

\[\N-angle P=\Ndfrac{1}{2}\Nà gauche(\Ntext{major arc}-\Ntext{minor arc}\Nà droite)\N]

$$\mathrm{\angle }P={\displaystyle \frac{1}{2}}(\widehat{AXB}-\widehat{AB})$$

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Calcule l'angle $P$ si l'arc principal est $240°$ dans la figure ci-dessous.

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Fig. 18. Exemple sur les angles tangents-tangentes.

Solution :

Un cercle complet forme un angle de 360° et l'arc de cercle (\widehat{AXB}\) est de 240°,

\[\widehat{AXB]+\widehat{AB}=360º\]

$$\widehat{AB}=360º-240º$$

$$\widehat{AB}=120º$$

L'utilisation de l'équation ci-dessus pour calculer l'angle $P$ donne,

$$\mathrm{\angle }P={\displaystyle \frac{1}{2}}(240º-120º)$$

\N- [\N-angle P=60º\N]