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Aire du losange

Si tu voyais un cerf-volant voler dans le ciel un jour de grand vent, tu dirais probablement que le cerf-volant a la forme d'un diamant. En géométrie, cette forme de diamant s'appelle un losange : une forme géométrique avec quatre côtés égaux. Un losange est à la fois un parallélogramme et un quadrilatère. Plus précisément, un losange est une figure plane à quatre côtés (un quadrilatère), dont les côtés opposés sont parallèles entre eux (un parallélogramme). Sa caractéristique particulière, qui est d'avoir quatre côtés égaux, est ce qui différencie les losanges des autres quadrilatères.

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Last Updated: 01.01.1970
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Un losange est un quadrilatère dont les quatre côtés sont égaux, ce qui le rend équilatéral.

Formule de calcul de la surface d'un losange

Nous disposons d'une formule spécialisée pour trouver l'aire d'un losange. Considère le losange suivant dont les diagonales sont de longueur _d1 et _d2.

Surface des losanges, Losange avec diagonales d1 et d2, StudySmarter Losange avec les diagonales d1 et d2 - Nilabhro Datta, StudySmarter Originals

L'aire du losange est donnée par la formule :

$A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Puisqu'un losange est un cas particulier de parallélogramme, la formule pour trouver l'aire d'un parallélogramme s'applique également à un losange et peut être utilisée pour trouver l'aire de n'importe quel losange. Considère le parallélogramme suivant.

Aire du parallélogramme losange - StudySmarter Parallélogramme avec base b et hauteur h - Nilabhro Datta, StudySmarter Originals

L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule :

Surface d'un parallélogramme = b × h

où b = base, h = hauteur

La valeur, b, est la longueur du côté AB, qui est considéré comme la base ici. Par convention, l'un des côtés les plus longs du parallélogramme est considéré comme la base. Cependant, comme tous les côtés d'un losange sont égaux, n'importe quel côté peut être considéré comme la base. De même, la hauteur ou l'altitude sera la même quel que soit le côté pris comme base. Dans le parallélogramme ci-dessus, on peut voir que les côtés ne sont pas tous de même longueur, ce qui signifie que ce parallélogramme n'est pas un losange.

Note que pour la surface, nous utilisons toujours des unités carrées. Si nous utilisons les unités SI, par exemple, l'unité SI de longueur est le mètre (m), ce qui signifie que l'unité SI de surface est le mètre carré (m²).

Exemples : Équation de la surface d'un losange

Examinons quelques exemples de problèmes liés à l'aire des losanges.

L'aire du losange WXYZ illustré ci-dessous est de 138 ^po2. Trouve la longueur en pouces de la diagonale XZ.

Surface du losange - StudySmarter

Solution

Nous savons que pour un losange :

$A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

Par conséquent :

id="5227983" role="math" $138 i n^{2} = \frac{1}{2} \times 23 i n \times d_{2} \Rightarrow d_{2} = \frac{138 i n^{2} \times 2}{23 i n} = 12 i n$

Un losange a des diagonales de longueurs 6 m et 7 m. Quelle est l'aire du losange ?

Solution

$A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \times 6 m \times 7 m = 21 m^{2}$

Un losange d'une surface de 100 unités carrées a une altitude de 8 unités. Quelle est la longueur des côtés du losange ?

Solution

Puisqu'un losange est un parallélogramme, nous pouvons appliquer ici la formule de l'aire d'un parallélogramme, qui est :

Surface = base × hauteur

Nous savons que l'aire est de 100 unités carrées et que la hauteur est de 8 unités.

Donc ,

100 = base × 8

⇒ base = 100 ÷ 8

= 12.5

La longueur des côtés du losange est de 12,5 unités.

Cas particulier des losanges : Aire d'un carré

Tu as peut-être remarqué qu'un carré répond également à la définition d'un losange (un quadrilatère avec 4 côtés égaux). Un carré est en fait un cas particulier de losange parce que les 4 côtés d'un carré sont égaux. De plus, les 4 angles d'un carré sont des angles droits.

carré spécial losange rectangle - StudySmarter Le carré - un cas particulier de losange et de rectangle - Nilabhro Datta, StudySmarter Originals

En tant que losange, la formule de l'aire des losanges peut être appliquée aux carrés. Cependant, l'utilisation de la formule de l'aire des parallélogrammes est également une méthode applicable, puisque les carrés et les losanges sont aussi des parallélogrammes. Observe le carré ci-dessus et rappelle-toi la formule de l'aire d'un parallélogramme :

Surface = base × hauteur

Considérons que la base est le côté AB. Comme les angles d'un carré sont des angles droits, on considère que la hauteur est la longueur de l'un ou l'autre des côtés, AD ou BC. Cela signifie que le côté de la base est identique à la taille de la hauteur, puisque les 4 côtés d'un carré sont égaux. Ainsi, dans le cas d'un carré, la formule ci-dessus peut être réduite à :

Surface = côté × côté

Un carré a une surface de 64. Trouve la longueur des côtés et des diagonales du carré.

Solution

Surface = côté × côté

⇒ 64 = ^côté2

⇒ côté = $\sqrt{64} = 8$

La longueur des côtés du carré est de 8.

Comme le carré est aussi un losange, nous pouvons lui appliquer la formule de l'aire d'un losange.

$Area = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} 64 = \frac{1}{2} \times {diagonal}^{2} (since the diagonals of a square are equal) \Rightarrow diagonal = \sqrt{64 \times 2} = 11.31$

Les diagonales d'un carré peuvent également être calculées à l'aide du théorème de Pythagore lorsque le côté est connu. Par exemple, dans l'exemple ci-dessus, la diagonale aurait également pu être calculée à l'aide du théorème de Pythagore après que nous ayons découvert que les longueurs des côtés sont de 8.

Par le théorème de Pythagore,

$h y p o t e n u s e^{2} = s u m o f t h e s q u a r e o f t h e s i d e s \Rightarrow d i a g o n a l^{2} = s i d e^{2} + s i d e^{2} \Rightarrow d i a g o n a l^{2} = 8^{2} + 8^{2} = 64 + 64 = 128 \Rightarrow d i a g o n a l = \sqrt{128} = 11.31$

Comme les diagonales d'un carré sont égales, ce calcul te donne la longueur des deux diagonales.

Surface des losanges - Principaux enseignements

Une figure plane à quatre côtés est appelée quadrilatère. Un losange est un cas particulier de quadrilatère. Les 4 côtés d'un losange sont égaux.
Comme un losange est un cas particulier de parallélogramme, la formule pour trouver l'aire d'un parallélogramme s'applique également à un losange. L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule :
Surface = b × h
où b = base, h = hauteur
Pour un losange dont les diagonales sont de longueur _d1 et d2_: $A r e a = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$
Un carré est un cas particulier de losange. La surface d'un carré est donnée par : Surface = côté × côté

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Questions fréquemment posées en Aire du losange

Qu'est-ce qu'un losange ?

Un losange est une figure géométrique à quatre côtés égaux et deux paires d'angles égaux opposés.

Comment calculer l'aire d'un losange ?

L'aire d'un losange se calcule en multipliant les diagonales et en divisant par deux : A = (D1 × D2) / 2.

Quelles sont les propriétés d'un losange ?

Les propriétés d'un losange incluent des côtés égaux, des angles opposés égaux, et des diagonales perpendiculaires.

Quelle est la formule des diagonales d'un losange ?

Pour un losange, les diagonales se calculent par les longueurs des diagonales : D1 et D2.

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