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Commençons par rappeler ce qu'est un trapèze.
Définition d'un trapèze
Un trapèze est un quadrilatère (figure plane à quatre côtés) qui possède exactement une paire de côtés parallèles.
La figure suivante est un trapèze.
Fig. 1. Illustration d'un trapèze.
Dans la figure ci-dessus, les côtés parallèles (dans ce cas, \(\overline{AD}\) et \(\overline{BC}\)) sont appelés bases du trapèze. Les côtés non parallèles (\(\overline{AB}\) et \(\overline{DC}\)) sont appelés les branches du trapèze.
Un trapèze est aussi communément appelé trapézoïde.
Définition de l'aire d'un trapèze
L'aire d'un trapèze est définie par l'espace enfermé dans ses limites, tel qu'il est occupé dans un plan à deux dimensions.
L'aire d'un trapèze est mesurée en unités carrées telles que \(\text{m}^2\), \(\text{cm}^2\), \(\text{in}^2\), \(\text{ft}^2\), etc.
Formule pour l'aire d'un trapèze
Considère le trapèze suivant :
Fig. 2. Trapèze dont les bases sont \(a\) et \(b\), et la hauteur \(h\).
L'aire d'un trapèze est donnée par la formule :
\[\text{Area} = \frac{1}{2} h (a + b)\]
où :
\N(h \Ndroite) hauteur du trapèze (distance perpendiculaire entre les bases),
\(a, b \Rightarrow\N) longueurs des bases.
Comment avons-nous obtenu cette formule, demandes-tu ? Nous allons te le montrer.
Rappelle que la surface d'un triangle est donnée par la formule :
\[\text{Area} = \frac{1}{2} \text{base} \cdot \text{hauteur}\].
Nous pouvons diviser le trapèze ci-dessus en deux triangles le long de l'une ou l'autre des diagonales. Prenons la diagonale \(\overline{BD}\), et divisons le trapèze en deux triangles \(\triangle{BAD}\) et \(\triangle{BCD}\).
Fig. 3. Trapèze divisé en \(\triangle{BAD}\) et \(\triangle{BCD}\) par la diagonale \(\overline{BD}\).
On peut alors dire que,
\[\begin{align}\text{Aire du trapèze ABCD} & = \text{Aire de } \triangle{BAD} + \text{Area of } \triangle{BCD} \\N-& = \frac{1}{2} b \cdot h + \frac{1}{2} a \cdot h \N-& = \frac{1}{2} h (a + b)\end{align}\N]
Pense à un parallélogramme dont les deux paires de côtés opposés sont parallèles. Tu peux aussi appliquer la formule ci-dessus pour calculer la surface d'un parallélogramme.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} h (a + b) \\\N-& = \frac{1}{2} h (b + b) \qquad \text{Les côtés opposés d'un parallélogramme sont de même longueur} \\N-& = \Nfrac{1}{2} h (2b) \N-& = b \Ncdot h\Nend{align}\N]
C'est la formule de l'aire d'un parallélogramme.
Exemples de surface d'un trapèze
Voyons maintenant quelques exemples liés à l'aire des trapèzes.
Un trapèze a des bases de longueurs \N(10\N,\Ntext{cm}\N) et \N(15\N,\Ntext{cm}\N). La distance perpendiculaire entre les bases est de \(8,\text{cm}\). Trouve l'aire du trapèze.
Solution
Pour résoudre ce problème, il suffit de substituer les valeurs des longueurs des bases et de la hauteur dans la formule de l'aire du trapèze.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} h (a + b) \\\N-& = \frac{1}{2} \cdot 8 (10 + 15) \circ;& = 4 \c;25 \circ;& = 100\,\text{cm}^2\c;end{align}\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c;\c ;] L'aire du trapèze est \N( 100,\text{cm}^2 \N).
Voyons maintenant un exemple utilisant le plan de coordonnées.
Trouve l'aire du trapèze suivant.
Fig. 4. Trapèze sur le plan de coordonnées.
Solution
Dans ce cas, pour pouvoir trouver l'aire du trapèze ci-dessus, nous devons trouver la longueur des bases et la hauteur du trapèze.
Ces valeurs ne sont pas données, mais nous pouvons utiliser le plan de coordonnées pour les calculer.
Nous devons calculer la distance entre chacun des points, comment pouvons-nous le faire ?
La distance entre les points \N(B(6, 2)\N) et \N(C(9, 2)\N) peut être calculée en trouvant la valeur absolue de la différence entre leurs coordonnées x, en utilisant \N(|x_2 - x_1|\N). Il en va de même pour la distance entre les points \N(A(2, 7)\Net \N(D(10, 7)\N)et la distance entre les points \N(A(2, 7)\Net \N(D(10, 7)\N).
La distance entre les points \N(B(6, 2)\N) et \N(E(6, 7)\N) peut être calculée en trouvant la valeur absolue de la différence entre leurs coordonnées y, en utilisant \N(|y_2 - y_1|\N).
\N-[\N-{align}a &= \N-{BC} = |x_2 - x_1| = |9 - 6| = 3 \N-{b &= \N-{AD} = |x_2 - x_1| = |10 - 2| = 8 \N-{h &= \N-{B} = \N-{BC} = |x_2 - x_1| = |9 - 6| = 3 \N-{B} h &= \overline{BE} = |y_2 - y_1| = |7 - 2| = 5 \end{align}\]Maintenant que nous avons toutes les valeurs dont nous avons besoin, nous pouvons les substituer dans la formule de l'aire du trapèze.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} \cdot 5 (3 + 8) \circ;\c;& = \frac{5}{2} \cdot (11) \circ;\c;& = \c;\c;\c;\c;\c;\c;55}{2} \\ \\& = 27.5\,\text{units}^2\end{align}\] L'aire du trapèze est \N( 27,5\N,\Ntext{units}^2 \N).
Un trapèze dont l'aire est \(35\,\text{m}^2\) a des bases de longueurs \(3\,\text{m}\) et \(4\,\text{m}\). Trouve la distance entre les côtés parallèles.
Solution
La distance entre les côtés parallèles est la hauteur du trapèze. Substituons donc les valeurs que nous avons dans la formule de l'aire du trapèze, puis résolvons \N(h\N).
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} h (a + b) \\\N \N35 & = \frac{1}{2} \cdot h (3 + 4) \c\c35 & = \frac{7 \cdot h}{2} \N- \N- \N-h & = \N- \N- \N- 35 \N- \N- 2}{7} \N- \N-& = \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- 70}{7} \N- \N-& = 10\N,\N-text{m}\N- end{align}\N]
La hauteur du trapèze est \(10\, \text{m}\).
Aire d'un trapèze dont la hauteur n'est pas connue
Si l'on te donne un trapèze avec les longueurs de toutes ses bases et de tous ses pieds, mais qu'aucune hauteur ne t'est fournie, tu dois d'abord calculer sa hauteur pour pouvoir trouver l'aire du trapèze. Voyons un exemple pour te montrer ce qu'il faut faire dans ce cas.
Trouve l'aire du trapèze suivant.
Fig. 5. Exemple de trapèze sans hauteur.
Remarque que les pattes du trapèze sont de longueur égale (6\, \text{m}\), il s'agit donc d'un trapèze isocèle, et nous pouvons calculer sa hauteur de la façon suivante.
Fig. 6. Hauteur d'un trapèze à l'aide de Pythagore.
Remarque que nous avons un triangle rectangle sur chaque côté. La base de chaque triangle a été calculée en trouvant la différence entre \N(18\N) et \N(10\N), puis en divisant le résultat par \N(2\N).
\N- 18 - 10 = \Nfrac{8}{2} = 4\N, \Ntext{m}\N]
Nous pouvons maintenant calculer la hauteur en utilisant le théorème de Pythagore qui stipule que, dans un triangle rectangle, le carré de l'hypothénuse est égal à la somme des deux autres côtés au carré.
\[\begin{align}c^2 & = a^2 + b^2 \\N-6^2 & = 4^2 + h^2 \N-36 & = 16 + h^2 \N-h^2 & = 36 - 16 \N-h & = \Nsqrt{20} \N-& = 4.47\, \text{m}\end{align}\]Now that we know the length of the height, we can calculate the area of the trapezoid.
\[\begin{align}\text{Area} & = \frac{1}{2} \cdot 4.47 (10 + 18) \circ;\c;& = \frac{1}{2} \cdot 4.47 \cdot 28 \c\c \c& = 62.6\, \text{m}^2\cend{align}\c] L'aire du trapèze est \(62,6\, \text{m}^2\).
Aire d'un trapèze lorsque les diagonales sont données
Un autre scénario intéressant est celui où tu dois calculer l'aire d'un trapèze lorsque seules les longueurs de ses diagonales et l'angle qui les sépare sont donnés.
Considère un trapèze dont les diagonales ont des longueurs de \(d_1\) et \(d_2\), et un angle de \(\alpha\) entre elles.
Fig. 7. Trapèze avec des diagonales \(d_1\) et \(d_2\).
Dans ce cas, la surface du trapèze est donnée par
\[\text{Area} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)\]
La longueur des diagonales d'un trapèze \N(d_1\N) et \N(d_2\N) est \N(6,4\N, \Ntext{m}\N), et l'angle \N(\Nalpha\N) entre elles mesure \N(77,3^{\Ncirc}\N). Trouve la surface du trapèze.
\[\text{Area} = \frac{1}{2} \cdot 6.4 \cdot 6.4 \cdot \sin(77.3^{\circ}) = 19.98\, \text{m}^2\]
L'aire du trapèze est \N(19,98\N, \text{m}^2\N).
Aire des trapèzes - Principaux enseignements
- Un trapèze est un quadrilatère qui a exactement une paire de côtés parallèles.
- La surface d'un trapèze est définie par l'espace enfermé dans ses limites, tel qu'il est occupé dans un plan à deux dimensions.
- L'aire d'un trapèze est donnée par la formule : \(\text{Area} = \frac{1}{2} h (a + b)\).
- Si l'on te donne un trapèze avec les longueurs de toutes ses bases et de tous ses pieds, mais qu'aucune hauteur n'est fournie, tu dois d'abord calculer sa hauteur, en utilisant le théorème de Pythagore, pour pouvoir trouver l'aire du trapèze.
- Lorsque tu dois calculer l'aire d'un trapèze alors que seules les longueurs de ses diagonales et l'angle qui les sépare sont donnés, tu peux utiliser la formule suivante : \(\text{Area} = \frac{1}{2} d_1 \cdot d_2 \cdot \sin(\alpha)\).
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