Aire des secteurs circulaires

Qui n'aime pas les pizzas ? La prochaine fois que tu te feras livrer une pizza, au moment de la partager avec tes amis et ta famille, regarde bien chaque morceau, tu as un secteur et pas seulement de la pizza ! Ici, tu auras un meilleur aperçu de la taille de chaque morceau de pizza (secteur).

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Qu'est-ce qu'un secteur ?

Un secteur est une portion de cercle délimitée par deux rayons et un arc. Un secteur typique peut être vu lorsqu'une pizza est partagée en 8 portions par exemple. Chaque portion est un secteur pris sur la pizza circulaire. Un secteur sous-tend également un angle ses deux rayons se rencontrent. Cet angle est très important car il nous indique quelle proportion du cercle est occupée par le secteur.

Aire des secteurs circulaires Un diagramme illustrant le secteur d'un cercle StudySmarter

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Diagramme illustrant le secteur d'un cercle, Njoku - StudySmarter Originals

Types de secteurs

Il existe deux types de secteurs formés lors de la division d'un cercle.

Secteur principal

Ce secteur est la plus grande portion du cercle. Il a un angle plus grand qui est supérieur à 180 degrés.

Secteur mineur

Le secteur mineur est la plus petite partie du cercle. Il a un angle plus petit qui est inférieur à 180 degrés.

Domaine des secteurs circulaires Une illustration des secteurs majeurs et mineurs StudySmarter

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Illustration des secteurs majeurs et mineurs, Njoku - StudySmarter Originals

Comment calculer l'aire d'un secteur ?

En dérivant la formule de l'aire à l'aide de l'angle sous-tendu par le secteur.

En utilisant les angles en degrés.

Remarquons que l'angle couvrant tout le cercle est de 360 degrés, et rappelons que l'aire d'un cercle est πr2.

Un secteur est une portion de cercle contenant deux rayons et un arc, et donc notre but est de trouver un moyen de réduire le cercle jusqu'à ce que nous trouvions un arc.

Étape 1.

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Le cercle est entier, on considère donc l'angle de 360 degrés, l'aire est donc de .

Areacircle=πr2.

Étape 2.

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D'après le schéma ci-dessus, le cercle a été divisé en deux. Cela signifie que l'aire de chacun des demi-cercles obtenus est ,

Areasemicircle=12πr2.

Note que l'angle sous-tendu par le demi-cercle est de 180 degrés, ce qui correspond à la moitié de l'angle sous-tendu au centre du cercle entier. En divisant 180 degrés par 360 degrés, on obtient que 12 ce qui multiplie la surface du cercle. En d'autres termes ,

Areasemicircle=180360πr2=12πr2.

Étape 3.

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Maintenant, nous divisons le demi-cercle pour obtenir un quart de cercle. La surface du quart de cercle est donc la suivante

Areaquarterofthecircle=14πr2.

Note que l'angle formé par le quart de cercle est de 90 degrés, ce qui correspond au quart de l'angle sous-tendu par le cercle entier. En divisant 90 degrés par 360 degrés, on obtient que 14ce qui multiplie la surface du cercle. En d'autres termes ,

Areaquarterofthecircle=90°360°πr2=14πr2.

Étape 4.

Les étapes ci-dessus peuvent être généralisées à n'importe quel angle θ. En effet, on peut déduire que l'angle sous-tendu par le secteur d'un cercle détermine l'aire de ce secteur et on a donc

Areasector=θ360πr2.

où θ est l'angle sous-tendu par le secteur et r est le rayon du cercle.

La surface d'un secteur sous-tendu par un angle θ(exprimé en degrés) est donnée par

Areasector=θ360πr2.

Calcule la surface d'un secteur avec un angle de 60 degrés au centre et ayant un rayon de 8 cm. Prends π=3.14.

Solution.

Tout d'abord, nous définissons nos variables, θ=60°,r=8cm.

L'aire du secteur est donnée par ,

Asector=θ360°πr2Areasector=60°360°×3.14×82Areasector=16×3.14×64Areasector=33.49cm2.

Ainsi, l'aire du secteur sous-tendu par un angle de 60 degrés dans un cercle de rayon 8 cm est de 33,49 cm au carré. "height="19" id="5228655" role="math" style="max-width : none ;" width="9"> cm2

Utiliser les angles en radians.

Parfois, plutôt que de te donner l'angle en degrés, on te donne ton angle en radians. L'are du secteur est donc ,

Areasector=θ2r2

Comment cette formule est-elle calculée ?

Nous rappelons que Math input errordonc360°=2π.

Maintenant, remplace par la formule de l'aire du secteur, dérivée plus tôt dans l'article, nous obtenons

Asector=θ360×πr2Areasector=θ2π×πr2Areasector=θ2r2.

L'aire d'un secteur sous-tendu par un angle θ(exprimé en radians) est donnée par

Areasector=θ2r2.

Calcule la surface d'un secteur de 2,8 mètres de diamètre dont l'angle soustendu est de 0,54 radians.

Solution.

Nous définissons nos variables, r = 2,8m, θ = 0,54 radians.

La surface du secteur est donnée par

Areasector=θ2r2.Areasector=0.542×2.82Areasector=0.27×7.84Areasector=2.12m2

Utilisation de la longueur de l'arc

Si la longueur d'un arc est donnée, tu peux aussi calculer l'aire d'un secteur.

On rappelle d'abord la circonférence du cercle,

Circumferenceofacircle=2πr.

Note que l'arc est une partie de la circonférence du cercle qui est déterminée par l'angle soustendu. θ.

En supposant que θest exprimé en degrés, nous avons

arclength=θ360°×2πr.

Rappelle-toi maintenant la formule de l'aire de l'arc sous-tendu par l'angle θ,

Areasector=θ360πr2,

et cette formule peut être réécrite de la façon suivante

Areasector=θ360πr2=θ360.2×2×πr×r=θ360×2×πr×r2=arclength×r2

Ainsi ,

Areasector=arclength×r2.

Le calcul ci-dessus peut également être effectué si l'angle sous-tendu est mesuré en radians.

L'aire d'un secteur sous-tendu par un angle θétant donné sa longueur d'arc, est donnée par Areasector=arclength×r2.

Trouve la surface d'un secteur dont la longueur d'arc est de 12 cm et le rayon de 8 cm.

Solution.

Nous définissons nos variables, r = 8cm, longueur d'arc = 12cm.

L'aire du secteur est donnée par

Areasector=Arclength×r2Areasector=12×82Areasector=12×4Areasector=48cm2.

Aire des secteurs circulaires - Principaux enseignements

  • Un secteur est une portion de cercle délimitée par deux rayons et un arc.
  • Les secteurs majeurs et mineurs sont deux types de secteurs formés lorsqu'un cercle est divisé.
  • L'aire d'un secteur sous-tendu par un angle θ peut être calculée grâce aux informations données sur cet angle ou grâce à la longueur de son arc.
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Aire des secteurs circulaires
Questions fréquemment posées en Aire des secteurs circulaires
Qu'est-ce qu'un secteur circulaire?
Un secteur circulaire est une portion d'un cercle délimitée par deux rayons et un arc.
Comment calcule-t-on l'aire d'un secteur circulaire?
L'aire d'un secteur circulaire est calculée en multipliant l'aire totale du cercle par la fraction de l'angle central sur 360°.
Quelle est la formule de l'aire d'un secteur circulaire?
La formule est : Aire = (θ/360) * π * r², où θ est l'angle central en degrés et r est le rayon.
Comment trouver l'angle central d'un secteur circulaire?
L'angle central peut être trouvé en utilisant des informations données comme la longueur de l'arc ou en mesurant directement l'angle formé par les deux rayons.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

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