Aire des secteurs circulaires

Types de secteurs

Il existe deux types de secteurs formés lors de la division d'un cercle.

Secteur principal

Ce secteur est la plus grande portion du cercle. Il a un angle plus grand qui est supérieur à 180 degrés.

Secteur mineur

Le secteur mineur est la plus petite partie du cercle. Il a un angle plus petit qui est inférieur à 180 degrés.

Illustration des secteurs majeurs et mineurs, Njoku - StudySmarter Originals

Comment calculer l'aire d'un secteur ?

En dérivant la formule de l'aire à l'aide de l'angle sous-tendu par le secteur.

En utilisant les angles en degrés.

Remarquons que l'angle couvrant tout le cercle est de 360 degrés, et rappelons que l'aire d'un cercle est ^πr2.

Un secteur est une portion de cercle contenant deux rayons et un arc, et donc notre but est de trouver un moyen de réduire le cercle jusqu'à ce que nous trouvions un arc.

Étape 1.

Le cercle est entier, on considère donc l'angle de 360 degrés, l'aire est donc de .

$Are{a}_{circle}=\pi r^2$.

Étape 2.

D'après le schéma ci-dessus, le cercle a été divisé en deux. Cela signifie que l'aire de chacun des demi-cercles obtenus est ,

$Are{a}_{semicircle}=\frac{1}{2}\pi r^2$.

Note que l'angle sous-tendu par le demi-cercle est de 180 degrés, ce qui correspond à la moitié de l'angle sous-tendu au centre du cercle entier. En divisant 180 degrés par 360 degrés, on obtient que $\frac{1}{2}$ ce qui multiplie la surface du cercle. En d'autres termes ,

$Are{a}_{semicircle}=\frac{180}{360}{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{1}{2}{\mathrm{\pi r}}^2.$

Étape 3.

Maintenant, nous divisons le demi-cercle pour obtenir un quart de cercle. La surface du quart de cercle est donc la suivante

$Are{a}_{quarterofthecircle}=\frac{1}{4}\pi r^2$.

Note que l'angle formé par le quart de cercle est de 90 degrés, ce qui correspond au quart de l'angle sous-tendu par le cercle entier. En divisant 90 degrés par 360 degrés, on obtient que $\frac{1}{4}$ce qui multiplie la surface du cercle. En d'autres termes ,

$Are{a}_{quarterofthecircle}=\frac{90°}{360°}{\mathrm{\pi r}}^2=\frac{1}{4}{\mathrm{\pi r}}^2.$

Étape 4.

Les étapes ci-dessus peuvent être généralisées à n'importe quel angle $\theta$. En effet, on peut déduire que l'angle sous-tendu par le secteur d'un cercle détermine l'aire de ce secteur et on a donc

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2.$

où θ est l'angle sous-tendu par le secteur et $r$ est le rayon du cercle.

Utiliser les angles en radians.

Parfois, plutôt que de te donner l'angle en degrés, on te donne ton angle en radians. L'are du secteur est donc ,

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{2}{r}^2$

Comment cette formule est-elle calculée ?

Nous rappelons que $180°=\mathrm{\pi }\mathrm{<a\; data-studyset-id="22423928"\; data-summary-id="71941064"\; href="/resumes/mathematiques/mathematiques-pures/radians/">radians</a>}$donc$360°=2\pi$.

Maintenant, remplace par la formule de l'aire du secteur, dérivée plus tôt dans l'article, nous obtenons

$$\begin{gathered} A_{sector}=\frac{\theta }{360}\times \pi r^2 \\ Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{2\pi }\times {\mathrm{\pi r}}^2 \\ {\mathrm{Area}}_{\mathrm{sector}}=\frac{\mathrm{\theta }}{2}{\mathrm{r}}^2. \end{gathered}$$

Utilisation de la longueur de l'arc

Si la longueur d'un arc est donnée, tu peux aussi calculer l'aire d'un secteur.

On rappelle d'abord la circonférence du cercle,

$Circumferenceofacircle=2\pi r$.

Note que l'arc est une partie de la circonférence du cercle qui est déterminée par l'angle soustendu. $\theta$.

En supposant que $\theta$est exprimé en degrés, nous avons

$arclength=\frac{\theta }{360°}\times 2\pi r$.

Rappelle-toi maintenant la formule de l'aire de l'arc sous-tendu par l'angle $\theta ,$

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2$,

et cette formule peut être réécrite de la façon suivante

$Are{a}_{sector}=\frac{\theta }{360}\pi r^2=\frac{\theta }{360.2}\times 2\times \pi r\times r=\frac{\theta }{360}\times 2\times \pi r\times \frac{r}{2}=arclength\times \frac{r}{2}$

Ainsi ,

$Are{a}_{sector}=arclength\times \frac{r}{2}.$