Contenu de l'apprentissage
Trouver des contenus d'apprentissage

Découvre les meilleurs supports d'apprentissage pour toutes les matières.

Resumes
Matières scolaires

Allemand

Anglais

Biologie

Chinois

Droit

Économie et gestion

Espagnol

Français

Géographie

Histoire

Informatique

Ingénierie

Italien

Marketing

Mathématiques

Physique-chimie

Psychologie

Science de l'environnement

Sciences combinées

Sciences économiques et sociales

Sciences politiques

Soins infirmiers
Fonctionnalités
Fonctionnalités

Inscris-toi gratuitement et découvre toutes les fonctionnalités de StudySmarter.

Flashcards

StudySmarter IA

Notes de cours

Planning de révision

Dossiers

Examens
Quelles sont les nouveautés ?

Flashcards
Apprends et crée des flashcards comme jamais auparavant.

StudySmarter AI
Tous tes documents d'apprentissage rassemblés en un seul endroit.

Notes de cours
Crée et édite les plus belles notes.

Planning de révision
Une organisation parfaite avec des plans d'apprentissage et des listes de to-do.
Ressources
Découvrir

Tous les conseils et astuces sur les études et la carrière.

Magazine

Faire carrière

App mobile
Nous présentons

Magazine
Des articles utiles pour les études et la carrière.

Faire carrière
Le plus grand site d'emploi pour les étudiants.

App mobile
Tout ce dont tu as besoin pour apprendre dans une app.

Trouver des contenus d'apprentissage

Fonctionnalités

Découvrir

Aire des polygones réguliers

Tout ce qui nous entoure a une forme particulière, qu'il s'agisse de la table, de l'horloge ou des aliments comme les sandwichs ou les pizzas. En géométrie notamment, nous avons vu et étudié différentes formes comme les triangles ou les carrés et bien d'autres encore. Ces formes sont des exemples de polygones. Rappelle qu'un polygone est une forme fermée à deux dimensions formée à l'aide de lignes droites.

C'est parti

Fact Checked Content
Last Updated: 01.01.1970
reading time:9 min

Content creation process designed by
Content cross-checked by
Content quality checked by

Dans cet article, nous allons comprendre le concept de l' aire despolygones réguliers, en trouvant l'apothème.

Qu'est-ce qu'un polygone régulier ?

Un polygone régulier est un type de polygone dans lequel tous les côtés sont égaux entre eux et tous les angles sont également égaux. De plus, la mesure de tous les angles intérieurs et extérieurs est égale, respectivement.

Les polygones réguliers sont des figures géométriques dont tous les côtés ont la même longueur (équilatéraux) et tous les angles ont la même taille (équiangulaires).

Les polygones réguliers comprennent les triangles équilatéraux (3 côtés), les carrés (4 côtés), les pentagones réguliers (5 côtés), les hexagones réguliers (6 côtés), etc.

Polygone régulier, polygone régulier, StudySmarter Originals Polygones réguliers, StudySmarter Originals

Note que si le polygone n'est pas régulier (c'est-à-dire qu'il n'a pas des longueurs de côtés et des angles égaux), on peut alors l'appeler polygone irrégulier. Par exemple, un rectangle ou un quadrilatère peut être appelé polygone irrégulier.

Propriétés et éléments d'un polygone régulier

Considérons d'abord les propriétés et les éléments d'un polygone régulier avant d'entamer la discussion sur son aire.

Tout polygone régulier a différentes parties comme un rayon, un apothème, un côté, un cercle intérieur, un cercle extérieur et un centre. Discutons du concept d'apothème.

L' apothème d'un polygone est un segment allant du centre du polygone au milieu de l'un des côtés. Cela signifie qu'il est perpendiculaire à l'un des côtés du polygone.

Surface d'un polygone régulier, apothème, StudySmarter Apothème du polygone régulier, StudySmarter Originals

L'apothème est la ligne qui va du centre à un côté et qui est perpendiculaire à ce côté ; elle est désignée par la lettre a.

Pour trouver l'apothème du polygone, nous devons d'abord trouver son centre. Pour un polygone ayant un nombre pair de côtés, cela peut se faire en traçant au moins deux lignes entre des coins opposés et en regardant où elles se croisent. L'intersection sera le centre. Si le polygone a un nombre impair de côtés, tu devras plutôt tracer des lignes entre un coin et le milieu du côté opposé.

Surface d'un polygone régulier, apothème, StudySmarter Diagonales et centre d'un polygone régulier, StudySmarter Originals

Les propriétés d'un polygone régulier sont les suivantes :

Tous les côtés d'un polygone régulier sont égaux.
Tous les angles intérieurs et extérieurs sont respectivement égaux.
Chaque angle d'un polygone régulier est égal à $\frac{(n - 2) \times 180 °}{n} .$
Le polygone régulier existe pour 3 côtés ou plus.

Formule pour l'aire des polygones réguliers

Tu sais maintenant tout ce dont tu as besoin pour utiliser la formule permettant de trouver l'aire d'un polygone régulier. La formule pour trouver l'aire d'un polygone régulier est la suivante :

$A r e a = \frac{a \times p}{2}$

où a est l'apothème et p le périmètre. Le périmètre d'un polygone régulier peut être trouvé en multipliant la longueur d'un côté par le nombre total de côtés.

Dérivation de la formule de l'aire à l'aide d'un triangle rectangle

Jetons un coup d'œil à la dérivation de cette formule afin de comprendre d'où elle vient. Nous pouvons dériver la formule de l'aire des polygones réguliers en utilisant un triangle rectangle pour construire n triangles de taille égale dans un polygone de n côtés. Ensuite, nous pouvons additionner toutes les surfaces des triangles individuels pour trouver la surface du polygone entier. Par exemple, un carré a quatre côtés et peut donc être divisé en quatre triangles, comme indiqué ci-dessous.

Surface d'un polygone régulier, polygone carré, StudySmarter Division d'un carré en quatre parties égales, StudySmarter Originals

Ici, x est la longueur d'un côté et a est l'apothème. Tu te souviens peut-être que la surface d'un triangle est égale à $\frac{b \times h}{2}$ où b est la base du triangle et h la hauteur.

Dans ce cas,

b = x

h = a

Ainsi, la surface d'un triangle à l'intérieur du carré peut être exprimée comme suit :

$\frac{a \times x}{2}$

Comme il y a quatre triangles, nous devons multiplier ce résultat par quatre pour obtenir la surface totale du carré. Cela donne :

$\Rightarrow 4 \times \frac{a \times x}{2} = \frac{a \times 4 x}{2}$

Considère le terme 4x. Tu as peut-être déjà remarqué que le périmètre du carré est la somme de ses quatre côtés, égale à $4 x$ . Nous pouvons donc substituer $p = 4 x$ dans notre équation pour obtenir la formule générale de l'aire d'un polygone régulier :

$A r e a = \frac{a \times p}{2}$

Trouver l'aire des polygones réguliers à l'aide de la trigonométrie.

La longueur de l'apothème ou le périmètre ne sont pas toujours indiqués dans une question sur les polygones réguliers. Cependant, dans de tels cas, nous pouvons utiliser nos connaissances en trigonométrie pour déterminer l'information manquante si nous connaissons la longueur du côté et la taille de l'angle. Voyons comment la trigonométrie se rapporte aux polygones réguliers à l'aide de l'exemple de scénario suivant.

On nous donne un polygone régulier à n côtés, de rayon r et de longueur de côté x.

Aire d'un polygone régulier, polygone régulier, StudySmarter Polygone régulier à n(=5) côtés, StudySmarter Originals

Nous savons que l'angle $θ$ sera $\frac{360 °}{n} .$ Considérons une section du polygone, comme le montre la figure ci-dessous. Dans cette section, nous traçons un apothème à partir du centre, en le divisant en deux triangles droits.

Aire d'un polygone régulier, partie d'un polygone régulier, StudySmarter Une partie du polygone régulier, StudySmarter Originals

Nous savons que $∠ B A C$ est $θ,$ alors $∠ B A D & ∠ D A C$ sera $\frac{θ}{2}$ respectivement, puisque l'apothème est la bissectrice perpendiculaire au centre. Maintenant, en calculant l'aire de l'un des triangles rectangles, nous pouvons trouver l'aire du polygone régulier. Par conséquent, l'aire du triangle rectangle est :

$A r e a = \frac{1}{2} \times a \times (\frac{x}{2})$

où, $a = r \cos (\frac{θ}{2}), \frac{x}{2} = r \sin (\frac{θ}{2}) .$

L'aire de la section du polygone est le double de l'aire du triangle rectangle.

$\Rightarrow A r e a o f o n e p a r t o f p o l y g o n = 2 \times a r e a o f r i g h t t r i a n g l e = a \times (\frac{x}{2})$

Maintenant, si l'on considère toutes les sections du polygone, l'aire du polygone entier est n fois l'aire d'une section.

$\Rightarrow A r e a o f r e g u l a r p o l y g o n = n \times a r e a o f o n e p a r t o f p o l y g o n = n \times (a \times (\frac{x}{2}))$

Exemples et problèmes concernant l'aire des polygones réguliers

Voyons quelques exemples et problèmes résolus traitant de l'aire des polygones réguliers.

Trouve l'aire du polygone régulier donné.

Aire d'un polygone régulier, partie d'un polygone régulier, StudySmarter Polygone régulier, StudySmarter Originals

Solution : Ici, on nous donne que $a = 14, s i d e = 28 \sqrt{3}$ . Le périmètre p est donc :

$p = 3 \times s i d e = 3 \times 28 \sqrt{3} = 145.5$

Par conséquent, l'aire du polygone régulier est :

id="5228307" role="math" $A r e a = \frac{a \times p}{2} = \frac{14 \times 145.5}{2} = 1018.5$

Trouve l'aire d'un hexagone dont le côté mesure 4 cm et l'apothème 3,46 cm.

Solution : Comme l'apothème est déjà donné dans la question, il suffit de trouver le périmètre de l'hexagone pour utiliser la formule de l'aire.

A r e a = \frac{a \times p}{2}

Le périmètre est la longueur d'un côté multipliée par le nombre de côtés.

\Rightarrow p = 4 \times 6 = 24 c m

En substituant maintenant toutes les valeurs dans la formule de l'aire, nous obtenons :

$A r e a = \frac{24 \times 3.46}{2} = 41.52 c m^{2}$

Supposons qu'une cour carrée ait une longueur de 3 pieds. Quelle est la superficie de cette cour ?

Solution : On nous donne un polygone carré d'une longueur de 3 pieds. $x = 3 f t .$ Nous devons calculer la valeur de l'apothème pour trouver la surface.

Surface d'un polygone régulier, Polygone carré, StudySmarter Polygone carré de 3 pieds de côté, StudySmarter Originals

Tout d'abord, divisons le carré en quatre sections égales. L'angle d'une section du polygone (par rapport au centre) est le suivant $θ = \frac{360 °}{n} = \frac{360 °}{4} = 90 °$ . Comme chaque section peut être divisée en deux triangles droits, l'angle associé à un triangle droit est de . $\frac{θ}{2} = \frac{90 °}{2} = 45 ° .$

Nous pouvons maintenant utiliser un rapport trigonométrique pour évaluer le triangle rectangle. Nous pouvons trouver la valeur de l'apothème a comme :

$\tan (\frac{θ}{2}) = \frac{o p p s i d e}{a d j s i d e} \tan 45 ° = \frac{(\frac{3}{2})}{a} \Rightarrow a = \frac{(\frac{3}{2})}{\tan 45 °} = \frac{(\frac{3}{2})}{1} = 1.5$

Maintenant, en substituant toutes les valeurs dans la formule, nous calculons la surface du polygone régulier :

$A r e a = n \times (a \times (\frac{x}{2})) = 4 \times (1.5 \times 1.5) = 9 f t^{2}$

La superficie de la cour est donc de 9 pieds carrés.

Surface des polygones réguliers - Principaux enseignements

Un polygone régulier est équilatéral et équiangulaire.
L'apothème d'un polygone est un segment allant du centre du polygone au milieu de l'un des côtés.
Le périmètre d'un polygone régulier peut être trouvé en multipliant la longueur d'un côté par le nombre de côtés.
La formule pour trouver l'aire d'un polygone régulier est la suivante $A r e a = \frac{a \times p}{2}$ .
L'apothème peut être calculé géométriquement à l'aide de la trigonométrie.

S'inscrire avec un e-mail

Tu as déjà un compte ? Connecte-toi

Questions fréquemment posées en Aire des polygones réguliers

Qu'est-ce qu'un polygone régulier?

Un polygone régulier est une figure géométrique avec tous les côtés et tous les angles égaux.

Comment calcule-t-on l'aire d'un polygone régulier?

On calcule l'aire d'un polygone régulier en utilisant la formule: Aire = (perimètre * apothème) / 2.

Qu'est-ce que l'apothème dans un polygone régulier?

L'apothème est le segment de droite perpendiculaire du centre d'un polygone régulier à l'un de ses côtés.

Quelle est la différence entre un polygone régulier et un polygone quelconque?

Un polygone régulier a tous les côtés et angles égaux, tandis qu'un polygone quelconque n'a pas cette propriété.

Sauvegarder l'explication

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études

À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.