Aire des parallélogrammes: Formule, Exemple

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Maintenant, remarque que les côtés supérieur gauche et inférieur droit du cerf-volant illustré ci-dessous sont parallèles l'un à l'autre. De même, les côtés supérieur droit et inférieur gauche de ce cerf-volant sont parallèles l'un à l'autre.

Tu peux deviner de quel type de quadrilatère il s'agit ? C'est exact ! C'est un parallélogramme.

Disons qu'on te demande de trouver l'aire de ce cerf-volant. Comme il s'agit d'un type de parallélogramme, nous pourrions utiliser une formule particulière pour calculer l'aire de ce cerf-volant.

Illustration d'un cerf-volant, StudySmarter Originals

Tout au long de cet article, nous allons nous familiariser avec la formule de calcul de l'aire d'un parallélogramme et examiner quelques exemples d'application de cette formule.

Rappel sur les parallélogrammes

Avant d'entrer dans le sujet principal qui nous occupe, effectuons un rapide rappel sur les parallélogrammes pour nous faciliter la tâche.

Comme son nom l'indique, un parallélogramme a des côtés parallèles. Ainsi, nous pouvons définir un parallélogramme comme suit.

Un parallélogramme est un quadrilatère ayant deux paires de côtés parallèles et opposés. Un parallélogramme est un cas particulier de quadrilatère.

Une figure plane à quatre côtés est appelée quadrilatère.

La figure suivante décrit un parallélogramme dont les côtés sont AB, BD, CD et AC.

Illustration d'un parallélogramme, StudySmarter Originals

Propriétés des parallélogrammes

Nous allons revenir à notre parallélogramme ABCD ci-dessus. Examinons quelques propriétés qui distinguent cette forme.

Les côtés opposés de ABCD sont parallèles. Dans ce cas, AB est parallèle à CD et AC est parallèle à BD. Nous l'écrivons AB // CD et AC // BD,
Les angles opposés de ABCD sont égaux. Ici, ∠CAB = ∠CDB et ∠ACD = ∠ABD,
Les diagonales d'un parallélogramme se coupent en un point, disons M. Alors, AM = MD et BM = MC. Ceci est illustré ci-dessous,

Propriété d'un diagramme en parallélogramme, StudySmarter Originals

Propriété d'un parallélogramme , StudySmarter Originals

Chaque diagonale d'un parallélogramme divise le parallélogramme en deux triangles congruents. Le triangle CAB est congru au triangle CDB et le triangle ACD est congru au triangle ABD.

Types de parallélogrammes

Il existe trois types de parallélogrammes que nous devons prendre en compte tout au long de ce syllabus, à savoir

Rectangle
le carré
Le losange

Chacun de ces parallélogrammes a ses caractéristiques distinctes qui les différencient les uns des autres. Une explication plus détaillée des parallélogrammes peut être trouvée ici, Parallélogrammes.

Définition de l'aire d'un parallélogramme

L'aire d'un parallélogramme est définie comme la région délimitée par un parallélogramme dans un espace à deux dimensions.

Dans le diagramme ci-dessus, la surface totale délimitée par ABCD est la surface du parallélogramme ABCD.

Formule de calcul de l'aire du parallélogramme

En nous référant à notre parallélogramme initial ABCD, nous allons ajouter deux nouvelles composantes à cette figure, appelées b et h. Ceci est représenté dans le diagramme ci-dessous.

Un parallélogramme avec une base b et une hauteur h, Study Smarter Originals

La variable b est appelée la base du parallélogramme. L'un ou l'autre des grands côtés de ABCD peut être utilisé comme base. Pour le diagramme ci-dessus, b peut être AB ou CD. Ici, nous avons pris b = AB.

Note que cette notion est une convention et non une règle absolue.

La variable h est appelée la hauteur du parallélogramme. On peut également l'appeler l'altitude. L'altitude est le segment de droite perpendiculaire à une paire de côtés adjacents du parallélogramme dont l'une des extrémités se trouve sur un côté et l'autre sur l'autre côté.

Maintenant que nous avons défini nos variables b et h, nous pouvons donc présenter l'aire d'un parallélogramme comme suit.

La surface d'un parallélogramme quelconque est donnée par la formule,

$A = b \times h$

où b = base et h = hauteur.

Exemples de surface de parallélogramme

En gardant cela à l'esprit, observons maintenant les exemples travaillés suivants qui utilisent cette formule.

Trouve l'aire du parallélogramme suivant,

Exemple 1, StudySmarter Originals

Solution

Ici, la base est b = 24 unités et la hauteur est h = 10 unités. En utilisant la formule de l'aire d'un parallélogramme, nous obtenons ,

A = b \times h = 24 \times 10 = 240 u n i t s^{2}

Ainsi, l'aire de ce parallélogramme est de 240 ^unités2.

Un parallélogramme dont l'altitude est de 5 unités de longueur a une aire de 20 ^unités2. Quelle est la longueur de la base ?

Solution

Ici, on nous donne l'aire du parallélogramme et l'altitude (ou la hauteur), c'est-à-dire ,

A = 20 et h = 5.

Pour trouver la base, il suffit de substituer ces valeurs dans notre formule de l'aire d'un parallélogramme et de réarranger l'équation comme ci-dessous.

A = b \times h 20 = b \times 5 5 b = 20

En faisant de b le sujet, on obtient

$b = \frac{20}{5} = 4 u n i t s$

Ainsi, la base de ce parallélogramme est de 4 unités.

Trouver l'aire d'un parallélogramme à partir d'un rectangle

Supposons que nous voulions trouver la surface d'un parallélogramme dont la hauteur (ou l'altitude) est inconnue. Au lieu de cela, on nous donne les longueurs de deux côtés du parallélogramme, à savoir les longueurs AB et AC.

Essayons d'examiner ce scénario sous forme de graphique. En nous référant à notre parallélogramme initial ABCD, dessinons deux altitudes pour chaque paire de côtés adjacents, AC et AB ainsi que CD et BD.

Aire d'un parallélogramme à partir d'un rectangle, StudySmarter Originals

Nous obtenons ainsi deux nouveaux points sur ce parallélogramme, à savoir S et T. Observe maintenant la forme formée par BTCS. Cela te semble-t-il familier ? C'est bien cela ! C'est un rectangle, qui est également un type de parallélogramme. Nous devons maintenant trouver un moyen d'obtenir les longueurs de CS ou de BT pour pouvoir déduire la hauteur de ce parallélogramme.

Remarque que la construction de ces deux segments de droite nous a permis d'obtenir une paire de triangles à angle droit, CAS et BDT. Puisque CS = BT, il nous suffit de ne calculer qu'un seul d'entre eux. Examinons le triangle CAS.

Triangle CAS, StudySmarter Originals

Pour simplifier, nous désignerons les côtés suivants par : x = AS, y = CS et z = AC. Comme il s'agit d'un triangle rectangle, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour obtenir la longueur de CS, qui est la hauteur du parallélogramme ABCD. Étant donné les longueurs de AS et AC, nous avons

^x2 + ^y2 = ^z2

En réarrangeant le tout et en appliquant la racine carrée, on obtient

$y = \sqrt{z^{2} - x^{2}}$

Comme nous avons maintenant trouvé la longueur de CS, nous pouvons continuer à trouver la surface du parallélogramme ABCD à l'aide de la formule donnée. Nous prendrons la base comme étant la longueur de AB. Ainsi, l'aire du parallélogramme ABCD est

$A r e a_{A B C D} = A B \times C S$

Montrons-le à l'aide d'un exemple.

Étant donné le parallélogramme PQRS ci-dessous, trouve sa surface.

Exemple 2, StudySmarter Originals

La ligne OQ est l'altitude des côtés adjacents PQ et PS. Les longueurs de QR, PQ et PO sont respectivement de 12 unités, 13 unités et 5 unités.

Solution

Puisque QR = PS, nous pouvons prendre comme base QR = 12 unités. Nous devons maintenant trouver la hauteur de ce parallélogramme afin de trouver sa surface. Cette hauteur est donnée par le segment de droite OQ.

Le diagramme montre que le triangle QPO est un triangle rectangle. Comme la longueur de PO = 5 unités, nous pouvons utiliser le théorème de Pythagore pour trouver OQ.

$P O^{2} + O Q^{2} = P Q^{2} 5^{2} + O Q^{2} = 13^{2}$

En réarrangeant cela et en appliquant la racine carrée, nous obtenons la valeur suivante pour OQ,

$O Q^{2} = 13^{2} - 5^{2} O Q = \sqrt{13^{2} - 5^{2}} = \sqrt{169 - 25} = \sqrt{144} = 12 u n i t s$

Ainsi, la hauteur de ce parallélogramme est de 12 unités. Nous pouvons maintenant trouver l'aire de PQRS comme indiqué ci-dessous,

$A r e a_{P Q R S} = Q R \times O Q = 12 \times 12 = 144 u n i t s^{2}$

Par conséquent, l'aire de ce parallélogramme est de 144 ^unités2.

Exemple de parallélogramme inscrit dans un rectangle

Dans cet exemple, nous allons étudier le cas où un parallélogramme est inscrit à l'intérieur d'un rectangle. Nous voulons identifier la surface à l'intérieur du rectangle qui n'est pas occupée par le parallélogramme.

La figure ci-dessous montre un parallélogramme PXRY à l'intérieur d'un rectangle PQRS. Trouve l'aire de la région ombrée en bleu.

Exemple 3, Étudie des originaux plus intelligents Exemple 3, Study Smarter Originals

Le segment de droite XZ est l'altitude des côtés adjacents XP et PY. Ici, QP = RS = XZ, PX = RY et QR = PS. Les longueurs de QP, PY et SY sont respectivement de 19 unités, 21 unités et 7 unités.

Solution

Ici, la hauteur du rectangle PQRS est h = QP = 19 unités. La base est PS qui est la somme des longueurs PY et SY. La base est donc égale à

$P S = P Y + Y S = 21 + 7 = 28 u n i t s$

Ainsi, b = 28 unités. La formule de l'aire d'un rectangle est le produit de sa base et de sa hauteur. Ainsi, l'aire du rectangle PQRS est de

$A_{P Q R S} = b \times h = P S \times Q P = 28 \times 19 = 532 u n i t s^{2}$

Trouvons maintenant l'aire du parallélogramme PXRY. La hauteur du parallélogramme est donnée par XZ. Puisque XZ = QP, alors h = XZ = 19 unités . La base est donnée par la longueur de PY. Ainsi, b = PY = 21 unités. En utilisant la formule de l'aire d'un parallélogramme, on obtient

A_{P X R Y} = b \times h = P Y \times X Z = 21 \times 19 = 399 u n i t s^{2}

Ainsi, les aires du rectangle PQRS et du parallélogramme PXRY sont respectivement de 532 ^unités2 et de 399 ^unités2.

Nous devons maintenant trouver la surface ombrée en bleu qui n'est pas occupée par le parallélogramme à l'intérieur du rectangle. Pour ce faire, calcule la différence entre l'aire du rectangle PQRS et celle du parallélogramme PXRY. Ce faisant, nous obtenons

$A_{b l u e r e g i o n} = A_{P Q R S} - A_{P X R Y} = 532 - 399 = 133 u n i t s^{2}$

Par conséquent, l'aire de la région restante ombrée en bleu est de 133 ^unités2.

Un cas particulier : Aire du losange

Le losange est un type particulier de quadrilatère qui possède en fait sa propre formule pour calculer sa surface. Il est parfois appelé quadrilatère équilatéral. Rappelons la définition d'un losange.

Un losange est un parallélogramme dont les quatre côtés sont de même longueur.

Nous allons maintenant considérer le losange ci-dessous. Deux diagonales, AD (ligne bleu clair) et BC (ligne bleu foncé) sont construites sur ce parallélogramme. Les diagonales ont respectivement les longueurs _d1 et _d2.

Surface d'un losange, StudySmarter Originals

Surface d'un losange, StudySmarterOriginals

Aire d'un losange

L'aire du losange est donnée par la formule,

$A = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$

où A = surface, _d1 = longueur de la diagonale AD et _d2 = longueur de la diagonale BC.

Exemple d'aire d'un losange

Voici un exemple impliquant la formule de l'aire d'un losange.

Un losange a des diagonales de 10 unités et de 15 unités. Quelle est l'aire du losange ?

Solution

Notons _d1 = 10 unités et _d2 = 15 unités. En appliquant la formule ci-dessus, nous obtenons

$A = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \times 10 \times 15 = 75 u n i t s^{2}$

Ainsi, l'aire de ce losange est de 75 ^unités2.

La formule de l'aire d'un losange peut également être utilisée pour trouver l'aire d'un cerf-volant de la même manière.

Nous terminerons cet article par un dernier exemple impliquant l'aire d'un parallélogramme, ou plus précisément d'un cerf-volant.

Exemple réel de l'aire d'un parallélogramme

Nous allons maintenant revenir à notre exemple du début de cet article. Comme nous disposons maintenant d'une formule de base pour calculer l'aire d'un parallélogramme, nous pouvons donc l'utiliser pour trouver l'aire de notre cerf-volant.

Tu décides de mesurer les deux longueurs diagonales de ton cerf-volant à l'aide d'un mètre ruban. Tu trouves que la diagonale horizontale et la diagonale verticale sont égales à 18 pouces et 31 pouces, respectivement. En utilisant la formule de l'aire d'un losange, trouve l'aire de ce cerf-volant.

Exemple 4, Étudie des originaux plus intelligents Exemple 4, Study Smarter Originals

Solution

Soit

_d1 = diagonale horizontale = 18 pouces

_d2 = diagonale verticale = 31 pouces

En appliquant la formule de la surface d'un losange, on obtient

$A = \frac{1}{2} d_{1} d_{2} = \frac{1}{2} \times 18 \times 31 = 558 i n c h e s^{2}$

Ainsi, la surface de ce cerf-volant est de 558 ^pouces2.

Aire des parallélogrammes - Principaux enseignements

Un quadrilatère ayant deux paires de côtés opposés parallèles s'appelle un parallélogramme.
Il existe trois types de parallélogrammes : le rectangle, le carré et le losange.
Propriétés notables d'un parallélogramme :
- Les côtés opposés sont parallèles
- Les angles opposés sont égaux
- Les diagonales se coupent en un point.
- Chaque diagonale divise le parallélogramme en deux triangles congruents.
L'aire d'un parallélogramme est donnée par la formule : A = b × h, où b = base, h = hauteur.
L'aire du losange est donnée par la formule suivante : $A = \frac{1}{2} d_{1} d_{2}$ , où _d1 et d2_{sont les}longueurs des diagonales du losange.

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Questions fréquemment posées en Aire des parallélogrammes

Qu'est-ce qu'un parallélogramme ?

Un parallélogramme est un quadrilatère avec deux paires de côtés parallèles opposés.

Comment calcule-t-on l'aire d'un parallélogramme ?

L'aire d'un parallélogramme se calcule en multipliant la base par la hauteur : Aire = base * hauteur.

Quelle est la formule de l'aire d'un parallélogramme ?

La formule pour l'aire d'un parallélogramme est Aire = base * hauteur.

Quelle est la différence entre un parallélogramme et un rectangle ?

Un rectangle a des angles droits, tandis qu'un parallélogramme a des opposés parallèles mais pas forcément d'angles droits.

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