Aire des figures planes: Carré, Triangle

Table des mateères

Qu'est-ce qu'une figure plane ?

Les figures planes sont des surfaces à deux dimensions qui n'ont ni hauteur ni épaisseur.

Aire des figures planes en mathématiques

En mathématiques, les problèmes sur l'aire des figures planes peuvent se présenter de deux façons. Premièrement, on peut simplement te donner une forme plane qui peut être régulière ou irrégulière pour déterminer ses aires, comme trouver l'aire d'un polygone, d'un cercle ou d'une croix.

Deuxièmement, on peut te demander de trouver l'aire d'une surface plane dérivée d'un solide à trois dimensions. Par exemple, si l'on te demande de trouver l'aire de la base d'un prisme triangulaire, cela signifie certainement que l'on t'a demandé de trouver l'aire d'un plan triangulaire puisque la base de ce prisme est triangulaire. Sois vigilant car ta démarche dépend de la forme de la question.

Types d'aires de figures planes

Les figures planes ou formes planes sont classées en figures régulières et irrégulières.

Figures planes régulières

Nous avons des figures planes régulières lorsque les angles intérieurs et la longueur des côtés sont égaux. Les exemples de figures planes régulières sont, par exemple, un carré, un triangle équilatéral et un polygone régulier (pentagone régulier, hexagone régulier, heptagone régulier, octogone régulier, etc.)

Surface des figures planes Image des figures planes régulières StudySmarter

Image de figures planes régulières, StudySmarter Originals

Figures planes irrégulières

Lesfigures planes irrég ulières apparaissent lorsque les angles intérieurs ou la longueur des côtés sont inégaux. Les exemples de figures planes irrégulières sont un rectangle, un parallélogramme, un triangle non équilatéral (droit, isocèle, scalène), des quadrilatères irréguliers, des pentagones irréguliers, des hexagones irréguliers, etc.

Aire des figures planes Images de figures planes irrégulières StudySmarter Originals

Images de figures planes irrégulières, StudySmarter Originals

Comment résoudre l'aire de figures planes ?

Nous allons chercher à trouver l'aire de plusieurs formes planes. Il est important de noter que l'unité de surface est l'unité carrée, par ex. $c m^{2}, f t^{2}, m^{2}$ etc.

Triangles

Un triangle est une forme plane à trois côtés. La formule générale utilisée pour calculer la surface d'un triangle est le produit de la moitié de sa base et de sa hauteur :

Aire des figures planes Illustration sur l'aire d'un triangle StudySmarter Illustration sur l'aire d'un triangle, StudySmarter Originals

$A_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} \times b a s e \times h e i g h t = \frac{1}{2} \times b \times h .$

Une pelouse triangulaire d'une longueur de base de 12 m et d'une hauteur de 15 m doit être débroussaillée. Calcule le temps nécessaire pour débroussailler la pelouse s'il faut 4 minutes pour débroussailler un mètre carré de la pelouse.

Solution :

Comme la pelouse est un triangle, il faut trouver son aire. Nous rappelons que l'aire d'un triangle est donnée par ,

$A_{t r i a n g u l a r l a w n} = \frac{1}{2} \times b \times h$

Ici, b=12 m et h=15 m. En remplaçant la formule, on obtient

$A_{t r a i n g u l a r l a w n} = \frac{1}{2} \times 12 \times 15 = 6 \times 15 = 90 m^{2}$

Nous rappelons que $1 m^{2}$ de pelouse prend 4 minutes pour être nettoyée, alors $90 m^{2}$ prendra,

$4 m i n s \times 90 = 360 m i n s$

Mais, 1 h est 60 min, donc, 360 min sont 6 heures.

Enfin, il faudra 6 heures à un individu pour nettoyer la pelouse.

Quadrilatères

Un quadrilatère est une forme plane à 4 côtés dont la somme des angles intérieurs est égale à 360 degrés. Il existe plusieurs quadrilatères, chacun possède une formule pour calculer sa surface.

Rectangle

Un rectangle a tous ses angles intérieurs égaux à 90 degrés et ses côtés opposés sont égaux.

Aire des figures planes Illustration sur l'aire d'un rectangle StudySmarter Illustration sur l'aire d'un rectangle, StudySmarter Originals

L'aire d'un rectangle est donnée par,

A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h \times b r e a d t h

Carré

Un carré a tous ses angles intérieurs égaux à 90 degrés. De plus, tous ses côtés sont égaux.

Aire des figures planes Illustration sur l'aire d'un carré, StudySmarter Illustration sur l'aire d'un carré, StudySmarter Originals

L'aire du carré est donnée par ,

A r e a_{s q u a r e} = l e n g t h \times b r e a d t h = l^{2}

Un garage rectangulaire sablonneux d'une longueur de 16 m et d'une largeur de 18 m doit être recouvert de 2 m de carreaux de forme carrée. Combien de carreaux seront nécessaires pour compléter le revêtement de sol ?

Solution :

Nous devons d'abord calculer la taille du garage rectangulaire. Pour cela, nous calculons sa surface,

$A_{r e c \tan g u l a r g a r a g e} = l \times b = 16 \times 18 = 288 m^{2}$

Ensuite, nous devons trouver la taille du carrelage en calculant la surface du carré,

$A_{s q u a r e t i l e} = l^{2} = 2^{2} = 4 m^{2}$

Pour calculer le nombre de carreaux qui serviraient à recouvrir le sol du garage, nous avons

$n u m b e r o f t i l e s = \frac{A r e a_{r e c \tan g u l a r g a r a g e}}{A r e a_{s q u a r e t i l e}} = \frac{288}{4} = 72 .$

Il faut donc 72 carreaux pour recouvrir le sol du garage.

Losange

Un losange est également appelé diamant. Il a également tous ses côtés égaux. Ses côtés opposés sont parallèles. Sa surface se calcule en multipliant ses diagonales et en les divisant par 2.

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un losange StudySmarter Illustration de l'aire d'un losange, StudySmarter Originals

L'aire d'un losange est donnée par ,

A r e a_{R h o m b u s} = \frac{f i r s t d i a g o n a l \times s e c o n d d i a g o n a l}{2} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2} .

Les diagonales d'un losange mesurent respectivement 18 cm et 6 cm, trouve l'aire du losange.

Solution :

L'aire d'un losange est donnée par ,

$A r e a_{R h o m b u s} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2} = \frac{18 \times 6}{2} = 54 c m^{2}$

Parallélogramme

Un parallélogramme a ses côtés opposés parallèles et égaux. Sa surface se calcule en trouvant le produit entre la base et la hauteur du parallélogramme.

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un parallélogramme StudySmarter Illustration de l'aire d'un parallélogramme, StudySmarter Originals

L'aire d'un parallélogramme est donnée par,

$A r e a_{p a r a l l e \log r a m} = b \times h$

Trouve l'aire d'un parallélogramme dont la base est de 12 cm et la hauteur de 30 cm.

Solution :

$A r e a_{p a r a l l e \log r a m} = b \times h = 12 \times 30 = 360 c m^{2}$

Cerf-volant

Un cerf-volant a ses côtés adjacents égaux les angles intérieurs opposés sont égaux. L'aire d'un cerf-volant se calcule en trouvant le produit entre ses deux diagonales et en les divisant par 2.

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un cerf-volant StudySmarter Illustration de l'aire d'un cerf-volant, StudySmarter Originals

L'aire d'un cerf-volant est donnée par,

A r e a_{K i t e} = \frac{d_{1} \times d_{2}}{2}

Trapèze

Un trapèze est une forme bidimensionnelle dont deux des côtés sont parallèles, généralement appelés bases. Sa surface est calculée en obtenant la somme des bases et en la multipliant par la moitié de sa hauteur.

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un trapèze StudySmarter Illustration de l'aire d'un trapèze, StudySmarter Originals

L'aire d'un trapèze est donnée par,

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{h (a + b)}{2}$

Une armoire à base trapézoïdale dont la hauteur de la base est de 15 cm et dont les bases sont respectivement de 13 cm et 27 cm, est placée dans la chambre de Finicky. Trouve la taille de l'étage qu'elle occupe.

Solution :

Il faut trouver l'aire de l'armoire à base trapézoïdale en utilisant la formule,

$A_{p a r a l l e \log r a m} = \frac{h (a + b)}{2} = \frac{15 (13 + 27)}{2} = \frac{15 (40)}{2} = 300 c m^{2}$

Pentagone

Un pentagone est une figure plane à 5 côtés. Il possède un apothème qui est la distance perpendiculaire entre le milieu d'un de ses côtés et le centre du pentagone. La somme de tous les angles intérieurs d'un pentagone est de 540 degrés alors que chaque angle intérieur est égal à 108 degrés pour un pentagone régulier.

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un pentagone, StudySmarter Illustration de l'aire d'un pentagone, StudySmarter Originals

On désigne par b la longueur du côté et par a l'apothème,

$A r e a_{P e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times b^{2}$

Cependant, si l'apothème est donné, la zone est ainsi.

$A r e a_{P e n t a g o n} = \frac{5}{2} \times b \times a$

Trouve la surface d'un pentagone dont l'un des côtés mesure 6 cm.

Solution :

L'aire d'un pentagone se calcule comme suit ,

$A_{p e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times b^{2}$

Mais b est de 6 cm, donc

$A_{p e n t a g o n} = \frac{1}{4} (\sqrt{5 (5 + 2 \sqrt{5})}) \times 6^{2} = 61.937 c m^{2}$

Hexagone

Un hexagone est un polygone à 6 côtés. La somme de tous les angles intérieurs d'un hexagone est égale à 720 degrés et chaque angle intérieur d'un hexagone régulier est égal à 120 degrés.

Surface des figures planes Une illustration de la surface d'un hexagone, StudySmarter Illustration de l'aire d'un hexagone, StudySmarter Originals

Si b est la longueur de chaque côté et que a est l'apothème, nous avons

$A r e a_{H e x a g o n e} = \frac{3 \sqrt{3}}{2} \times b^{2}$

Dans le cas où l'apothème est donné, l'aire devient,

${Area}_{H e x a g o n} = \frac{1}{2} \times a \times perimeter of hexagon$

Un hexagone régulier, dont les côtés sont tous de même longueur, nous avons

$A r e a_{R e g u l a r h e x a g o n} = \frac{1}{2} \times a \times 6 b = 3 a b$

Trouve l'aire d'un hexagone régulier dont chaque côté mesure 3,17 m et l'apothème 16,5 m.

Solution :

Nous utilisons la formule pour trouver l'aire d'un hexagone avec un apothème donné,

$A = 3 a b$

où a vaut 16,5 m et b 3,17 m,

$A r e a_{r e g u k a r h e x a g o n} = 3 \times 16.5 \times 3.17 = 156.915 m^{2}$

Cercle

Un cercle est une figure plane ronde dont la limite (la circonférence) est constituée de points équidistants d'un point fixe appelé le centre. Une ligne qui passe par le cercle d'une extrémité à l'autre en passant par son centre est le diamètre. Une ligne tracée à partir de n'importe quelle partie de la circonférence du cercle jusqu'au centre du cercle est le rayon.

Aire des figures planes Une image illustrant l'aire d'un cercle avec le rayon et le diamètre, StudySmarter Image illustrant l'aire d'un cercle avec le rayon et le diamètre, StudySmarter Originals

L'aire d'un cercle est donnée par la formule,

A r e a_{c i r c l e} = π r^{2}

Trouve l'aire d'un cercle dont le rayon est de 7 cm. Take id="5227518" role="math" $π = \frac{22}{7} .$

Solution :

Ici, r est égal à 7 cm, et $π = \frac{22}{7}$ alors

id="5227519" role="math" $A r e a_{c i r c l e} = π r^{2} = \frac{22}{7} \times 7^{2} = 154 c m^{2}$

Quelques formes planes irrégulières

Il est facile de calculer la surface des formes régulières car la formule est appliquée directement. Cependant, lorsqu'il s'agit de calculer la surface de formes irrégulières, il faut plus qu'une simple application de formules.

La première chose à faire est de trouver un lien ou une ressemblance entre la forme irrégulière et une forme régulière. Cela permettra de déterminer quelle formule peut être utilisée par la suite.

Trouve l'aire de la figure ci-dessous,

Aire des figures planes Image d'une forme en croix StudySmarter Une image d'une forme en croix, StudySmarter Originals

Solution :

L'aire de la figure ci-dessus se calcule mieux si la figure est décomposée en formes régulières.

Aire des figures planes Une illustration sur la façon de calculer l'aire d'une forme en croix StudySmarter Illustration de la façon de calculer l'aire d'une croix, StudySmarter Originals

La figure a donc été décomposée en rectangles A, B et C.

Trouvons l'aire de chacun d'eux. Nous rappelons que l'aire d'un rectangle est donnée par,

$A r e a_{r e c \tan g l e} = l e n g t h \times b r e a d t h$

Donc

$A r e a_{A} = 9 \times 3 = 27 c m^{2}$ .

Maintenant, pour trouver l'aire du rectangle B, nous devons d'abord trouver sa longueur.

$L e n g t h_{r e c \tan g l e B} = 3 + 9 + 3 = 15 c m .$

Ainsi, l'aire du rectangle B est donnée par ,

$A r e a_{r e c a t n g l e B} = l e n g t h_{r e c \tan g l e B} \times b r e a d t h_{r e c \tan g l e B} = 15 \times 8 = 120 c m^{2}$

Mais

$A r e a_{A} = A r e a_{C} = 27 c m^{2} .$

Par conséquent, l'aire de la forme initiale est la somme des aires des trois rectangles.

$A r e a_{i r r e g u l a r s h a p e} = A r e a_{A} + A r e a_{B} + A r e a_{C} = 27 + 120 + 27 = 174 c m^{2}$

Trouve la surface de la partie non ombrée dans le diagramme ci-dessous. Prends $π = \frac{22}{7} .$

Aire des figures planes Illustration de l'aire d'un triangle avec un cercle inscrit, StudySmarter Illustration de l'aire d'un triangle avec un cercle inscrit, StudySmarter Originals

Solution :

Nous définissons les valeurs connues dans la figure ci-dessus, la base du triangle est de longueur 16 cm, la hauteur du triangle est de longueur 20 cm, et le rayon r est de 7 cm.

Pour trouver l'aire de la région non ombrée qui est effectivement irrégulière, nous constatons que la forme consiste en un grand triangle avec un cercle inscrit. L'aire de la région non ombrée est la partie qui n'est pas affectée par le cercle. Par conséquent ,

$A r e a_{u n s h a d e d r e g i o n} = A r e a_{t r i a n g l e} - A r e a_{c i r c l e}$

Mais nous rappelons que l'aire du triangle peut être calculée en utilisant la formule,

$A r e a_{t r i a n g l e} = \frac{1}{2} b a s e \times h e i g h t = \frac{1}{2} \times 16 \times 20 = 160 c m^{2} .$

L'aire du cercle peut être calculée en utilisant la formule,

$A r e a_{C i r c l e} = π r^{2} = \frac{22}{7} \times 7^{2} = 154 c m^{2} .$

Enfin, l'aire de la région non ombrée est,

$A r e a_{u n s h a d e d r e g i o n} = A r e a_{t r a i n g l e} - A r e a_{c i r c l e =} 160 - 154 = 6 c m^{2} .$

Exemples sur l'aire des figures planes

Pour améliorer ta compétence sur les problèmes concernant l'aire des figures planes, il t'est conseillé de t'entraîner sur davantage de problèmes. En voici quelques-uns pour renforcer tes compétences.

Si Un bloc cubique a une surface supérieure de 8 m sur 5 m et une hauteur de 12 cm. Si une housse de trampoline est utilisée pour empêcher les fientes d'oiseaux de tacher son sommet. Quelle doit être la surface minimale du trampoline pour que la surface supérieure soit totalement recouverte.

Solution :

Attention à ne pas confondre la question de la surface totale d'un parallélépipède car on t'a seulement demandé de trouver la surface du sommet du bloc. Essentiellement, le trampoline doit avoir au minimum la surface du sommet. Par conséquent, la surface minimale du trampoline nécessaire est la suivante

$A r e a = 8 m \times 5 m = 40 m^{2}$

Un cadre trapézoïdal dont les distances au sommet et à la base sont respectivement de 4 m et 8 m, avec une hauteur de 6 m, doit être fabriqué à partir d'une tuile carrée de 2 m de côté. Combien de tuiles carrées sont nécessaires ?

Solution :

La première étape consiste à trouver l'aire du cadre qui est un trapèze.

$A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{h (a + b)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{6 m (4 m + 8 m)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{6 m (12 m)}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = \frac{72 m^{2}}{2} A r e a_{t r a p e z i u m} = 36 m^{2}$

Ensuite, trouve l'aire du carreau qui est un carré.

$A r e a_{s q u a r e} = l e n g t h \times b r e a d t h = l^{2} A r e a_{s q u a r e} = {(2 m)}^{2} A r e a_{s q u a r e} = 4 m^{2}$

Maintenant que nous avons la surface du cadre (trapèze) et du carreau (carré), trouvons combien de carreaux peuvent être utilisés pour faire le trapèze.

$N o . o f t i l e s n e e d e d = \frac{36 m^{2}}{4 m^{2}} N o . o f t i l e s n e e d e d = 9$

Aire des figures planes - Principaux enseignements

Les figures planes sont des surfaces bidimensionnelles qui n'ont ni hauteur ni épaisseur.
Les figures planes sont régulières lorsque les angles intérieurs et la longueur des côtés sont égaux.
Les figures planes sont irrégulières lorsque les angles intérieurs ou la longueur des côtés sont inégaux.
La surface est mesurée en unités carrées.
L'aire d'une figure plane est calculée en fonction du type de sa forme.

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Types d'aires des figures planes

Régulier et irrégulier

----------- Les formes planes sont formées par des angles internes et des longueurs de côtés égaux.

Régulière

----------- Les formes planes sont formées par des angles internes ou des longueurs de côtés inégaux.

Irrégulier

La formule générale utilisée pour calculer la surface d'un triangle est le produit de la moitié de sa base et de sa hauteur

Vrai

Une piscine triangulaire dont la base mesure 10 m et la hauteur 12 m doit être vidangée. Calcule le temps (en heures) nécessaire à la vidange de la piscine s'il faut 4 minutes pour vidanger un mètre carré de la piscine.

4 heures

Trouve la surface d'une base triangulaire dont la longueur de la base est de 6 cm et la hauteur de 3 cm.

9 ^cm2

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Questions fréquemment posées en Aire des figures planes

Qu'est-ce qu'une aire en mathématiques?

L'aire est une mesure de la surface d'une figure plane en unités carrées.

Comment calculer l'aire d'un rectangle?

Pour calculer l'aire d'un rectangle, multipliez sa longueur par sa largeur: A = L x l.

Quelle est la formule de l'aire d'un cercle?

L'aire d'un cercle se calcule avec la formule: A = π x r², où r est le rayon.

Comment trouver l'aire d'un triangle?

L'aire d'un triangle est obtenue en multipliant la base par la hauteur et en divisant par 2: A = (b x h) / 2.

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