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Un jour, Robert faisait voler son cerf-volant au parc lorsqu'il s'est soudain retrouvé coincé entre les branches d'un arbre. Lorsqu'il a finalement réussi à le récupérer, il a trouvé le film plastique de son cerf-volant déchiré au milieu. Pour remplacer le corps de son cerf-volant, il doit trouver la zone afin d'acheter la bonne quantité de film plastique à la quincaillerie. Étant donné que le cadre de son cerf-volant fournit les dimensions requises de ses diagonales, existe-t-il une formule particulière qu'il pourrait utiliser pour déterminer la surface ?
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Inscris-toi gratuitementUn cerf-volant a lignes parallèles.Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Un cerf-volant a deux paires de côtés adjacents égaux.Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Un cerf-volant a une paire d'angles opposés égaux qui sont aigus.Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Un cerf-volant a deux diagonales non égales.Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Les diagonales d'un cerf-volant sont perpendiculaires et ne se coupent pas en deux.Cette affirmation est-elle vraie ou fausse ?
Quelle est la surface d'un cerf-volant dont les diagonales mesurent 16 pieds et 27 pieds ?
Quelle est la surface d'un cerf-volant dont les diagonales mesurent 52 pieds et 71 pieds ?
Quelle est la surface d'un cerf-volant dont les diagonales mesurent 11 pieds et 22 pieds ?
Quelle est la surface d'un cerf-volant dont les diagonales mesurent 7 pouces et 14 pouces ?
Quelle est la surface d'un cerf-volant dont les diagonales mesurent 23 pouces et 57 pouces ?
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Équipe enseignants Aire des cerfs-volants
Avant de commencer, commençons par nous rafraîchir la mémoire sur les cerfs-volants. Un cerf-volant est un type de quadrilatère qui possède deux paires de côtés adjacents égaux. Comme tous les autres quadrilatères, il contient 4 côtés, 4 angles et 2 diagonales.
La structure d'un cerf-volant répond aux caractéristiques d'un quadrilatère cyclique. Un quadrilatère cyclique est un quadrilatère dont les quatre sommets sont situés sur un cercle. Il est parfois appelé quadrilatère inscrit. Le cercle qui contient ces quatre sommets sur sa circonférence est appelé cercle circonscrit ou cercle circonscrit. Voici le schéma d'un cerf-volant inscrit dans un cercle.
Exemple de quadrilatère cyclique
Rappelons maintenant les propriétés fondamentales d'un cer f-volant. Nous avons ici un cerf-volant noté ABCD. M est le point d'intersection des diagonales.
Schéma d'un cerf-volant
Le tableau suivant est une liste de ses caractéristiques.
Propriétés d'un cerf-volant | Description |
Il possède deux paires de côtés adjacents égaux | AB = BC et AD = DC |
Il possède une paire d'angles opposés égaux qui sont obtus | ∠BAD = ∠BCD > 90o |
Pas de lignes parallèles | |
Elle possède deux diagonales non égales | AC ≠ BD |
Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en deux | AC ⊥ BD et AM = MC et BM = MD |
Nous sommes maintenant prêts à en apprendre davantage sur l'aire d'un cerf-volant.
La surface d'un cerf-volant est l'espace délimité par ses côtés. Si l'on se réfère à notre schéma précédent d'un cerf-volant, la formule de l'aire est donnée par la formule suivante
\[A=\frac{1}{2}\times d_1 \times d_2\]
où \(d_1\) et \(d_2\) sont les longueurs de la diagonale verticale et de la diagonale horizontale, respectivement.
Surface d'un cerf-volant
Nous avons maintenant une recette explicite pour trouver la surface d'un cerf-volant. Mais comment en est-on arrivé là ? Dans cette partie, nous verrons étape par étape comment cette formule permet de déterminer la surface d'un cerf-volant donné. Encore une fois, portons notre attention sur notre cerf-volant précédent, illustré ci-dessous.
Surface d'un cerf-volant
Pour notre cerf-volant ABCD ci-dessus, appelons la longueur de la diagonale la plus courte \(AC=x\) et la longueur de la diagonale la plus longue \(BD=y\). D'après les propriétés d'un cerf-volant, ces deux diagonales sont perpendiculaires (à angle droit) et se coupent en deux.
En tenant compte de cela, nous avons
\[AM=MC=\frac{AC}{2}=\frac{x}{2}\]
La surface du cerf-volant ABCD est constituée de la somme de deux surfaces : le triangle ABD et le triangle BCD. En l'écrivant sous forme d'expression, on obtient
Surface du cerf-volant ABCD = Surface de ΔABD + Surface de ΔBCD
Appelons cette équation 1.
L'aire d'un triangle est le produit de sa base et de sa hauteur multiplié par la moitié, c'est-à-dire ,
\[\text{Aire d'un triangle}=\frac{1}{2}\times b \times h\]
où \(b\) est la base et \(h\) la hauteur. À l'aide de cette formule, déterminons les aires du triangle ABD et du triangle BCD.
\[\text{Aire du triangle ABD}=\frac{1}{2}\times AM\times BD\]
\[\text{Aire du triangle BCD}=\frac{1}{2}\times MC\times BD\]
En remplaçant AM, BD et MC par \N(x\N) et \N(y\N), on obtient
\[\text{Aire du triangle ABD}=\frac{1}{2}\times\frac{x}{2}\times y=\frac{xy}{4}\]
\[\text{Aire du triangle BCD}=\frac{1}{2}\times\frac{x}{2}\times y=\frac{xy}{4}\]
En utilisant l'équation 1, nous obtenons
\[\text{Aire du cerf-volant ABCD}=\frac{xy}{4}+\frac{xy}{4}=\frac{xy}{2}\]
Enfin, en substituant les valeurs de \(x\) et \(y\), nous obtenons la formule requise pour l'aire d'un cerf-volant.
\[\text{Aire d'un cerf-volant}=\frac{1}{2}\times AC \times BD\]
La formule de l'aire d'un cerf-volant suit la même idée que celle de l'aire d'un losange. Rappelons la structure d'un losange. Nous avons ici un losange noté ABCD. M est le point d'intersection des diagonales.
Diagramme d'un losange
Tu peux déjà voir les ressemblances avec un cerf-volant, rien qu'en regardant ce diagramme. Le tableau suivant est une liste de ses caractéristiques.
Propriétés d'un losange | Description |
A quatre côtés égaux | AB = BC = CD = DA |
Possède des angles opposés de mesures égales | ∠ABC = ∠CDA et ∠BCD = ∠DAB |
Possède deux paires de côtés parallèles | AB // DC et AD // BC |
Possède deux diagonales non égales | AC ≠ BD |
Les diagonales sont perpendiculaires et se coupent en deux | AC ⊥ BD et AM = MC et BM = MD |
Formule de l'aire d'un losange
\[A=\frac{1}{2}\times d_1 \times d_2\]
où d1 et d2 sont respectivement les longueurs de la diagonale verticale et de la diagonale horizontale.
Surface d'un losange
Dans cette section, nous allons examiner plusieurs exemples travaillés qui utilisent cette formule permettant de déduire l'aire d'un cerf-volant. Voici le premier exemple.
Cathy possède 3 cartes de notes identiques en forme de cerf-volant dont les diagonales mesurent 5 pouces et 17 pouces. Détermine la somme des aires de ces 3 cartes.
Solution
Les diagonales de chaque boîte sont données par \(d_1=5\) et \(d_2=17\). En utilisant la formule de calcul de l'aire d'un cerf-volant, l'aire d'une carte est la suivante
\[A=\frac{1}{2}\\N- fois 5 \N- fois 17=\frac{82}{2}=42.5\N]
La surface de chaque cerf-volant est donc de 42,5 pouces2. Comme nous avons 3 cartes identiques, il suffit de multiplier cette surface par 3 pour obtenir la surface totale.
\42,5 fois 3 = 127,5 pouces]
Ainsi, la surface totale des 3 cartes est de 127,5 po2.
Prenons un autre exemple.
Marie a un carton découpé en forme de cerf-volant. La diagonale la plus courte mesure 3 pieds tandis que la diagonale la plus longue mesure 14 pieds. Quelle est l'aire de ce découpage ?
Elle décide ensuite de diviser ce découpage en 7 morceaux distincts d'aires égales. Quelle serait la surface de chaque morceau ?
Solution
Les diagonales de ce découpage sont données par \(d_1=3\) et \(d_2=14\). En utilisant la formule de calcul de l'aire d'un cerf-volant, l'aire de ce découpage est la suivante
\N-[A=\frac{1}{2}\Nfois 3 \Nfois 14=\frac{42}{2}=21\N].
L'aire de ce découpage est donc de 21 pi2. Puisque Mary veut diviser cette découpe en 7 segments identiques, nous pouvons simplement diviser cette surface par 7 pour identifier la surface de chaque morceau.
\N- [\Nfrac{21}{7}=3\N]
La surface de chaque morceau est donc de 3 pi2.
Voici un dernier exemple avant de clore ce sujet.
David a un cerf-volant dont la surface est de 304 pouces carrés. La diagonale la plus courte a une longueur de 16 pouces. Quelle est la longueur de la diagonale la plus longue ?
Solution
Dans cette question, on nous donne les mesures de l'aire et de l'une des diagonales de ce cerf-volant, à savoir \(A=304\) et \(d_1=16\). Pour trouver la longueur de la diagonale la plus longue, \N(d_2\N), nous devons réarranger la formule donnée pour faire de \N(d_2\N) le sujet. Étant donné que la formule pour la surface d'un cerf-volant est la suivante
\[A=\frac{1}{2}\times d_1 \times d_2\]
En réarrangeant cette formule pour que \ (d_2\) devienne le sujet, on obtient
\[d_2=\frac{2A}{d_1}\]
En substituant maintenant nos valeurs connues pour \(A\) et \(d_1\), nous obtenons
\[d_2=\frac{2\times 304}{16}=38\]
Ainsi, la longueur de la diagonale la plus longue est de 38 pouces.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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