Aire des cercles

Éléments d'un cercle

Avant d'aborder la question de l'aire des cercles, passons en revue les caractéristiques uniques qui définissent la forme du cercle. La figure ci-dessous représente un cercle dont le centre est O. Rappelle la définition selon laquelle tous les points situés sur la limite du cercle sont équidistants (à égale distance) de ce point central O. La distance entre le centre du cercle et sa limite est appelée le rayon, R.

Le diamètre, D, est la distance d'un point d'extrémité d'un cercle à un autre, en passant par le centre du cercle. Le diamètre est toujours le double de la longueur du rayon, donc si nous connaissons l'une de ces mesures, nous connaissons aussi l'autre ! Une corde est une distance d'un point d'extrémité à un autre sur un cercle qui, contrairement au diamètre, n 'a pas besoin de passer par le point central.

Illustration d'un cercle montrant le diamètre, le rayon et le centre du cercle.

Formule de l'aire du cercle

Maintenant que nous avons passé en revue les éléments d'un cercle, commençons par discuter de l'aire d' un cercle. Tout d'abord, nous allons commencer par une définition.

Pour trouver l'aire d'un cercle, nous utilisons la formule suivante :

\[Surface = \pi \cdot r^2\]

où :

• \(A\) est l'aire du cercle.
• \(π\) (pi) est une constante mathématique approximativement égale à 3,14159.
• \(r\) est le rayon du cercle, qui est la distance entre le centre du cercle et n'importe quel point de sa circonférence.

Pour cette formule, il est important de savoir que \(\pi\) est pi. Qu'est-ce que pi ? C'est une constante représentée par la lettre grecque \(\pi\) et sa valeur est égale à environ 3,14159.

Tu n'as pas besoin de mémoriser la valeur de pi car la plupart des calculatrices disposent d'une touche permettant une saisie rapide, représentée par \(\pi\).

Exemples d'aires de cercles

Utilisons la formule de la surface dans un exemple pour voir comment nous pouvons appliquer ce calcul dans la pratique.

D'où vient la formule de l'aire d'un cercle ?

L'aire d'un cercle peut être obtenue en découpant le cercle en petits morceaux comme suit.

Un cercle décomposé en morceaux forme un rectangle approximatif.

Si nous brisons le cercle en petits morceaux triangulaires (comme ceux d'une part de pizza) et que nous les assemblons de manière à former un rectangle, il ne ressemblera peut-être pas à un rectangle exact, mais si nous découpons le cercle en tranches suffisamment fines, alors nous pouvons l'approcher d'un rectangle.

Observe que nous avons divisé les tranches en deux parties égales et que nous les avons colorées en bleu et en jaune pour les différencier. La longueur du rectangle formé sera donc la moitié de la circonférence du cercle, soit \(\pi r\). Et la largeur sera la taille de la tranche, qui est égale au rayon du cercle, r.

La raison pour laquelle nous avons fait cela, c'est que nous avons la formule pour calculer la surface d'un rectangle : la longueur multipliée par la largeur. Nous avons donc

\[A = (\pi r)r\]

\N- [A = \pi r^2\N]

Verbalement, la surface d'un cercle de rayon r est égale à \(\pi\) x le ^rayon2. Les unités de surface sont donc ^cm2,^m2 ou (unité)² pour les unités appropriées.

Calculer l'aire des cercles ayant un diamètre

Nous avons vu la formule pour calculer l'aire d'un cercle, qui utilise le rayon. Cependant, nous pouvons aussi trouver l'aire d'un cercle en utilisant son diamètre. Pour ce faire, nous divisons la longueur du diamètre par 2, ce qui nous donne la valeur du rayon à entrer dans notre formule. (Rappelle-toi que le diamètre d'un cercle est le double de la longueur de son rayon.) Voyons un exemple qui utilise cette méthode.

Calculer l'aire des cercles ayant une circonférence

Outre la surface d'un cercle, une autre mesure courante et utile est sa circonférence.

Voyons quelques formules qui relient la circonférence au rayon et au diamètre du cercle :

\[\frac{\text{Circonférence}}{\text{Diamètre}} = \pi \rightarrow \text{Circonférence} = \pi \cdot \text{Diamètre} \rightarrow \text{Circonférence} = \pi \cdot 2 \cdot r\]

Les formules ci-dessus montrent que nous pouvons multiplier \(\pi\) par le diamètre d'un cercle pour calculer sa circonférence. Comme le diamètre est deux fois plus long que le rayon, nous pouvons le remplacer par \(2r\) si nous devons modifier l'équation de la circonférence.

On peut te demander de trouver l'aire d'un cercle en utilisant sa circonférence. Prenons un exemple.

Aire des demi-cercles et des quarts de cercle avec des exemples

Nous pouvons également analyser la forme du cercle en termes de moitiés ou de quarts. Dans cette section, nous parlerons de l'aire des demi-cercles (cercles coupés en deux) et des quarts de cercle (cercles coupés en quatre).

Surface et circonférence d'un demi-cercle

Un demi-cercle est un demi-cercle. Il est formé en divisant un cercle en deux moitiés égales, coupées le long de son diamètre. L'aire d'un demi-cercle peut s'écrire comme suit :

\(\text{Aire d'un demi-cercle} = \frac{\pi \cdot r^2}{2}\)

Où r est le rayon du demi-cercle.

Pour trouver la circonférence d'un demi-cercle, nous divisons d'abord par deux la circonférence du cercle entier, puis nous ajoutons une longueur supplémentaire égale au diamètre d. En effet, le périmètre ou la limite d'un demi-cercle doit inclure le diamètre pour fermer l'arc. La formule de la circonférence d'un demi-cercle est la suivante :

\[\text{Circonférence d'un demi-cercle} = \frac{\pi \cdot d}{2} + d\].

Surface et circonférence d'un quart de cercle

Un cercle peut être divisé en quatre quarts égaux, ce qui donne quatre quarts de cercle. Pour calculer la surface d'un quart de cercle, l'équation est la suivante :

\[\text{Aire d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot r^2}{4}\]

Pour obtenir la circonférence d'un quart de cercle, nous commençons par diviser la circonférence du cercle entier par quatre, mais cela ne nous donne que la longueur de l'arc du quart de cercle. Nous devons alors ajouter deux fois la longueur du rayon pour compléter la limite du quart de cercle. Ce calcul peut être effectué à l'aide de l'équation suivante :

\(\text{Circonférence d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot d}{4} + 2r \rightarrow \text{Circonférence d'un quart de cercle} = \frac{\pi \cdot d}{4} + d\)