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Savais-tu qu'autrefois, on utilisait un marteau et un ciseau pour ouvrir les conserves ? C'était avant l'invention de l'ouvre-boîte. Imagine que tu sois vivant à cette époque et que tu doives te donner tout ce mal juste pour ouvrir une boîte de soupe. Tu as peut-être remarqué que la plupart des aliments en conserve ont une forme cylindrique.
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Équipe enseignants Aire de surface d'un cylindre
Dans cet article, tu vas apprendre ce qu'est la surface d'un cylindre, en particulier la surface d'un cylander.
Le terme cylindrique signifie avoir des côtés parallèles droits et des sections transversales circulaires.
Un cylindre est une figure géométrique tridimensionnelle avec deux extrémités circulaires plates et un côté incurvé ayant la même section transversale d'une extrémité à l'autre.
Les extrémités circulaires plates d'un cylindre sont parallèles l'une à l'autre et elles sont séparées ou réunies par une surface incurvée. Vois la figure ci-dessous.
Fig. 1. Parties d'un cylindre droit.
Quelques exemples de formes cylindriques que nous voyons tous les jours sont les conserves et les soupes en boîte. Les différentes parties d'un cylindre sont illustrées ci-dessous. Les extrémités sont des cercles, et si tu étales la surface incurvée d'un cylindre, tu obtiens un rectangle !
Fig. 2. Les différentes parties d'un cylindre.
Il existe différents types de cylindres, notamment :
Les cylindres circulaires droits, comme sur l'image ci-dessus,
Les demi-cylindres ;
Les cylindres obliques (un cylindre dont le sommet n'est pas directement au-dessus de la base) ; et
Les cylindres elliptiques (dont les extrémités sont des ellipses plutôt que des cercles).
Tu vas surtout t'intéresser ici aux cylindres circulaires droits, c'est pourquoi nous les appellerons dorénavant des cylindres.
Examinons la définition de la surface totale d'un cylindre.
La surface totale d'un cylindre fait référence à la surface occupée par les surfaces du cylindre, c'est-à-dire les surfaces des deux extrémités circulaires et des côtés incurvés.
L'unité de la surface d'un cylindre est \N( cm^2\N), \N( m^2\N) ou toute autre unité carrée.
En général, les gens omettent le mot "total" et l'appellent simplement la surface d'un cylindre. Comme tu peux le voir sur l'image de la section précédente, la surface d'un cylindre est composée de deux parties :
La surface occupée par le Rectangle cylindre est appelée surfacelatérale.
La surface des extrémités est la surface de deux cercles.
Examinons chaque partie.
Pour te faciliter la vie, utilisons quelques variables. Ici :
\(h\) est la hauteur du cylindre ; et
\(r\) est le rayon du cercle.
En général, la surface d'un rectangle est simplement la longueur des deux côtés multipliée ensemble. Tu appelles l'un de ces côtés \(h\), mais qu'en est-il de l'autre ? Le côté restant du rectangle est celui qui s'enroule autour du cercle qui constitue l'extrémité du cylindre, il doit donc avoir une longueur égale à la circonférence du cercle ! Cela signifie que les deux côtés du rectangle sont :
\(h\) ; et
\(2 \pi r\).
Cela te donne une formule de surface latérale de
\[ \text{Lateral surface area } = 2\pi r h.\]
Prenons un exemple.
Trouve la surface latérale du cylindre droit ci-dessous.
Fig. 3. Cylindre de \(11\text{ cm}\) de hauteur et de \(5\text{ cm}\) de rayon.
Réponds :
La formule pour calculer la surface latérale est la suivante :
\[ \text{Surface latérale } = 2\pi r h.\]
D'après l'image ci-dessus, tu sais que :
\[r = 5\, \text{cm} \text{ et } h = 11\, \text{cm}.\N]
Putting those into your formula gives you\[\begin{align} \mbox { Surface latérale } & = 2 \pi r h \N-& = 2 \pi \cdot 5 \cdot 11 \N-& = 2 \pi \cdot 55 \N- & = 2 \cdot 3.142 \cdot 55 \N- & \approx 345.62 \text{ cm}^2 .\n- end{align} \]
Passons maintenant à la surface totale !
Un cylindre a différentes parties, ce qui signifie qu'il a différentes surfaces ; les extrémités ont leur surface et le rectangle a la sienne. Si tu veux calculer la surface d'un cylindre, tu dois trouver la surface occupée à la fois par le rectangle et les extrémités.
Tu as déjà une formule pour la surface latérale :
\[ \N-text{Surface latérale } = 2\Npi r h.\N].
Les extrémités du cylindre sont des cercles, et la formule pour la surface d'un cercle est la suivante
\[ \text{Aire d'un cercle } = \pi r^2.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]
Mais comme le cylindre a deux extrémités, la surface totale des extrémités est donnée par la formule suivante
\[ \text{Area of cylinder ends } = 2\pi r^2.\]
La surface occupée à la fois par la partie rectangle et les extrémités est appelée surface totale. En rassemblant les formules ci-dessus, tu obtiens la formule de la surface totale d'un cylindre
\[\text{Total surface area of cylinder } = 2 \pi r h + 2 \pi r^2.\N]
Parfois, tu verras cette formule écrite sous la forme suivante
\[\text{Total surface area of cylinder } = 2 \pi r (h +r) .\]
Voyons un exemple rapide qui utilise la formule que tu as trouvée dans la section précédente.
Trouve la surface d'un cylindre droit dont le rayon est de \(7 \text{ cm}\) et la hauteur de \(9 \text{ cm}\).
Réponds :
La formule pour trouver la surface d'un cylindre droit est la suivante
\[\text{Surface totale du cylindre } = 2 \pi r (h +r) .\]
D'après la question, tu sais que les valeurs du rayon et de la hauteur sont les suivantes
\[r = 7\, \text{cm} \text{ et } h = 9\, \text{cm}.\N]
Avant de continuer, tu dois t'assurer que les valeurs du rayon et de la hauteur sont de la même unité. Si ce n'est pas le cas, tu devras convertir les unités pour qu'elles soient identiques !
L'étape suivante consiste à substituer les valeurs dans la formule :\[ \begin{align}\mbox {Total surface area of cylinder } & = 2 \pi r (r + h) \\& = 2 \pi \cdot 7 (7 + 9) \\& = 2 \pi \cdot 7 \cdot 16 \\& = 2 \pi \cdot 112 \\& = 2 \cdot 3.142 \cdot 112. \\ [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
N'oublie pas tes unités lorsque tu écris la réponse ! Pour ce problème, la surface totale du cylindre est donc de \(112 \, \text{cm}^2\).
Il se peut que l'on te demande de trouver une réponse approximative à une décimale près. Dans ce cas, tu peux utiliser ta calculatrice pour obtenir une surface totale d'environ \(703,8 \N, \Ntext{cm}^2 \N).
Prenons un autre exemple.
Trouve la surface d'un cylindre droit dont le rayon est \(5\, \text{ft}\) et la hauteur \(15\, \text{in}\).
Réponds :
La formule pour trouver la surface d'un cylindre droit est la suivante :
\[\text{Surface totale du cylindre } = 2 \pi r (h +r) .\]
D'après la question, tu sais que les valeurs du rayon et de la hauteur sont :
\[r = 5\, \text{ft} \text{ et } h = 15\, \text{in}\].
Stop ! Ce ne sont pas les mêmes unités. Tu dois convertir l'une en l'autre. À moins que la question ne précise les unités dans lesquelles la réponse doit être exprimée, tu peux choisir l'une ou l'autre des unités à convertir. Dans ce cas, ce n'est pas précisé, alors convertis le rayon en pouces. Alors
\N- [5 \N, \Ntext{ft} = 5 \N, \Ntext{ft} \cdot \frac{ 12\, \text{in}}{1 \text{ft}} = 60 \, \text{in}.\]
Tu peux maintenant substituer les valeurs
\[r = 60\, \text{in} \text{ et } h = 15\, \text{in}\]
dans la formule pour obtenir
\N- [\N- \Nbegin{align}] \mbox {Surface totale du cylindre }& = 2 \pi r (r + h) \N-& = 2 \pi \cdot 60 (60 + 15) \N-& = 2 \pi \cdot 60 \cdot 75 \N- & = 2 \pi \cdot 4500 \N-& = 9000 \pi \text{in}^2. \N-END{align} \]
Que se passe-t-il si tu coupes un cylindre en deux ?
Tu as appris à connaître la surface d'un cylindre, mais voyons ce qui se passe lorsque le cylindre est coupé en deux dans le sens de la longueur.
Un demi-cylindre est obtenu lorsqu'un cylindre est coupé longitudinalement en deux parties parallèles égales.
La figure ci-dessous montre à quoi ressemble un demi-cylindre.
Fig. 4. Un demi-cylindre.
Lorsque tu entends le mot "moitié" en mathématiques, tu penses à quelque chose de divisé par deux. Ainsi, pour trouver la surface et la surface totale d'un demi-cylindre, il faut diviser les formules pour un cylindre droit (un cylindre complet) par deux. Cela te donne
\[\N-{Surface d'un demi-cylindre } = \Npi r (h +r) .\N]
Voyons un exemple.
Calcule la surface du demi-cylindre ci-dessous. Utilise l'approximation \(\pi \approx 3.142\).
Fig. 5. Demi-cylindre.
Réponse :
D'après la figure ci-dessus, tu as
\[r= 4\, \text{cm}\text{ et } h= 6\, \text{cm}. \N]
La formule que tu utiliserais ici est la suivante :
\[\text{Surface du demi-cylindre } = \pi r (h +r) .\]
Substitue les valeurs dans la formule,
\[ \N- Début{alignement} \mbox {Surface area of half cylinder } & = 3.142 \cdot 4 \cdot (6+4) \\cdot 4 \cdot 10 \cdot 3.142 \cdot 4 \cdot 10 \cdot & = 75.408\, \text{cm}^2 \cend{align} \]
Pour calculer la surface d'un demi-cylindre coiffé, il ne suffit pas de diviser par deux. Il y a quelque chose d'autre dont tu dois tenir compte. N'oublie pas que le cylindre dont il est question n'est pas complet, c'est-à-dire qu'il ne retiendrait certainement pas l'eau ! Tu peux le boucher en ajoutant une section rectangulaire sur la partie coupée. Jetons un coup d'œil à une photo.
Fig. 6. Représentation de la surface rectangulaire d'un demi-cylindre.
Tu as juste besoin de l'aire de cette surface rectangulaire avec laquelle tu as coiffé le cylindre. Tu peux voir qu'elle a la même hauteur que le cylindre, donc tu as juste besoin de l'autre côté. Il s'avère que c'est le diamètre du cercle, qui est égal à deux fois le rayon ! Donc
\[ \begin{align} \text{Surface du demi-cylindre coiffé } &= \text{Surface du demi-cylindre } \\\N- &\Nquad + \N- \Ntext{Area of rectangle cap} (surface du rectangle coiffé) \N &= \Npi r (h +r) + 2rh.\Nend{align}\N]
Voyons un exemple.
Trouve la surface du demi-cylindre coiffé sur l'image ci-dessous.
Fig. 7. Demi-cylindre.
Solution.
La formule que tu utiliseras ici est la suivante
\[\text{Surface area of capped half cylinder } = \pi r (h +r) + 2rh.\N- \N]
La figure ci-dessus indique la valeur du diamètre et de la hauteur :
\[\mbox { diamètre } = 7\, \text{cm} \text{ et } h = 6\, \text{cm}. \]
Mais la formule demande le rayon, donc tu dois diviser le diamètre par \N(2\N) pour obtenir
\[ r= \frac{7} {2} \, \text{cm}. \]
Les valeurs dont tu as besoin sont donc
\[ r = 3.5\, \text{cm} \text{ et } h= 6\, \text{cm}. \]
La surface sera donc :
\[ \begin{align} \text{Surface d'un demi-cylindre coiffé } &= \pi r (h +r) + 2rh \\\N &= \pi\Nà gauche(\frac{7}{2}\droite)\gauche( \frac{7}{2} +6\droite) + 2\gauche(\frac{7}{2}\droite) 6 \N &= \pi \left(\frac{7}{2}\right) \left(\frac{19}{2}\right) + 42 \\N &= \frac{133}{4}\pi + 42 \N, \text{cm}^2. \N-END{align} \]
Si l'on te demande de donner une réponse approximative à deux décimales près, tu trouveras que la surface du demi-cylindre coiffé est d'environ \N(146,45\N, \Ntext{cm}^2\N).
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