Fonctions composées

Tu sais peut-être manipuler des fonctions usuelles, mais que faire pour des fonctions plus complexes ? Souvent, lorsque nous avons affaire à une fonction plus compliquée, il s'agit d'une fonction composée, aussi appelée composition de fonctions. Dans ce résumé de cours, nous définirons d'abord ce qu'est une composition de fonctions. Par la suite, nous discuterons son domaine de définition. Nous considérons ensuite la dérivabilité d'une fonction composée et comment déterminer sa dérivée. Pour terminer, nous nous pencherons sur les limites de fonctions composées

C'est parti

Scan and solve every subject with AI

Try our homework helper for free Homework Helper
Avatar

Achieve better grades quicker with Premium

PREMIUM
Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen Karteikarten Spaced Repetition Lernsets AI-Tools Probeklausuren Lernplan Erklärungen
Kostenlos testen

Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst

Did you know that StudySmarter supports you beyond learning?

SS Benefits Icon

Find your perfect university

Get started for free
SS Benefits Icon

Find your dream job

Get started for free
SS Benefits Icon

Claim big discounts on brands

Get started for free
SS Benefits Icon

Finance your studies

Get started for free
Sign up for free and improve your grades

Review generated flashcards

Inscris-toi gratuitement
Tu as atteint la limite quotidienne de l'IA

Commence à apprendre ou crée tes propres flashcards d'IA

  • Fact Checked Content
  • Last Updated: 17.02.2023
  • reading time:6 min
  • Content creation process designed by
    Lily Hulatt Avatar
  • Content cross-checked by
    Gabriel Freitas Avatar
  • Content quality checked by
    Gabriel Freitas Avatar
Sign up for free to save, edit & create flashcards.
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

Merci pour votre intérêt pour l'apprentissage audio !

Cette fonctionnalité n'est pas encore prête, mais nous aimerions savoir pourquoi vous préférez l'apprentissage audio.

Pourquoi préférez-vous l'apprentissage audio ? (optionnel)

Envoyer des commentaires
Lire en podcast 12 minutes

Teste tes connaissances avec des questions à choix multiples

1/3

Pour deux fonctions quelconques, fg(x)=gf(x).

1/3

Considère les fonctions f:ZN et g:RZ. L'ensemble d'arrivée de la fonction composée fg est ___.

1/3

Une composition de fonctions dérivable est également une fonction dérivable. 

Suivant

Qu'est-ce qu'une composition de fonctions ?

Une fonction composée est la même chose qu'une composition de fonctions. Il s'agit de l'application consécutive de deux ou plusieurs fonctions.

Une composition des fonctions f(x) et g(x) est fg(x)=f(g(x)).

Considère les fonctions f(x)=x2 et g(x)=2x+5. Dans ce cas, fg(x)=(2x+5)2 et gf(x)=2x2+5.

Cet exemple illustre que fg(x)gf(x).

Pour pouvoir effectuer la composition de deux fonctions, nous devons vérifier que les domaines de définition des deux fonctions le permettent.

Le domaine de définition d'une fonction composée

Il est important de penser aux ensembles de départ et d'arrivée des fonctions que nous souhaitons composer. Cela nous permettrait de déterminer le domaine de définition de la fonction composée.

Considérons les fonctions f:BC et g:AB. Le domaine de définition de la fonction composée fg est le domaine de définition de g, en l'occurrence l'ensemble A. De plus, les valeurs de fg sont dans l'ensemble d'arrivée de f, en l'occurrence C.

Considère les fonctions f(x)=lnx et g(x)=x2. Le domaine de définition de la fonction composée ln(x2) est R, même si la fonction logarithme népérien n'est définie que pour des nombres réels.

Nous pouvons composer deux fonctions seulement si l'ensemble d'arrivée de la fonction « interne » est l'ensemble de départ de la fonction externe.

Outre son domaine de définition, une fonction composée hérite d'autres propriétés des fonctions dont elle est composée, notamment sa dérivabilité.

Dérivabilité d'une fonction composée

Nous pouvons affirmer la dérivabilité d'une fonction composée grâce à la dérivabilité des fonctions dont elle est composée. Si f et g sont des fonctions dérivables, alors leur composition est dérivable. Plus précisément, si g est dérivable en un point x et f est dérivable en g(x), alors la fonction composée fg est dérivable également.

Peux-tu expliquer pourquoi la fonction sin(x21) est dérivable ?

Comme sin(x) et x21 sont des fonctions dérivables, leur composition est dérivable également.

Besoin d'un rappel sur les fonctions de référence ? N'hésite pas à consulter notre résumé de cours sur les fonctions usuelles.

Après avoir étudié la dérivabilité d'une fonction composée, il est naturel d'apprendre comment déterminer sa dérivée.

Fonctions composées : déterminer la dérivée

Considérons deux fonctions dérivables f et g deux fonctions dérivables. Pour déterminer la dérivée d'une fonction composée, nous nous servons de la formule suivante : (fg)(x)=g(x)×f(g(x)) Autrement dit, il s'agit de multiplier la dérivée de la fonction « interne » g par la dérivée de la fonction « externe » f.

Es-tu capable de déterminer la dérivée de ln(3x2+5) ?

Ici, la fonction interne est g(x)=3x2+5 et la fonction externe est la fonction logarithme népérien f(x)=ln(x)

Nous avons alors g(x)=6x.

De plus, comme f(x)=1x, nous avons f(g(x))=13x2+5.

Ainsi, la dérivée de ln(2x2+5) est 6x2x2+5.

Pour plus d'informations sur la dérivée d'une fonction composée, n'hésite pas à consulter notre résumé de cours à ce sujet.

Comment déterminer les limites d'une fonction composée ?

Considérons une fonction composée fg(x), ainsi que a,bR{,+}. Si limxag(x)=b, alors limxafg(x)=limxbf(x).

Voyons comment mettre en œuvre cette propriété pour déterminer la limite d'une fonction composée.

Peux-tu déterminer la limite de la fonction e1x2 lorsque x tend vers ?

Il s'agit de déterminer une limite de la fonction composée fg(x), où f(x)=ex et g(x)=1x2.

Comme limx1x2=,

limxe1x2=limxexlimxe1x2=0

Fonctions composées - Points clés

  • Une fonction composée, ou composition de fonctions, est une fonction qui est elle-même l'application consécutive de deux autres fonctions.
  • Si nous disposons des fonctions f:BC et g:AB, alors le domaine de définition de la fonction composée fg est A et son ensemble d'arrivée est C.
  • La composition de deux fonctions dérivables est également une fonction dérivable.
  • La dérivée d'une fonction composée, fg, se calcule en utilisant la formule (fg)(x)=g(x)×f(g(x)).
  • Quant aux limites d'une fonction composée, si limxag(x)=b, nous avons que limxafg(x)=limxbf(x).
Questions fréquemment posées en Fonctions composées

Qu'est-ce qu'une fonction composée ? 

Une fonction composée est l'application consécutive de deux fonctions. 

Comment déterminer le domaine de définition d'une fonction composée ? 

Le domaine de définition d'une fonction composée est une partie du domaine de définition de la fonction « interne ». Par exemple, le domaine de définition de f(g(x)) est une partie du domaine de définition de g(x).

Comment calculer la dérivée d'une fonction composée ? 

Pour calculer la dérivée de la fonction composée f(g(x)), nous utilisons la formule g'(x)f'(g(x)).

Comment calculer la limite d'une fonction composée ?


Pour calculer la limite d'une fonction composée en une valeur donnée, nous calculons d'abord la limite de la fonction « interne » en cette valeur. Nous calculons ensuite la limite de la fonction « externe » lorsque sa variable tend vers la limite de la fonction interne.

Comment décomposer une fonction composée ? 

Nous ne cherchons pas à décomposer une fonction composée. Il suffit de reconnaître de quelles fonctions elle est composée.

Sauvegarder l'explication
How we ensure our content is accurate and trustworthy?

At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.

Content Creation Process:
Lily Hulatt Avatar

Lily Hulatt

Digital Content Specialist

Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.

Get to know Lily
Content Quality Monitored by:
Gabriel Freitas Avatar

Gabriel Freitas

AI Engineer

Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.

Get to know Gabriel

Découvre des matériels d'apprentissage avec l'application gratuite StudySmarter

Lance-toi dans tes études
1
À propos de StudySmarter

StudySmarter est une entreprise de technologie éducative mondialement reconnue, offrant une plateforme d'apprentissage holistique conçue pour les étudiants de tous âges et de tous niveaux éducatifs. Notre plateforme fournit un soutien à l'apprentissage pour une large gamme de sujets, y compris les STEM, les sciences sociales et les langues, et aide également les étudiants à réussir divers tests et examens dans le monde entier, tels que le GCSE, le A Level, le SAT, l'ACT, l'Abitur, et plus encore. Nous proposons une bibliothèque étendue de matériels d'apprentissage, y compris des flashcards interactives, des solutions de manuels scolaires complètes et des explications détaillées. La technologie de pointe et les outils que nous fournissons aident les étudiants à créer leurs propres matériels d'apprentissage. Le contenu de StudySmarter est non seulement vérifié par des experts, mais également régulièrement mis à jour pour garantir l'exactitude et la pertinence.

En savoir plus
Équipe éditoriale StudySmarter

Équipe enseignants Mathématiques

  • Temps de lecture: 6 minutes
  • Vérifié par l'équipe éditoriale StudySmarter
Sauvegarder l'explication Sauvegarder l'explication

Sauvegarder l'explication

Inscris-toi gratuitement

Inscris-toi gratuitement et commence à réviser !

Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !

La première appli d'apprentissage qui a réunit vraiment tout ce dont tu as besoin pour réussir tes examens.

  • Fiches & Quiz
  • Assistant virtuel basé sur l’IA
  • Planificateur d'étude
  • Examens blancs
  • Prise de notes intelligente
Rejoins plus de 22 millions d'étudiants qui apprennent avec notre appli StudySmarter !
Sign up with GoogleSign up with Google
S'inscrire avec un e-mail

Rejoins plus de 30 millions d'étudiants qui apprennent avec notre application gratuite Vaia.

La première plateforme d'apprentissage avec tous les outils et supports d'étude dont tu as besoin.

Intent Image
  • Édition de notes
  • Flashcards
  • Assistant IA
  • Explications
  • Examens blancs