Définition de la valeur moyenne d'une fonction
Le concept de moyenne t'est peut-être familier. Généralement, une moyenne est calculée en additionnant des nombres et en les divisant par le nombre total de nombres. La valeur moyenne d'une fonction en calcul est une idée similaire.
La valeur moyenne d'une fonction est la hauteur du rectangle dont la surface est équivalente à l'aire sous la courbe de la fonction.
Si tu regardes l'image ci-dessous, tu sais déjà que l'intégrale de la fonction est toute la surface comprise entre la fonction et l'axe des x.
Le rectangle a la même aire que l'aire située sous la courbe
Cette idée peut sembler arbitraire à première vue. En quoi ce rectangle est-il lié à une moyenne ? La moyenne consiste à diviser par le nombre de valeurs, et comment sais-tu combien de valeurs sont impliquées ici ?
Valeur moyenne d'une fonction sur un intervalle
Lorsque l'on parle de la valeur moyenne d'une fonction, il faut préciser sur quel intervalle. Il y a deux raisons à cela :
Tu dois trouver l'intégrale définie sur l'intervalle donné.
Tu dois diviser l'intégrale ci-dessus par la longueur de l'intervalle.
Pour trouver la valeur moyenne d'une fonction, au lieu d'additionner des nombres, tu dois intégrer, et au lieu de diviser par le nombre de valeurs, tu divises par la longueur de l'intervalle .
\[ \begin{align} \text{Ajouter des valeurs} \quad &\rightarrow \quad \text{Intégration} \\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N{Nombre de valeurs} \quad &\rightarrow \quad \text{Longueur de l'intervalle} \n- \n- \n- \n- \n- \n- \n-{align} \]
L'utilisation de la longueur de l'intervalle est logique car les intervalles ont un nombre infini de valeurs, il est donc plus approprié d'utiliser la longueur de l'intervalle à la place.
Formule pour la valeur moyenne d'une fonction
Comme indiqué précédemment, la valeur moyenne d'une fonction \(f(x)\) sur l'intervalle \([a,b]\) est obtenue en divisant l'intégrale définie
\N[ \Nint_a^b f(x)\N,\Nmathrm{d}x\N]
par la longueur de l'intervalle.
La valeur moyenne de la fonction est souvent écrite \(f_{\text{avg}} \). Ainsi
\[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\N, \rmathrm{d}x.\N]
Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur l'intégration, lis notre section Évaluer les intégrales définies !
Le calcul derrière la valeur moyenne d'une fonction
D'où vient la formule de la valeur moyenne d'une fonction ? Rappelle-toi le théorème de la valeur moyenne pour les intégrales, qui stipule que si une fonction \(f(x)\Nest continue sur l'intervalle fermé \N([a,b]\N), alors il existe un nombre \N(c\N) tel que
\N[ \Nint_a^b f(x) \N, \Nmathrm{d}x = f(c)(b-a).\N]
Tu peux voir la dérivation du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales dans l'article !
Si tu divises simplement chaque côté de l'équation par \N(b-a) pour résoudre \N(f(c)\N), tu obtiens la formule de la valeur moyenne d'une fonction :
\[ f(c)=\frac{1}{b-a} \int_a^b f(x) \N, \mathrm{d}x.\N]
Exemples de valeur moyenne d'une fonction
Un économiste trouve que les prix du gaz de 2017 à 2022 peuvent être décrits par la fonction.
\N-[f(x) = 1,4^x.\N]\N-[f(x) = 1,4^x.\N]\N]
Ici, \( f \) est mesuré en dollars par gallon, et \(x\) représente le nombre d'années depuis 2017. Trouve le prix moyen de l'essence par gallon entre 2017 et 2022.
Réponse :
Pour utiliser la formule de la valeur moyenne d'une fonction, tu dois d'abord identifier l'intervalle. Puisque la fonction mesure les années écoulées depuis 2017, alors l'intervalle devient \N([0,5],\N) où 0 représente 2017 et 5 représente 2022.
Ensuite, tu devras trouver l'intégrale définie
\[\int_0^5 1.4^x\,\mathrm{d}x.\]
Commence par trouver son antidérivée :
\[ \Nint 1,4^x\N,\Nmathrm{d}x= \Nfrac{1}{\Nln{1,4}} 1,4^x,\N].
et utilise ensuite le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie, ce qui te donne
\[ \begin{align} \int_0^5 1.4^x,\mathrm{d}x &=\left( \frac{1}{\ln{1.4}} 1.4^5 \rright) - \left( \frac{1}{\ln{1.4} 1.4^0 \rright) \c &= \frac{1.4^5-1}{\ln{1.4}} \\ &= 13.012188. \N-END{align} \]
Maintenant que tu as trouvé la valeur de l'intégrale définie, tu divises par la longueur de l'intervalle, donc
\[ \begin{align} f_{\text{avg}} &= \frac{13.012188}{5} \\ &= 2.6024376. \N-END{align}\N]
Cela signifie que le prix moyen de l'essence entre 2017 et 2022 est de 2,60 dollars le gallon.
Jette un coup d'œil à la représentation graphique du problème :
Représentation graphique de la valeur moyenne du prix de l'essence.
Le rectangle représente l'aire totale sous la courbe de \(f(x)\). Le rectangle a une largeur de \(5\), qui est l'intervalle d'intégration, et une hauteur égale à la valeur moyenne de la fonction, \(2,6\).
Parfois, la valeur moyenne d'une fonction est négative.
Trouve la valeur moyenne de
\N[ g(x) = x^3 \N]
dans l'intervalle \N([-2,1].\N)
Réponse :
Cette fois-ci, l'intervalle est donné de façon simple, alors commence par trouver l'intégrale indéfinie
\N[ \Nint x^3 \N, \Nmathrm{d}x, \N]
ce que tu peux faire en utilisant la règle de la puissance, pour trouver que
\[ \Nint x^3 \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{4}x^4.\N].
Ensuite, utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie. Cela te donne
\[ \begin{align} \Nint_{-2}^1 x^3 \N, \Nmathrm{d}x &= \Ngauche( \Nfrac{1}{4}(1)^4 \Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{4} (-2)^4 \right) \\ &= \frac{1}{4} - 4 \N- -\Nfrac{15}{4}. \N-END{align} \]
Enfin, divise la valeur de l'intégrale définie par la longueur de l'intervalle, donc
\[ \begin{align} g_{\text{avg}} &= \frac{1}{1-(-2)}\left(-\frac{15}{4} \right) \\ &= -\frac{15}{12} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N - \Nfrac{5}{4}. \N- [Fin{align}\N]
Par conséquent, la valeur moyenne de \N( g(x) \N) dans l'intervalle \N( [-2,1] \N) est \N( -\frac{5}{4}.\N).
Il est également possible que la valeur moyenne d'une fonction soit nulle !
Trouve la valeur moyenne de \(h(x) = x \) sur l'intervalle \( [-3,3].\)
Réponse :
Commence par utiliser la règle de la puissance pour trouver l'intégrale indéfinie, c'est-à-dire
\N[ \Nint x \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2}x^2.\N]
Sachant cela, tu peux évaluer l'intégrale définie, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \Nint_{-3}^3 x\N, \Nmathrm{d}x &= \Ngauche( \Nfrac{1}{2}(3)^2\Ndroite)-\Ngauche(\Nfrac{1}{2}(-3)^2\Ndroite) \N &= \Nfrac{9}{2}-\Nfrac{9}{2} \N- &= 0. \N- [end{align}\N]
Puisque l'intégrale définie est égale à 0, tu obtiendras également 0 après avoir divisé par la longueur de l'intervalle, donc
\[ h_{\text{avg}}=0.\]
Tu peux aussi trouver la valeur moyenne d'une fonction trigonométrique. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire, consulte notre article sur les intégrales trigonométriques.
Trouve la valeur moyenne de
\N[f(x) = \Nsin(x)\N]
sur l'intervalle [0, \frac{\pi}{2} \Ndroite].\N].
Réponse :
Tu dois d'abord trouver l'intégrale définie
\[ \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \rmathrm{d}x,\rmathrm{d}x,\rmathrm{d}x,\rmathrm{d}x,\rmathrm{d}x]]
trouve donc son anti-dérivée
\[ \int \sin{x} \, \mathrm{d}x = -\cos{x},\N}]
et utilise le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \int_0^{\frac{\pi}{2}} \sin{x} \, \mathrm{d}x &= \left(-\cos{\frac{\pi}{2}} \right) - \left(-\cos{0} \right) \\ &= -0-\left( -1 \right) \\ &= 1. \N-{align}\N- [\N-{align}\N]
Enfin, divise par la longueur de l'intervalle, donc
\[ \begin{align} f_{\text{avg}} &= \frac{1}{\frac{\pi}{2}}\\ &= \frac{2}{\pi}. \N- [Fin{align}\N]
Cela signifie que la valeur moyenne de la fonction sinus sur l'intervalle est \N(\frac{2}{\pi}{\pi},\N), ce qui correspond à environ \N(0,63).
Représentation graphique de la valeur moyenne de la fonction sinus dans l'intervalle [0,\frac{\pi}{2}].
Valeur moyenne d'une fonction - Principaux enseignements
- La valeur moyenne d'une fonction est la hauteur du rectangle dont l'aire est équivalente à l'aire sous la courbe de la fonction.
- Lavaleur moyenne d'une fonction (f(x)\N) sur l'intervalle \N([a,b]\N) est donnée par \N[ f_{\text{avg}} = \frac{1}{b-a}\Nint_a^b f(x)\N, dx.\N].
- La valeur moyenne d'une équation de fonction est dérivée du théorème de la valeur moyenne pour les intégrales.
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