Trouver les limites de fonctions spécifiques

Trouve

\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}\]

Réponse :

L'idée est d'appliquer la règle du quotient pour les limites si possible. Puisque le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes.

\[lim_{x \rightarrow 2} (2x^2-3x+1)=2(2)^2-3(2+1\N)]

\N- [lim_{x \Nrightarrow 2} = 8-6+1\N]

\N-[lim_{x \N-flèche droite 2}=3 \N]

et

\N-[lim_{x \N-rightarrowrow 2}(x^3+4)=2^3+4\N]

\N-[lim_{x \Nrightarrowrow 2}(x^3+4)=12\N]

ce qui signifie que les conditions d'application de la règle du quotient pour les limites sont remplies. Tu sais maintenant que :

\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}=\dfrac{3}{12}\]

\[lim_{x \rightarrow 2} = \dfrac{1}{4}\].

Trouve maintenant

\[\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].

Réponse :

Bien que la règle du quotient soit valable pour les limites à l'infini, elle exige que la limite du numérateur et celle du dénominateur soient toutes deux des nombres réels, ce qui n'est pas le cas ici. Cela signifie que tu ne peux pas appliquer la règle du quotient pour les limites à l'infini. Essaie plutôt de factoriser pour voir si cela peut t'aider. Si tu factorises le dénominateur, tu verras que

\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\]

Annulons quelques facteurs ! Nous obtenons alors

\[lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}=lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}\]

\[lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{1}{x-2}\]

Il s'agit d'une limite beaucoup plus simple ; pour plus d'informations sur les limites de ce type, voir Limites infinies. Tu y apprendras comment montrer que

\[lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x-2}=0\].

Cela signifie que

\N- [lim_{x \Nrightarrow \Ninfty} \Ndfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}=0]

Trouve

\[lim_{ x \rightarrow 2} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].

Réponse :

Dans l'exemple précédent, tu as pu factoriser le dénominateur, ce qui te permet d'examiner une limite plus simple :

\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{1}{x-2}\].

Pour cet exemple, tu devras examiner la limite de gauche et la limite de droite et voir si elles sont identiques. En effet

\[lim_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{1}{x-2}=\infty\]

alors que

\[lim_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{1}{x-2}=-\infty\]

Tu ne peux donc pas trouver la limite, et tu dirais que la limite n'existe pas.

Trouve

\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2}\]

Réponse :

Remarque que cette fonction a quelque chose d'intéressant à \(x=2\) puisque le dénominateur est nul à cet endroit. Il s'agira soit d'un trou dans le graphique, soit d'une asymptote verticale, soit d'une autre discontinuité. Cela signifie que tu ne peux pas appliquer la règle du quotient pour les limites puisque la limite du dénominateur ne peut pas être zéro. Au lieu de cela, faisons d'abord un peu d'algèbre :

\[\dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2} = \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3} \right)\]

\[\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{3-(x+1)}{3(x+1)} \right)\]

\[\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{2-x}{3(x+1)} \right)\]

\[-\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{x-2}{3(x+1)} \right)\]

\[-\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{x+1} \right)\]

ce qui signifie que

\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2}=-\dfrac{1}{9}\]

Trouve

\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}\]

Réponse :

Encore une fois, tu ne peux pas utiliser la règle du quotient pour les limites parce que la limite du dénominateur est zéro si tu ajoutes -2. Essaie donc de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :

\[\dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}=\dfrac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]

\[\dfrac{(\sqrt{x+3})^2-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]

\[\dfrac{x+3-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]

\[\dfrac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]

\[\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}\]

Essaie maintenant d'évaluer la limite du dénominateur et tu verras que

\[lim_{x \rightarrow -2} (\sqrt{x+3}+1)=\sqrt{-2+3}+1]

\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

.

Cela signifie que tu peux appliquer la règle du quotient pour les limites et dire que

\[lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}\].

Tu sais maintenant que

\[lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}=\dfrac{1}{2}\].

En utilisant la fonction

\[f(x)= \left( \begin{matrix} x+3 &, x \geq 1\\ x^2-4 &, x<1\end{matrix} \Ndroite) \N]

trouver

\N-[lim_{x \rightarrow 1} f(x)\N]

si elle existe.

Réponse :

S'il s'agissait d'une limite autre que celle de \N(x \Nrightarrow 1\N), tu pourrais insérer les valeurs de la fonction pour trouver la limite puisque les deux parties de la fonction sont des polynômes. Mais \(x=1\) est l'endroit où la définition de la fonction change, donc à la place, tu dois regarder la limite de gauche et la limite de droite. Pour cette fonction.

\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)= lim_{x \rightarrow 1^+}(x+3)=4 \N]

et

\N-[lim_{x \Nrightarrow 1^-} f(x)=lim_{x \Nrightarrow 1^-}(x^2-4)=-3 \N].

Comme ces deux nombres ne sont pas identiques

\N-[lim_{x \rightarrow 1} f(x)\N]

n'existe pas.

Trouve

\[lim_{x \rencontre 2} e^{\sqrt{x-1}}\].

Réponse :

Considère cette limite comme la composition de deux fonctions,

\(f(x)=e^x\) et \(g(x)=\sqrt{x-1}\)

Alors

\[f \cdot g(x)=f(g(x))=e^{\sqrt{x-1}} \]

Tu sais déjà que la fonction exponentielle est continue partout, et que \(g(x)\N) a une limite lorsque \N(x \Nfréquence 2\N). Par conséquent

\N- [lim_{x \N-rightarrow 2} f(g(x))=f \N-ft(lim_{x \N-rightarrow 2} g(x) \N-right)\N]

\N- [f\Nleft( lim_{x \Nrightarrow 2} \sqrt{x-1} \Nright)\N]

\N- [f(\Nsqrt{2-1})\N]

\N- [f(1)=e^1=e\N]