Trouver la limite des fonctions rationnelles
Lalimite des fonctions rationnellesest le nombre auquel une fonction rationnelle se rapproche \(f(x) \rightarrow b\) au fur et à mesure que \(x\) se rapproche d'une certaine valeur \(a\).
\[lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=b\]
Rappelle-toi que les fonctions rationnelles sont continues sur leur domaine, donc en tout point du domaine d'une fonction rationnelle, trouver la limite est aussi facile que de trouver la valeur de la fonction en ce point. Les choses commencent à devenir un peu plus amusantes aux points qui ne sont pas dans le domaine ou pour trouver la limite à l'infini.
Trouve
\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}\]
Réponse :
L'idée est d'appliquer la règle du quotient pour les limites si possible. Puisque le numérateur et le dénominateur sont tous deux des polynômes.
\[lim_{x \rightarrow 2} (2x^2-3x+1)=2(2)^2-3(2+1\N)]
\N- [lim_{x \Nrightarrow 2} = 8-6+1\N]
\N-[lim_{x \N-flèche droite 2}=3 \N]
et
\N-[lim_{x \N-rightarrowrow 2}(x^3+4)=2^3+4\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrowrow 2}(x^3+4)=12\N]
ce qui signifie que les conditions d'application de la règle du quotient pour les limites sont remplies. Tu sais maintenant que :
\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{2x^2-3x+1}{x^3+4}=\dfrac{3}{12}\]
\[lim_{x \rightarrow 2} = \dfrac{1}{4}\].
Trouve maintenant
\[\lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].
Réponse :
Bien que la règle du quotient soit valable pour les limites à l'infini, elle exige que la limite du numérateur et celle du dénominateur soient toutes deux des nombres réels, ce qui n'est pas le cas ici. Cela signifie que tu ne peux pas appliquer la règle du quotient pour les limites à l'infini. Essaie plutôt de factoriser pour voir si cela peut t'aider. Si tu factorises le dénominateur, tu verras que
\[x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4)\]
Annulons quelques facteurs ! Nous obtenons alors
\[lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}=lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{x^2+2x+4}{(x-2)(x^2+2x+4)}\]
\[lim_{x \rightarrow \infty } \dfrac{1}{x-2}\]
Il s'agit d'une limite beaucoup plus simple ; pour plus d'informations sur les limites de ce type, voir Limites infinies. Tu y apprendras comment montrer que
\[lim_{x \rightarrow \infty} \dfrac{1}{x-2}=0\].
Cela signifie que
\N- [lim_{x \Nrightarrow \Ninfty} \Ndfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}=0]
Dans l'exemple suivant, tu peux voir ce qui se passe lorsqu'il y a une asymptote verticale à l'endroit où tu essaies de prendre la limite.
Trouve
\[lim_{ x \rightarrow 2} \dfrac{x^2+2x+4}{x^3-8}\].
Réponse :
Dans l'exemple précédent, tu as pu factoriser le dénominateur, ce qui te permet d'examiner une limite plus simple :
\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{1}{x-2}\].
Pour cet exemple, tu devras examiner la limite de gauche et la limite de droite et voir si elles sont identiques. En effet
\[lim_{x \rightarrow 2^+} \dfrac{1}{x-2}=\infty\]
alors que
\[lim_{x \rightarrow 2^-} \dfrac{1}{x-2}=-\infty\]
Tu ne peux donc pas trouver la limite, et tu dirais que la limite n'existe pas.
Trouver la limite d'une fonction par l'algèbre
Il existe de nombreuses techniques d'algèbre que tu peux utiliser pour t'aider à trouver des limites. L'une des plus fréquemment utilisées est la simplification des fractions.
Trouve
\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2}\]
Réponse :
Remarque que cette fonction a quelque chose d'intéressant à \(x=2\) puisque le dénominateur est nul à cet endroit. Il s'agira soit d'un trou dans le graphique, soit d'une asymptote verticale, soit d'une autre discontinuité. Cela signifie que tu ne peux pas appliquer la règle du quotient pour les limites puisque la limite du dénominateur ne peut pas être zéro. Au lieu de cela, faisons d'abord un peu d'algèbre :
\[\dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2} = \left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3} \right)\]
\[\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{3-(x+1)}{3(x+1)} \right)\]
\[\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{2-x}{3(x+1)} \right)\]
\[-\left( \dfrac{1}{x-2} \right) \left( \dfrac{x-2}{3(x+1)} \right)\]
\[-\dfrac{1}{3} \left( \dfrac{1}{x+1} \right)\]
Tu peux maintenant utiliser les lois limites pour voir que\N-[lim_{x \rightarrow 2} \left( - \dfrac{1}{3})]. \left( \dfrac{1}{x+1} \right) \right)=-\dfrac{1}{3} lim_{x \rightarrow 2} \left( \dfrac{1}{x+1} \right)\N-\left( -\dfrac{1}{3} \right) \left( \dfrac{1}{3} \right) \N-\[-\dfrac{1}{9}\N- \N]
ce qui signifie que
\[lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\dfrac{1}{x+1}-\dfrac{1}{3}}{x-2}=-\dfrac{1}{9}\]
Si des racines flottent autour d'elle, peut aider à multiplier par le conjugué.
Trouve
\[\lim_{x \rightarrow 2} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}\]
Réponse :
Encore une fois, tu ne peux pas utiliser la règle du quotient pour les limites parce que la limite du dénominateur est zéro si tu ajoutes -2. Essaie donc de multiplier le numérateur et le dénominateur par le conjugué du numérateur :
\[\dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}=\dfrac{(\sqrt{x+3}-1)(\sqrt{x+3}+1)}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{(\sqrt{x+3})^2-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{x+3-1}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{x+2}{(x+2)(\sqrt{x+3}+1)}\]
\[\dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}\]
Essaie maintenant d'évaluer la limite du dénominateur et tu verras que
\[lim_{x \rightarrow -2} (\sqrt{x+3}+1)=\sqrt{-2+3}+1]
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
.
Cela signifie que tu peux appliquer la règle du quotient pour les limites et dire que
\[lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{1}{\sqrt{x+3}+1}=\dfrac{1}{\sqrt{1}+1}\].
Tu sais maintenant que
\[lim_{x \rightarrow -2} \dfrac{\sqrt{x+3}-1}{x+2}=\dfrac{1}{2}\].
Trouver la limite d'une fonction par morceaux
Pour d'autres exemples de recherche de limites de fonctions par morceaux, voir Limites unilatérales.
En utilisant la fonction
\[f(x)= \left( \begin{matrix} x+3 &, x \geq 1\\ x^2-4 &, x<1\end{matrix} \Ndroite) \N]
trouver
\N-[lim_{x \rightarrow 1} f(x)\N]
si elle existe.
Réponse :
S'il s'agissait d'une limite autre que celle de \N(x \Nrightarrow 1\N), tu pourrais insérer les valeurs de la fonction pour trouver la limite puisque les deux parties de la fonction sont des polynômes. Mais \(x=1\) est l'endroit où la définition de la fonction change, donc à la place, tu dois regarder la limite de gauche et la limite de droite. Pour cette fonction.
\lim_{x \rightarrow 1^+} f(x)= lim_{x \rightarrow 1^+}(x+3)=4 \N]
et
\N-[lim_{x \Nrightarrow 1^-} f(x)=lim_{x \Nrightarrow 1^-}(x^2-4)=-3 \N].
Comme ces deux nombres ne sont pas identiques
\N-[lim_{x \rightarrow 1} f(x)\N]
n'existe pas.
Pour d'autres exemples de limites de fonctions définies par morceaux, voir Limites unilatérales.
Trouver les limites des fonctions exponentielles
Lorsque tu cherches les limites des fonctions exponentielles, tout dépend s'il s'agit d'une fonction exponentielle standard, telle que
\[f(x)=e^x\]
ou d'une fonction exponentielle composite, comme
\[g(x)=e^{\sqrt{x-1}}\]
Si tu cherches des limites de fonctions exponentielles standard, vois les fonctions exponentielles pour une discussion sur le comportement des fonctions exponentielles.
Rappelle-toi que si tu as deux fonctions \N(f(x)\Net \N(g(x)\Net que \N(f(x)\Nest continue sur \N(g(c)\N), alors :
\[lim_{x \N-rightarrow c} f(g(x))=f\left( lim_{x \N-rightarrow c} g(x) \N-right)\N].
.
Trouve
\[lim_{x \rencontre 2} e^{\sqrt{x-1}}\].
Réponse :
Considère cette limite comme la composition de deux fonctions,
\(f(x)=e^x\) et \(g(x)=\sqrt{x-1}\)
Alors
\[f \cdot g(x)=f(g(x))=e^{\sqrt{x-1}} \]
Tu sais déjà que la fonction exponentielle est continue partout, et que \(g(x)\N) a une limite lorsque \N(x \Nfréquence 2\N). Par conséquent
\N- [lim_{x \N-rightarrow 2} f(g(x))=f \N-ft(lim_{x \N-rightarrow 2} g(x) \N-right)\N]
\N- [f\Nleft( lim_{x \Nrightarrow 2} \sqrt{x-1} \Nright)\N]
\N- [f(\Nsqrt{2-1})\N]
\N- [f(1)=e^1=e\N]
Trouver la dérivée d'une fonction par le processus des limites
Tu te demandes peut-être comment trouver la dérivée d'une fonction à l'aide des limites. Il s'agit là d'un sujet plus vaste que cet article. Pour plus d'informations, consulte les sections Fonctions dérivées et Dérivées en tant que taux de variation.
Trouver les limites de fonctions spécifiques - Points clés à retenir
- Vérifie toujours si tu peux appliquer correctement la loi des limites avant de l'utiliser. Sois particulièrement prudent avec la règle du quotient.
- Lorsque tu cherches la limite d'une fonction rationnelle, il peut être très utile d'utiliser l'algèbre pour réécrire la fonction. Pense également à multiplier par les conjugués dans le cas des racines de la fonction rationnelle.
- Si tu cherches la limite d'une fonction par morceaux où la fonction change de définition, utilise les limites unilatérales.
- Pour trouver la limite des fonctions exponentielles ou d'autres fonctions composites, rappelle-toi que si tu as deux fonctions \N(f(x)\N) et \N(g(x)\N), et que \N (f(x)\N) est continue sur \N(g(c)\N), alors.. : \N[lim_{x \Nrightarrow c} f(g(x))=f \Nleft(lim_{x \Nrightarrow c}g(x) \Nright)\N].
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