Trouver les limites en calcul
Il existe de nombreuses façons de trouver la limite d'une fonction !
Tu peux utiliser la définition de la limite de \(\epsilon\), \(\delta\) et écrire une preuve. Voir Limites d'une fonction pour des exemples de cette technique.
Tu peux regarder le graphique ou un tableau de valeurs pour voir quelle pourrait être la limite. Voir Trouver des limites à l'aide d'un graphique ou d'un tableau pour de nombreux exemples de recherche de limites de cette façon.
Tu peux examiner la limite de gauche et la limite de droite d'une fonction et voir si elles sont identiques. Voir Limites unilatérales pour des définitions et des exemples d'utilisation de cette technique.
Tu peux utiliser les lois des limites, qui sont des théorèmes qui ont déjà été prouvés pour trouver la limite. Si ta fonction est agréable, c'est souvent la façon dont les gens trouvent la limite. Pour plus d'informations sur les propriétés des limites, voir Lois des limites.
Il se peut que tu aies besoin d'utiliser un théorème spécial pour trouver la limite, comme le théorème de l'écrasement ou le théorème des valeurs intermédiaires. Les deux sont très utiles et le théorème des valeurs intermédiaires apparaîtra plus tard dans des sujets tels que la recherche de la valeur maximale d'une fonction. Voir le Théorème de l'écrasement ou le Théorème des valeurs intermédiaires pour plus de détails sur la façon de les utiliser.
Tu verras ici un échantillon des façons de trouver la limite d'une fonction.
Utiliser la définition de la limite
Pour revoir la définition de la limite d'une fonction, voir Limites d'une fonction.
Prenons \(f(x)=k\) où \(a\) et \(k\) sont des nombres réels constants. Est-il vrai que
\N- lim_{x \N-rightarrow a} f(x)=k\N]
Réponse :
Oui. En utilisant la définition, pour tout \(\epsilon > 0\), on obtient ,
\[|f(x)-k|=|k-k|=0< \epsilon\]
quel que soit le \(\delta\) que tu utilises. Les fonctions constantes ont donc la limite que tu attends d'elles.
Prends \(f(x)=x\), et laisse \(a\) être un nombre réel constant. Comment sais-tu que
\N-[lim_{x \rencontre a} f(x)=a\N]
Réponse :
Tu pourrais être tenté de dire "bien sûr, la limite est \(a\) - la fonction est juste une ligne". En fait, c'est presque suffisant. Tu ne peux utiliser aucune des propriétés des limites, mais tu peux utiliser la définition et prendre \(\delta = \epsilon\) pour montrer que la limite est \(a\).
Utiliser les règles de recherche des limites
Pour passer en revue les différentes propriétés des limites et savoir comment les utiliser, consulte les lois des limites.
Prends la fonction \(f(x)=2x^3-3x^2+7\), et \(a\) est un nombre réel constant. Trouve
\N-[lim_{x \rencontre a} f(x)\N]
Réponse :
Remarque que la fonction est juste la somme et le produit des puissances de \(x\N) avec la constante \N(7\N). Tu sais déjà que
\N(lim_{x \Nrightarrow a} x=a\N) et \N(lim_{x \Nrightarrow a} 7 =7\N)
grâce aux deux exemples ci-dessus, ce qui signifie que les conditions d'application de la règle de la somme, de la règle du produit et de la règle de la constante sont remplies. En les appliquant, on obtient
\N[lim_{x \Nrightarrow a} f(x)= lim_{x \Nrightarrow } ( 2x^3-3x^2+7)\N]
\N- [lim_{x \Nrightarrow a} f(x)=2a^3-3a^2+7\N]
Trouver les limites graphiquement
Tu trouveras ci-dessous un exemple d'utilisation du graphique pour trouver la limite d'une fonction. Pour plus d'informations sur des problèmes de ce type, voir Trouver des limites à l'aide d'un graphique ou d'un tableau.
Considère la fonction
\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]
Trouve la limite de la fonction lorsque \N(x \Nfréquence 3 \N).
Réponse :
Tout d'abord, trace un graphique de la fonction et fais un tableau des valeurs proches de \(x=3\). Bien que la fonction ait plus de racines qu'il n'y en a sur le graphique, comme tu ne t'intéresses qu'à la limite de \(x \rencontre 3\r), il est logique de zoomer sur la fonction à cet endroit.
Utilisation d'un graphique avec plusieurs points pour trouver la limite d'une fonction en rouge.
| \(x\) | \N(f(x)\N) |
| 2.5 | -3.28 |
| 2.55 | -3.37 |
| 2.6 | -3.46 |
| 2.65 | -3.54 |
| 2.7 | -3.62 |
| 2.75 | -3.69 |
| 2.8 | -3.76 |
| 2.85 | -3.83 |
| 2.9 | -3.89 |
| 2.95 | -3.95 |
| 3.0 | -4.0 |
| 3.05 | -4.05 |
| 3.1 | -4.09 |
| 3.15 | -4.13 |
| 3.2 | -4.16 |
| 3.25 | -4.18 |
| 3.3 | -4.20 |
| 3.35 | -4.22 |
| 3.4 | -4.22 |
| 3.45 | -4.46 |
Tableau 1. Points de l'exemple de limite.
Les points du graphique correspondent aux points du tableau. Tu peux voir sur le graphique et dans le tableau qu'à mesure que \N(x) se rapproche de \N(x= 3), les valeurs de la fonction se rapprochent de \N(-4).
\N[lim_{x \Ndroite 3} f(x)=-4\N]
.
Remarque que tu ne te soucies pas de la valeur de la fonction à \N(x=3\N) lorsque tu trouves la limite, parce que la définition dit qu'il faut regarder près de \N(x=3\N) mais pas à \N(x=3\N).
Trouver des limites de façon algébrique
Tu trouveras d'autres exemples de recherche algébrique de limites dans un autre article. Voir Trouver les limites de fonctions spécifiques.
En fait, les limites et la continuité vont également de pair.
Si une fonction est continue en un point, alors la limite de la fonction existe et est égale à la valeur de la fonction en ce point.
Dans l'exemple précédent, nous avions
\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]
et nous avons trouvé la limite comme étant \N(x \Nrightarrow 3\N). Comme tu sais que tous les polynômes sont continus partout (voir Continuité et voir Théorèmes de continuité pour plus de détails), tu sais que la limite de la fonction existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction. Puisque \(f(3)=-4\), cela signifie que
\[lim_{x \rightarrow 3} =-4\]
Regarde la fonction
\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}\]
et trouve la limite lorsque \N(x \Nfréquence 4\N).
Réponse :
La fonction est indéfinie à \(x=4\), donc tu ne peux pas simplement insérer la valeur de la fonction pour trouver la limite. Mais tu peux factoriser le numérateur pour obtenir
\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2\]
tant que \(x \neq 4\). Cela signifie que le graphique de la fonction est en fait la droite \N(y=x+2) avec un trou au point \N((4, 6)\N). Donc \N(lim_{x \rencontre 4} f(x)=6\N).
Trouver la dérivée en utilisant la définition des limites
L'utilisation de la définition de la dérivée implique des limites. C'est un sujet important qui fait l'objet d'un article à part entière ! Consulte notre article sur les dérivés pour plus de détails sur la façon de trouver la dérivée à l'aide d'une limite.
Trouver des limites - Principaux points à retenir
- Pour tout polynôme \(f(x), lim_{x \rightarrow \infty} f(x)=f(a)\).
- Un tableau ou un graphique peut être utilisé pour trouver la limite d'une fonction.
- Pour trouver les limites de façon algébrique, il faut factoriser le numérateur et le dénominateur et voir si quelque chose s'annule. Cette méthode est particulièrement utile dans les cas où il y a un trou dans le graphique.
- Les propriétés des limites peuvent également être utilisées pour trouver la limite des fonctions.
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