Trouver les limites

Prenons \(f(x)=k\) où \(a\) et \(k\) sont des nombres réels constants. Est-il vrai que

\N- lim_{x \N-rightarrow a} f(x)=k\N]

Réponse :

Oui. En utilisant la définition, pour tout \(\epsilon > 0\), on obtient ,

\[|f(x)-k|=|k-k|=0< \epsilon\]

quel que soit le \(\delta\) que tu utilises. Les fonctions constantes ont donc la limite que tu attends d'elles.

Prends \(f(x)=x\), et laisse \(a\) être un nombre réel constant. Comment sais-tu que

\N-[lim_{x \rencontre a} f(x)=a\N]

Réponse :

Tu pourrais être tenté de dire "bien sûr, la limite est \(a\) - la fonction est juste une ligne". En fait, c'est presque suffisant. Tu ne peux utiliser aucune des propriétés des limites, mais tu peux utiliser la définition et prendre \(\delta = \epsilon\) pour montrer que la limite est \(a\).

Prends la fonction \(f(x)=2x^3-3x^2+7\), et \(a\) est un nombre réel constant. Trouve

\N-[lim_{x \rencontre a} f(x)\N]

Réponse :

Remarque que la fonction est juste la somme et le produit des puissances de \(x\N) avec la constante \N(7\N). Tu sais déjà que

\N(lim_{x \Nrightarrow a} x=a\N) et \N(lim_{x \Nrightarrow a} 7 =7\N)

grâce aux deux exemples ci-dessus, ce qui signifie que les conditions d'application de la règle de la somme, de la règle du produit et de la règle de la constante sont remplies. En les appliquant, on obtient

\N[lim_{x \Nrightarrow a} f(x)= lim_{x \Nrightarrow } ( 2x^3-3x^2+7)\N]

\N- [lim_{x \Nrightarrow a} f(x)=2a^3-3a^2+7\N]

Considère la fonction

\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]

Trouve la limite de la fonction lorsque \N(x \Nfréquence 3 \N).

Réponse :

Tout d'abord, trace un graphique de la fonction et fais un tableau des valeurs proches de \(x=3\). Bien que la fonction ait plus de racines qu'il n'y en a sur le graphique, comme tu ne t'intéresses qu'à la limite de \(x \rencontre 3\r), il est logique de zoomer sur la fonction à cet endroit.

Utilisation d'un graphique avec plusieurs points pour trouver la limite d'une fonction en rouge.

Tableau 1. Points de l'exemple de limite.

Les points du graphique correspondent aux points du tableau. Tu peux voir sur le graphique et dans le tableau qu'à mesure que \N(x) se rapproche de \N(x= 3), les valeurs de la fonction se rapprochent de \N(-4).

\N[lim_{x \Ndroite 3} f(x)=-4\N]

.

Remarque que tu ne te soucies pas de la valeur de la fonction à \N(x=3\N) lorsque tu trouves la limite, parce que la définition dit qu'il faut regarder près de \N(x=3\N) mais pas à \N(x=3\N).

Dans l'exemple précédent, nous avions

\[f(x)=\dfrac{1}{4}(x+1)(x-1)(x-5)\]

et nous avons trouvé la limite comme étant \N(x \Nrightarrow 3\N). Comme tu sais que tous les polynômes sont continus partout (voir Continuité et voir Théorèmes de continuité pour plus de détails), tu sais que la limite de la fonction existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction. Puisque \(f(3)=-4\), cela signifie que

\[lim_{x \rightarrow 3} =-4\]

Regarde la fonction

\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}\]

et trouve la limite lorsque \N(x \Nfréquence 4\N).

Réponse :

La fonction est indéfinie à \(x=4\), donc tu ne peux pas simplement insérer la valeur de la fonction pour trouver la limite. Mais tu peux factoriser le numérateur pour obtenir

\[f(x)=\dfrac{x^2-2x-8}{x-4}=\dfrac{(x-4)(x+2)}{x-4}=x+2\]

tant que \(x \neq 4\). Cela signifie que le graphique de la fonction est en fait la droite \N(y=x+2) avec un trou au point \N((4, 6)\N). Donc \N(lim_{x \rencontre 4} f(x)=6\N).