Transformations de Fonction

Considère la fonction mère de l'image ci-dessus :

\[f(x) = x^{2}]

Il s'agit de la fonction mère d'une parabole. Maintenant, dis que tu veux transformer cette fonction en :

• en la décalant vers la gauche de \(5\) unités
• En la rétrécissant horizontalement d'un facteur de \(2\)
• En la réfléchissant sur l'axe \(y\)

Comment peux-tu faire cela ?

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 2. Graphique de la fonction mère d'une parabole.
2. Écris la fonction transformée.
   1. Commence par la fonction mère :
      • \N( f_{0}(x) = x^{2}) \)
   2. Ajoute le décalage vers la gauche de 5 unités en mettant des parenthèses autour de la variable d'entrée, \N(x\N), et en mettant \N(+5\N) entre ces parenthèses après \N(x\N) :
      • \N( f_{1}(x) = f_{0}(x+5) = \Nà gauche( x+5 \Nà droite)^{2} \)
   3. Ensuite, multiplie le \(x) par le \(2) pour le rétrécir horizontalement :
      • \N( f_{2}(x) = f_{1}(2x) = \Nà gauche( 2x+5 \Nà droite)^{2} \)
   4. Enfin, pour réfléchir sur l'axe \(y\), multiplie \(x\) par \(-1\) :
      • \N( f_{3}(x) = f_{2}(-x) = \Nà gauche( -2x+5 \Nà droite)^{2} \)
   5. Ta fonction transformée finale est donc :
      • \( \bf{ f(x) } = \bf{ \left( -2x + 5 \right)^{2} } \)
3. Représente graphiquement la fonction transformée et compare-la à la fonction mère pour t'assurer que les transformations ont un sens.
   • Fig. 3. Les graphiques de la fonction parente d'une parabole (bleu) et de sa transformation (vert).
   • Ce qu'il faut noter ici :
     • La fonction transformée est à droite en raison de la réflexion sur l'axe \(y\) effectuée après le décalage.
     • La fonction transformée est décalée de \(2,5\N) au lieu de \N(5\N) en raison du rétrécissement d'un facteur de \N(2\N).

Considère à nouveau la fonction mère :

\[f(x) = x^{2}].

Maintenant, disons que tu veux transformer cette fonction en

• En la décalant vers le haut de \(5\) unités
• En la rétrécissant verticalement d'un facteur de \(2\)
• En la réfléchissant sur l'axe \(x\)

Comment peux-tu faire cela ?

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 4. Graphique de la fonction mère d'une parabole.
2. Écris la fonction transformée.
   1. Commence par la fonction mère :
      • \N( f_{0}(x) = x^{2}) \)
   2. Ajoute le décalage vers le haut de \(5\) unités en mettant \(+5\) après \( x^{2} \) :
      • \N- f_{1}(x) = f_{0}(x) + 5 = x^{2} + 5 \)
   3. Ensuite, multiplie la fonction par \N( \Nfrac{1}{2} \N) pour la comprimer verticalement par un facteur de \N(2\N) :
      • \N( f_{2}(x) = \frac{1}{2}) \Nà gauche( f_{1}(x) \Nà droite) = \Nfrac{x^{2}+5}{2} \)
   4. Enfin, pour réfléchir sur l'axe \N(x), multiplie la fonction par \N(-1) :
      • \N( f_{3}(x) = -f_{2}(x) = - \frac{x^{2}+5}{2}) \)
   5. Ta fonction transformée finale est donc :
      • \( \bf{ f(x) } = \bf{ - \frac{x^{2}+5}{2}) } \)
3. Représente graphiquement la fonction transformée et compare-la à la fonction mère pour t'assurer que les transformations ont un sens.
   • Fig. 5. Graphiques d'une fonction parente d'une parabole (bleu) et de sa transformation (vert).

Disons que tu as la fonction, \N( f(x) \N), et sa transformation, \N( f(x+3) \N). Comment la transformation \(+3\) déplace-t-elle le graphique de \( f(x) \) ?

Solution:

1. Il s'agit d'une transformation horizontale car l'addition est appliquée à la variable indépendante, \(x).
   • Par conséquent, tu sais que le graphique se déplace à l'opposé de ce à quoi tu t'attendais.
2. Le graphique de \( f(x) \) est déplacé vers la gauche de 3 unités.

Considère les fonctions :

\[g(x) = x^{3} - 4]

et

\N- h(x) = (x-4)^{3} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

Prends une minute pour réfléchir à la façon dont ces deux fonctions, par rapport à leur fonction mère \( f(x) = x^{3} \N-), sont transformées.

Peux-tu comparer et opposer leurs transformations ? À quoi ressemblent leurs graphiques ?

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 6. Le graphique de la fonction cubique parente.
2. Détermine les transformations indiquées par \( g(x) \) et \( h(x) \).
   1. Pour \N( g(x) \N) :
      • Puisque \(4\) est soustrait de la fonction entière, et pas seulement de la variable d'entrée \(x\), le graphique de \( g(x) \) se déplace verticalement vers le bas de \(4\) unités.
   2. Pour \N( h(x) \N) :
      • Puisque \(4\) est soustrait de la variable d'entrée \(x), et non de la fonction entière, le graphique de \( h(x) \) se déplace horizontalement vers la droite de \(4\) unités.
3. Représente les fonctions transformées par la fonction mère et compare-les.
   • Fig. 7. Le graphique de la fonction cubique mère (bleu) et de deux de ses transformations (vert, rose).

En développant l'exemple précédent, considérons maintenant la fonction :

\[ f(x) = \frac{1}{2} \left( x^{3} - 4 \Nright) + 2 \N].

À première vue, on pourrait penser qu'il s'agit d'un décalage horizontal de \(4\) unités par rapport à la fonction mère \( f(x) = x^{3} \).

Ce n'est pas le cas !

Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, l'expression \( \left( x^{3} - 4 \right) \) n'indique pas un décalage horizontal parce que \(x\) a une puissance de \(3\), et non de \(1\). Par conséquent, \N( \Ngauche( x^{3} - 4 \Ndroite) \N) indique un décalage vertical de \N(4 \N) unités vers le bas par rapport à la fonction mère \N( f(x) = x^{3} \).

Pour obtenir les informations complètes sur la traduction, tu dois développer et simplifier :

\N[ \N- Début{alignement}f(x) &= \Nfrac{1}{2} \Nà gauche( x^{3} - 4 \Nà droite) + 2 \N&= \Nfrac{1}{2} x^{3} - 2 + 2 \N-&= \N-frac{1}{2} x^{3}\N- end{align} \]

Ceci t'indique qu'il n'y a, en fait, aucune translation verticale ou horizontale. Il y a seulement une compression verticale d'un facteur de \(2\) !

Comparons cette fonction à une autre qui lui ressemble beaucoup mais qui est transformée de manière très différente.

Fig. 8. Le graphique de la fonction cubique parente (bleu) et deux de ses transformations (vert, rose).

Considère la fonction :

\[g(x) = 2(3x + 12)^{2} +1 \N].

À première vue, on pourrait penser que cette fonction est décalée de \(12\) unités vers la gauche par rapport à sa fonction mère, \( f(x) = x^{2}). \).

Ce n'est pas le cas ! Bien que tu puisses être tenté de le penser en raison des parenthèses, la fonction \( (3x + 12)^{2} \N) n'indique pas un décalage vers la gauche de \N(12\N) unités. Tu dois factoriser le coefficient de \(x\) !

\N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N- g(x) = 2(3(x + 4)^{2}) + 1 \N]

Ici, tu peux voir que la fonction est en fait décalée de \(4\) unités vers la gauche, et non de \(12\), après avoir écrit l'équation sous la forme appropriée. Le graphique ci-dessous permet de le prouver.

Fig. 9. Assure-toi de factoriser complètement le coefficient de \(x\) pour obtenir une analyse précise des transformations horizontales.

Les transformations de fonctions de la même catégorie, mais de types différents , ne s'interpénètrent pas (c'est-à-dire que l'ordre est important).

Disons que tu as une fonction, \Nf_{0}(x) \Net des constantes \Na \Net \Nb \N.

Regarder les transformations horizontales :

• Disons que tu veux appliquer un décalage horizontal et un étirement (ou rétrécissement) horizontal à une fonction générale. Si tu appliques d'abord l'étirement (ou le rétrécissement) horizontal, tu obtiens :\N[ \N-{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \N-{align}f_{2}(x) &= f_{1}(x+b) = f_{0} \n- gauche( a(x+b) \n-droit)\n- fin{align} \]
• Maintenant, si tu appliques d'abord le décalage horizontal, tu obtiens :\[ \begin{align}g_{1}(x) &= f_{0}(x+b) \\N-g_{2}(x) &= g_{1}(ax) = f_{0}(ax+b)\end{align} \]
• When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \\f_{0} \left( a(x+b) \right) &\neq f_{0}(ax+b)\end{align} \]

Regarder les transformations verticales :

• Disons que tu veux appliquer un décalage vertical et un étirement vertical (ou un rétrécissement) à une fonction générale. Then, if you apply the vertical stretch (or shrink) first, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \\f_{2}(x) &= b+f_{1}(x) = b+af_{0}(x)\end{align} \]
• Now, if you apply the vertical shift first, you get:\[ \begin{align}g_{1}(x) &= b+f_{0}(x) \\g_{2}(x) &= ag_{1}(x) = a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]
• When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &\neq g_{2}(x) \\b+af_{0}(x) &\neq a \left( b+f_{0}(x) \right)\end{align} \]

Les transformations de fonctions de la même catégorie et du même type sont commutées (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).

Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).

• Si tu veux appliquer plusieurs étirements/rétrécissements horizontaux, tu obtiens :\N[ \Nbegin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \Nf_{2}(x) &= f_{1}(bx) \N&= f_{0}(abx)\Nend{align} \]
  • Le produit \(ab\) est commutatif, donc l'ordre des deux étirements/rétrécissements horizontaux n'a pas d'importance.
• If you want to apply multiple horizontal shifts, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(a+x) \\f_{2}(x) &= f_{1}(b+x) \\&= f_{0}(a+b+x)\end{align} \]
  • La somme \(a+b\) est commutative, l'ordre des deux étirements horizontaux n'a donc pas d'importance.
• If you want to apply multiple vertical stretches/shrinks, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= af_{0}(x) \\f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \\&= abf_{0}(x)\end{align} \]
  • Le produit \(ab\) est commutatif, donc l'ordre des deux étirements/rétrécissements verticaux n'a pas d'importance.
• If you want to apply multiple vertical shifts, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= a + f_{0}(x) \\f_{2}(x) &= b + f_{1}(x) \\&= a + b + f_{0}(x)\end{align} \]
  • La somme \(a+b\) est commutative, l'ordre des deux décalages verticaux n'a donc pas d'importance.

Les transformations de fonctions qui sont de catégories différentes sont commutatives (c'est-à-dire que l'ordre n'a pas d'importance).

Disons que tu as une fonction, \N( f_{0}(x) \N), et des constantes \N( a \N) et \N( b \N).

• If you want to combine a horizontal stretch/shrink and a vertical stretch/shrink, you get:\[ \begin{align}f_{1}(x) &= f_{0}(ax) \\f_{2}(x) &= bf_{1}(x) \\&= bf_{0}(ax)\end{align} \]
• Maintenant, si tu inverses l'ordre dans lequel ces deux transformations sont appliquées, tu obtiens :\[ \begin{align}g_{1}(x) &= bf_{0}(x) \\N-g_{2}(x) &= g_{1}(ax) \N-&= bf_{0}(ax)\n- end{align}] \]
• When you compare these two results, you see that:\[ \begin{align}f_{2}(x) &= g_{2}(x) \\bf_{0}(ax) &= bf_{0}(ax)\end{align} \]

Si le point \N( (2, -4)) est sur la fonction \N( y = f(x)), alors quel est le point correspondant sur \N( y = 2f(x-1)-3) ?

Solution:

Tu sais jusqu'à présent que le point \N(2, -4) \Nest sur le graphique de \N( y = f(x) \N). Tu peux donc dire que :

\[ f(2) = -4 \]

Ce que tu dois trouver, c'est le point correspondant qui se trouve sur \( y = 2f(x-1)-3 \N). Pour cela, tu dois examiner les transformations données par cette nouvelle fonction. En parcourant ces transformations, tu obtiens :

1. Commence par les parenthèses.
   • Ici, tu as \N( (x-1) \N). → Cela signifie que tu décales le graphique vers la droite de \(1\) unité.
   • Comme c'est la seule transformation appliquée à l'entrée, tu sais qu'il n'y a pas d'autres transformations horizontales sur le point.
     • Tu sais donc que le point transformé a une coordonnée \(x\) de \(3\).
2. Applique la multiplication.
   • Ici, tu as \N( 2f(x-1) \N). → Le \(2\) signifie que tu as un étirement vertical d'un facteur de \(2\), donc ta coordonnée \(y\) double pour atteindre \(-8\).
   • Mais tu n'as pas encore terminé ! Il te reste encore une transformation verticale.
3. Applique l'addition/soustraction.
   • Ici, tu as appliqué le \(-3\) à l'ensemble de la fonction. → Cela signifie que tu as un décalage vers le bas, donc tu soustrais \(3\) de ta coordonnée \(y\).
     • Tu sais donc que le point transformé a une coordonnée \(y\) de \(-11\).

Donc, avec ces transformations effectuées sur la fonction, quelle qu'elle soit, le point correspondant à \( (2, -4) \N) est le point transformé \( \bf{ (3, -11) }). \).

Transformons la fonction exponentielle naturelle mère, \( f(x) = e^{x} \), en traçant le graphique de la fonction exponentielle naturelle :

\[ f(x) = -e^{2(x-1)}+3. \]

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 12. Graphique de la fonction \(e^x\).
2. Détermine les transformations.

   1. Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).

      • Ici, tu as \(f(x) = e^{(x-1)}\), donc le graphique se déplace vers la droite de \(1\) unité.

      • Fig. 13. Graphique de la fonction \(e^x\) et sa transformation.

   2. Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)

      • Ici, tu as \( f(x) = e^{2(x-1)} \), donc le graphique se rétrécit horizontalement d'un facteur de \(2\).

      • Fig. 14. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les deux premières étapes de la transformation (jaune, violet).

   3. Applique les négations (réflexions)

      • Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} \), donc le graphique est réfléchi sur l'axe \(x\).

      • Fig. 15. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les trois premières étapes de la transformation (jaune, violet, rose).

   4. Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)

      • Ici, tu as \( f(x) = -e^{2(x-1)} + 3 \), donc le graphique est décalé vers le haut de \(3\) unités.

      • Fig. 16. Le graphique de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).

3. Trace le graphique de la fonction transformée finale.

   • Fig. 17. Les graphiques de la fonction exponentielle naturelle parente (bleu) et de sa transformation (vert).

Transformons la fonction logarithme naturel mère, \( f(x) = \text{log}_{e}(x) = \text{ln}(x) \) en traçant le graphique de la fonction :

\[ f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3. \]

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 18. Le graphique de la fonction logarithme naturel mère.
2. Détermine les transformations.

   1. Commence par les parenthèses (décalages horizontaux).

      • Ici, tu as \( f(x) = \text{ln}(x+2) \), donc le graphique se déplace vers la gauche de \(2\) unités.

      • Fig. 19. Graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et de la première étape de la transformation (vert).

   2. Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit)

      • Ici, tu as \( f(x) = 2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique s'étire verticalement d'un facteur de \(2\).

      • Fig. 20. Graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et des deux premières étapes de la transformation (vert, rose).

   3. Applique les négations (réflexions)

      • Ici, tu as \( f(x) = -2\text{ln}(x+2) \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).

      • Fig. 21. Les graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et des trois premières étapes de la transformation (vert, violet, rose).

   4. Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)

      • Ici, tu as \N( f(x) = -2\text{ln}(x+2)-3\N), donc le graphique se décale vers le bas de \N(3\N) unités.

      • Fig. 22. Les graphiques de la fonction logarithme naturel mère (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).
3. Trace le graphique de la fonction transformée finale.
   • Fig. 23. Les graphiques de la fonction logarithmenaturel mère (bleu) et de sa transformation (vert, violet, rose, vert).

Transformons la fonction réciproque parente, \( f(x) = \frac{1}{x}) \) en traçant le graphique de la fonction :

\[ f(x) = - \frac{2}{2x-6}+3. \]

Solution:

1. Trace le graphique de la fonction mère.
   • Fig. 24. Le graphique de la fonction rationnelle parente.
2. Détermine les transformations.

   1. Commence par les parenthèses (décalages horizontaux)

      • Pour trouver les déplacements horizontaux de cette fonction, tu dois avoir le dénominateur sous forme standard (c'est-à-dire que tu dois factoriser le coefficient de \(x\)).
      • La fonction transformée devient donc :\N[ \Nbegin{align}f(x) &= - \frac{2}{2x-6}+3 \N&= - \frac{2}{2(x-3)}+3\Nend{align} \]
      • Maintenant, tu as \Nf(x) = \frac{1}{x-3} \N- Tu sais donc que le graphique se déplace vers la droite de \N(3\N) unités.

   2. Applique la multiplication (étire et/ou rétrécit) C'est une étape délicate.

      • Ici, tu as un rétrécissement horizontal d'un facteur de \(2\N) (à partir de \N(2\N) au dénominateur) et un étirement vertical d'un facteur de \N(2 \N) (à partir de \N(2\N) au numérateur).

      • Ici, tu as \( f(x) = \frac{2}{2(x-3)} \), ce qui te donne le même graphique que \( f(x) = \frac{1}{x-3} \).

      • Fig. 25.

        Les graphiques de la fonction rationnelle parente (bleu) et de la première étape de la transformation (fucsia).

   3. Applique les négations (réflexions)

      • Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} \), donc le graphique se reflète sur l'axe \(x\).

      • Fig. 26.

        Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et des trois premières étapes de la transformation (jaune, violet, rose).

   4. Applique l'addition/soustraction (décalages verticaux)

      • Ici, tu as \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 \), donc le graphique se déplace vers le haut de \(3\) unités.

      • Fig. 27. Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et les étapes pour obtenir la transformation (jaune, violet, rose, vert).
3. Trace le graphique de la fonction transformée finale.
   • La fonction transformée finale est \( f(x) = - \frac{2}{2(x-3)} + 3 = - \frac{2}{2x-6} + 3 \).
   • Fig. 28. Les graphiques de la fonction rationnelle mère (bleu) et de sa transformation (vert).