Théorèmes de continuité: Limites, Fonctions

Q: Qu'est-ce qu'un théorème de continuité?

Un théorème de continuité est une règle mathématique qui décrit les conditions sous lesquelles une fonction est continue sur un intervalle donné.

Q: Pourquoi la continuité d'une fonction est-elle importante?

La continuité est importante car elle permet de garantir que la fonction n'a pas de sauts ou de ruptures, ce qui est crucial pour l'analyse et les applications pratiques.

Q: Quels sont les principaux théorèmes de continuité?

Les principaux théorèmes de continuité incluent le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la continuité uniforme.

Q: Comment peut-on montrer qu'une fonction est continue?

Pour montrer qu'une fonction est continue, il faut vérifier que la limite de la fonction existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction en ce point.

Table des mateères

Théorèmes de continuité pour les fonctions

Les théorèmes de continuité reposent en grande partie sur ce que tu sais déjà à propos des limites. Pour un rappel sur les limites, voir Limites et recherche de limites. Ce premier théorème découle directement de la définition de la continuité et des propriétés des limites.

Théorème : Propriétés des fonctions continues

Supposons que $f (x)$ et $g (x)$ sont des fonctions continues en $x = p$ . Alors les choses suivantes sont vraies :

Propriété de la somme: $(f + g) (x)$ est continue en $x = p$ ;

Propriété de la différence: $(f - g) (x)$ est continue à $x = p$ ;

Propriété du produit: $(f \cdot g) (x)$ est continue à $x = p$ ;

Propriété du multiple constant: si $k$ est un nombre réel, alors $(k \cdot f) (x)$ est continu à $x = p$ ;

Propriété du quotient: si $g (p) \neq 0$ alors $(\frac{f}{g}) (x)$ est continue en $x = p$ .

Supposons que

$f (x) = |x|$ et $g (x) = \frac{x + 3}{x - 1}$ .

Où est $(f \cdot g) (x)$ continue ?

Réponse :

Rappelle-toi que la fonction valeur absolue est continue partout, et que les fonctions rationnelles sont continues sur leurs domaines.

Puisque $g (x)$ est une fonction rationnelle dont le domaine est $(- \infty, 1) \cup (1, \infty)$ elle est continue partout sauf à $x = 1$ .

Alors, en utilisant la propriété du produit, $(f \cdot g) (x)$ est continue partout sauf en $x = 1$ .

Remarque que la composition des fonctions ne figure pas dans les propriétés des fonctions continues. Il existe un théorème distinct pour les compositions parce qu'il est prouvé en utilisant les domaines des fonctions et la définition de la continuité plutôt qu'en utilisant les limites comme dans les Propriétés des fonctions continues.

Théorème : Composition des fonctions continues

Si $g (x)$ est continue en $x = p$ et $f (x)$ est continue en $g (p)$ alors $f (g (x)) = (f \circ g) (x)$ est continu sur $x = p$ .

Si tu sais que $g (x)$ est continue en $x = p$ est $|g| (x)$ continue à $x = p$ ?

Réponds :

Prends $f (x)$ comme étant la fonction de valeur absolue, qui est continue partout.

Cela signifie que tu sais que $g (x)$ est continue en $x = p$ et $f (x)$ est continue en $g (p)$ .

Alors, en utilisant le théorème de composition des fonctions continues, $(f \circ g) (x) = |g| (x)$ est continue en $x = p$ .

Théorèmes sur la discontinuité

Tu te demandes peut-être pourquoi il existe de nombreux théorèmes sur les fonctions continues et aucun théorème équivalent sur la discontinuité. Prenons un exemple pour te montrer pourquoi.

Prends

$f (x) = \{\begin{cases} 1, & x < 0 \\ - 1, & x \geq 0 \end{cases}$ et $g (x) = \{\begin{cases} - 1, & x < 0 \\ 1, & x \geq 0 \end{cases}$ .

Aucune de ces fonctions n'est continue en $x = 0$ .

Si tu additionnes ces deux fonctions qui ne sont pas continues en $x = 0$ leur somme est-elle toujours discontinue en $x = 0$ ? Bien,

$(f + g) (x) = \{\begin{cases} 1 + (- 1), & x < 0 \\ - 1 + 1, & x \geq 0 \end{cases} = \{\begin{cases} 0, & x < 0 \\ 0, & x \geq 0 \end{cases} = 0$ ,

qui est continue partout. Par contre-exemple, tu as donc montré qu'il ne peut pas y avoir de propriété de la somme pour les fonctions discontinues.

Qu'en est-il de la propriété du produit ? Leur produit est

$(f \cdot g) (x) = \{\begin{cases} 1 \cdot (- 1), & x < 0 \\ - 1 \cdot 1, & x \geq 0 \end{cases} = \{\begin{cases} - 1, & x < 0 \\ - 1, & x \geq 0 \end{cases} = - 1$ ,

qui est continu partout. Tu ne peux donc pas avoir de propriété de produit pour des fonctions qui ne sont pas continues.

Tu penses peut-être que rien ne peut aller de travers avec la propriété de la constante. Il s'agit simplement de multiplier par une constante !

En fait, cette propriété ne fonctionne pas non plus.

Prends $k = 0$ . Alors $(k \cdot f) (x) = (0 \cdot f) (x) = 0$ qui est continue partout. Ainsi, même la propriété de constance ne tient pas pour les fonctions discontinues.

Comme pour les fonctions de l'exemple ci-dessus, tu peux trouver des fonctions pour montrer que la propriété de différence et la propriété de quotient ne s'appliquent pas non plus aux fonctions discontinues.

Théorèmes de continuité - Principaux enseignements

Propriété de la somme pour les fonctions continues : Supposons que $f (x)$ et $g (x)$ sont des fonctions continues en $x = p$ . Alors $(f + g) (x)$ est continue en $x = p$ .
Propriété de différence pour les fonctions continues : Supposons que $f (x)$ et $g (x)$ soient des fonctions continues en $x = p$ . Alors $(f - g) (x)$ est continue en $x = p$ .
Propriété du produit pour les fonctions continues : Supposons que $f (x)$ et $g (x)$ sont des fonctions continues en $x = p$ . Alors $(f \cdot g) (x)$ est continue en $x = p$ .
Propriété multiple constante pour les fonctions continues : Supposons que $f (x)$ est une fonction qui est continue en $x = p$ . Alors si $k$ est un nombre réel, $(k \cdot f) (x)$ est continue en $x = p$ .
Propriété du quotient pour les fonctions continues : Supposons que $f (x)$ et $g (x)$ soient des fonctions continues en $x = p$ . Dans ce cas si $g (p) \neq 0$ , $(\frac{f}{g}) (x)$ est continue sur $x = p$ .
Composition de fonctions continues : Si $g (x)$ est continue en $x = p$ et $f (x)$ est continue en $g (p)$ alors $f (g (x)) = (f \circ g) (x)$ est continu sur $x = p$ .
Aucune des propriétés ci-dessus n'est valable en général pour les fonctions discontinues.

Fiches dans Théorèmes de continuité 1

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Vrai ou faux : Les propriétés de la somme, de la différence, du produit, du quotient et du multiple constant sont toutes valables pour les fonctions discontinues.

Faux. Tu peux trouver des exemples de fonctions discontinues pour lesquelles toutes ces propriétés ne sont pas respectées.

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Questions fréquemment posées en Théorèmes de continuité

Qu'est-ce qu'un théorème de continuité?

Un théorème de continuité est une règle mathématique qui décrit les conditions sous lesquelles une fonction est continue sur un intervalle donné.

Pourquoi la continuité d'une fonction est-elle importante?

La continuité est importante car elle permet de garantir que la fonction n'a pas de sauts ou de ruptures, ce qui est crucial pour l'analyse et les applications pratiques.

Quels sont les principaux théorèmes de continuité?

Les principaux théorèmes de continuité incluent le théorème des valeurs intermédiaires et le théorème de la continuité uniforme.

Comment peut-on montrer qu'une fonction est continue?

Pour montrer qu'une fonction est continue, il faut vérifier que la limite de la fonction existe et qu'elle est égale à la valeur de la fonction en ce point.

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