Théorème de Rolle

Définition du théorème de Rolle

Maintenant que nous avons passé en revue les conditions du théorème de Rolle, voyons ce que dit ce théorème.

Le théorème de Rolle stipule que si une fonction $f$ est :

• continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$
• différentiable sur l'intervalle ouvert $(a,b)$
• $f\left(a\right)=f\left(b\right)$

alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a,b)$ tel que $f\text{'}\left(c\right)=0$.

D'un point de vue géométrique, si une fonction remplit les conditions énumérées ci-dessus, alors il existe un point $c$ sur la fonction où la pente de la ligne tangente est 0 (la ligne tangente est horizontale).

Une fonction continue et différentiable f qui a des points a et b tels que f(a) = f(b) a au moins un point c où la pente de la ligne tangente est 0 - StudySmarter Original.

Dans notre exemple de marche, le théorème de Rolle dit que puisque nous avons commencé et terminé au même endroit, il doit y avoir eu un mouvement où nous avons fait un virage (la dérivée est 0).

Théorème de Rolle vs Théorème de la valeur moyenne

Rappelle-toi le théorème de la valeur moyenne, qui stipule que si une fonction $f$ est :

• continue sur l'intervalle ouvert $(a,b)$
• différentiable sur l'intervalle fermé $[a,b]$

alors il existe un nombre c tel que $a<c<b$ et

$f\text{'}\left(c\right)=\frac{f\left(b\right)-f\left(a\right)}{b-a}$

Le théorème de Rolle est un "cas particulier" du théorème de la valeur moyenne. Le théorème de Rolle dit que si les conditions sont remplies et qu'il existe des points a et b tels que $f\left(b\right)=f\left(a\right)$ou $f\left(b\right)-f\left(a\right)=0$, alors il existe un point $c$ où $f\text{'}\left(c\right)=0$. Si nous ajoutons $f\left(b\right)-f\left(a\right)=0$ à l'équation du théorème de la valeur moyenne pour $f\text{'}\left(c\right)$, nous obtenons $f\text{'}\left(c\right)$. Le théorème de Rolle est donc le cas du théorème de la valeur moyenne où $f\left(b\right)=f\left(a\right)$.

Preuve du théorème de Rolle

Théorème de Rolle Procédure étape par étape

Bien qu'aucune formule explicite ne soit associée au théorème de Rolle, il existe une procédure étape par étape pour trouver le point $c$.

1. S'assurer que la fonction satisfait au théorème de Rolle : continue sur l'intervalle fermé $[a,b]$ et différentiable sur l'intervalle ouvert $(a,b)$.

2. Introduis a et b dans la fonction pour garantir que $f\left(a\right)=f\left(b\right)$.

3. Si la fonction répond à toutes les exigences du théorème de Rolle, alors nous savons que nous sommes assurés d'avoir au moins un point $c$ où $f\text{'}\left(c\right)=0$.

4. Pour trouver $c$nous pouvons fixer la dérivée première à 0 et résoudre pour $x$.

Théorème de Rolle Exemples

Exemple 1

Exemple 2