Théorème de Rolle: Calcul, Exemples

Q: Qu'est-ce que le théorème de Rolle ?

Le théorème de Rolle dit que pour toute fonction continue sur [a, b] qui est dérivable sur (a, b) et où f(a) = f(b), il existe un c dans ]a, b[ tel que f'(c) = 0.

Q: Quelles sont les conditions du théorème de Rolle ?

Les conditions sont : fonction continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et f(a) = f(b).

Q: À quoi sert le théorème de Rolle ?

Le théorème de Rolle prouve l'existence d'au moins un point critique entre deux points où la fonction prend la même valeur.

Q: Comment prouver le théorème de Rolle ?

Pour prouver le théorème de Rolle, on utilise la continuité et la dérivabilité de la fonction, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires.

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Trois hypothèses / conditions du théorème de Rolle

Pour pouvoir utiliser le théorème de Rolle, quelques conditions doivent être remplies. La fonction doit être :

continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$
différentiable sur l'intervalle ouvert height="21" id="5253621" $(a, b)$
height="21" id="5253616" $f (a) = f (b)$

Définition du théorème de Rolle

Maintenant que nous avons passé en revue les conditions du théorème de Rolle, voyons ce que dit ce théorème.

Le théorème de Rolle stipule que si une fonction $f$ est :

continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$
différentiable sur l'intervalle ouvert $(a, b)$
$f (a) = f (b)$

alors il existe au moins un nombre $c$ dans $(a, b)$ tel que $f' (c) = 0$ .

D'un point de vue géométrique, si une fonction remplit les conditions énumérées ci-dessus, alors il existe un point $c$ sur la fonction où la pente de la ligne tangente est 0 (la ligne tangente est horizontale).

Théorème de Rolle pente de la ligne tangente explication géométrique StudySmarter Une fonction continue et différentiable f qui a des points a et b tels que f(a) = f(b) a au moins un point c où la pente de la ligne tangente est 0 - StudySmarter Original.

Dans notre exemple de marche, le théorème de Rolle dit que puisque nous avons commencé et terminé au même endroit, il doit y avoir eu un mouvement où nous avons fait un virage (la dérivée est 0).

Théorème de Rolle vs Théorème de la valeur moyenne

Rappelle-toi le théorème de la valeur moyenne, qui stipule que si une fonction $f$ est :

continue sur l'intervalle ouvert $(a, b)$
différentiable sur l'intervalle fermé $[a, b]$

alors il existe un nombre c tel que $a < c < b$ et

$f' (c) = \frac{f (b) - f (a)}{b - a}$

Le théorème de Rolle est un "cas particulier" du théorème de la valeur moyenne. Le théorème de Rolle dit que si les conditions sont remplies et qu'il existe des points a et b tels que $f (b) = f (a)$ ou $f (b) - f (a) = 0$ , alors il existe un point $c$ où $f' (c) = 0$ . Si nous ajoutons $f (b) - f (a) = 0$ à l'équation du théorème de la valeur moyenne pour $f' (c)$ , nous obtenons $f' (c)$ . Le théorème de Rolle est donc le cas du théorème de la valeur moyenne où $f (b) = f (a)$ .

Preuve du théorème de Rolle

Supposons qu'une fonction f soit continue sur l'intervalle[a, b], différentiable sur l'intervalle $(a, b)$ et $f (a) = f (b)$ . Les conditions du théorème de Rolle sont donc remplies. Nous devons prouver que la fonction $f$ possède un point $c$ où $f' (c) = 0$ . En d'autres termes, le point où $f' (c) = 0$ est une valeur maximale ou minimale (extrema) sur l'intervalle.

Nous savons que notre fonction $f$ aura des extrema selon le théorème des valeurs extrêmes, qui dit que si une fonction est continue, elle est garantie d'avoir une valeur maximale et une valeur minimale sur l'intervalle.

Il y a deux cas :

La fonction est une valeur constante (un segment de droite horizontal).
La fonction n'est pas une valeur constante.

Cas 1 : la fonction est une valeur constante

Théorème de Rolle preuve f(a) = f(b) partout StudySmarter Cette fonction, qui répond aux exigences du théorème de Rolle, a une dérivée égale à 0 partout - StudySmarter Original

Chaque point de la fonction répond aux exigences du théorème de Rolle en tant que $f' (c) = 0$ partout.

Cas 2 : La fonction n'est pas une valeur constante

Comme la fonction n'est pas une valeur constante, elle doit changer de direction pour commencer et finir à la même valeur de fonction. Ainsi, quelque part à l'intérieur du graphique, la fonction aura soit un minimum, soit un maximum, soit les deux.

Théorème de Rolle preuve explication géométrique StudySmarter Cette fonction, qui répond aux exigences du théorème de Rolle, a à la fois un minimum et un maximum - StudySmarter Original

Nous devons prouver que le minimum ou le maximum (ou les deux) se produisent lorsque la dérivée est égale à 0.

Les extrema ne peuvent pas se produire lorsque $f' (x) > 0$ car lorsque $f' (x) > 0$ la fonction est croissante. À une valeur extrema, la fonction ne peut pas être croissante. À un point maximum, la fonction ne peut pas être croissante car nous sommes déjà à la valeur maximale. À un point minimum, la fonction ne peut pas être croissante parce qu'elle était un peu plus petite à gauche de l'endroit où nous nous trouvons maintenant. Puisque nous sommes à la valeur minimale, la fonction ne peut pas être plus petite que maintenant, $f' (x)$ ne peut pas être plus petite qu'elle ne l'est maintenant.

L'extremum ne peut pas se produire lorsque $f' (x) < 0$ car lorsque $f' (x) < 0$ la fonction est décroissante. À une valeur extrema, la fonction ne peut pas être décroissante. À un point maximum, la fonction ne peut pas être croissante parce que $f' (x) < 0$ ce qui signifie que $f' (x)$ était plus grande un peu à gauche de l'endroit où nous nous trouvons maintenant. Puisque nous sommes à la valeur maximale, $f' (x)$ ne peut pas être plus grande qu'elle ne l'est maintenant. À un point minimum, la fonction ne peut pas être décroissante parce que nous sommes déjà à la valeur minimum.

Puisque $f' (x)$ n'est ni inférieur à 0 ni supérieur à 0, $f' (x)$ doit être égale à 0.

Théorème de Rolle Procédure étape par étape

Bien qu'aucune formule explicite ne soit associée au théorème de Rolle, il existe une procédure étape par étape pour trouver le point $c$ .

1. S'assurer que la fonction satisfait au théorème de Rolle : continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$ et différentiable sur l'intervalle ouvert $(a, b)$ .

2. Introduis a et b dans la fonction pour garantir que $f (a) = f (b)$ .

3. Si la fonction répond à toutes les exigences du théorème de Rolle, alors nous savons que nous sommes assurés d'avoir au moins un point $c$ où $f' (c) = 0$ .

4. Pour trouver $c$ nous pouvons fixer la dérivée première à 0 et résoudre pour $x$ .

Théorème de Rolle Exemples

Exemple 1

Montre par le théorème de Rolle que $f (x) = \cos (x) + 2$ sur $[0, 2 π]$ a au moins une valeur $c$ telle que $f' (c) = 0$ . Trouve ensuite la valeur maximale ou minimale de la fonction sur l'intervalle.

Étape 1 : S'assurer que f(x) satisfait aux exigences du théorème de Rolle

Par nature, nous savons que la fonction cosinus est continue et différentiable partout.

Étape 2 : Vérifie que f(a) = f(b)

En introduisant 0 et $2 π$ dans $f (x)$

$\cos (0) + 2 = \cos (2 π) + 2 1 + 2 = 1 + 2 3 = 3$

Puisque

f (a) = f (b) = 3

nous pouvons appliquer le théorème de Rolle.

Étape 3 : Fixer f'(x) = 0 pour résoudre x

Par le théorème de Rolle, nous sommes assurés d'avoir au moins un point $c$ où $f' (c) = 0$ . Nous pouvons donc trouver $f' (x)$ et le fixer à 0.

$f' (x) = - \sin (x) = 0 \sin (x) = 0$

En utilisant nos connaissances en trigonométrie et sur le cercle unitaire, nous savons que la fonction sinus est égale à 0 lorsque $x = 0$ et les multiples de $π$ . Cependant, les seuls multiples de $π$ dans notre intervalle sont $π$ et $2 π$ . Donc, dans notre intervalle, $\sin (x) = 0$ lorsque $x = 0, π, 2 π$ .

Étape 4 : Ajoute les valeurs c à f(x) pour trouver les valeurs maximales ou minimales de la fonction

$f (0) = \cos (0) + 2 = 1 + 2 = 3$

$f (π) = \cos (π) + 2 = - 1 + 2 = 1$

$f (2 π) = \cos (2 π) + 2 = 1 + 2 = 3$

$f (x)$ a une valeur maximale de 3 à $x = 0, 2 π$ et une valeur minimale de 1 à $x = π$

Exemple 2

Soit $f (x) = x^{3} - x$ . Le théorème de Rolle garantit-il une valeur $c$ où $f' (c) = 0$ sur l'intervalle $[- 1, 1]$ ? Explique pourquoi ou pourquoi pas.

Pour vérifier si nous pouvons appliquer le théorème de Rolle, nous devons nous assurer que les conditions requises sont remplies.

Étape 1 : Vérifier si f(x) est continue et différentiable

Nous savons que $f (x)$ est continue sur l'intervalle donné car c'est un polynôme. Nous savons également que $f (x)$ est différentiable sur l'intervalle : $f' (x) = 3 x^{2} - 1$

Étape 2 : Vérifier si f(-1) = f(1)

Lorsque nous introduisons $f (- 1)$ nous obtenons $f (- 1) = - 1^{3} - (- 1) = 0$ . Lorsque l'on branche $f (1)$ on obtient $f (1) = 1^{3} - 1 = 0$ .

Étape 3 : Appliquer le théorème de Rolle

Puisque , $f (x)$ est continue sur $[- 1, 1]$ , différentiable sur $(- 1, 1)$ et $f (- 1) = f (1) = 0$ alors le théorème de Rolle nous dit qu'il existe un nombre $c$ tel que $f' (c) = 0$ .

Théorème de Rolle - Principaux enseignements

Le théorème de Rolle est un cas particulier du théorème de la valeur moyenne où $f (b) - f (a) = 0$
Le théorème de Rolle stipule que si une fonction $f$ est :
- continue sur l'intervalle fermé $[a, b]$
- différentiable sur l'intervalle ouvert $(a, b)$
- $f (a) = f (b)$ alors il existe au moins un nombre $c$ en $(a, b)$ tel que f'(c) = 0
Pour trouver, applique le théorème de Rolle :
- Assure-toi que les conditions sont remplies
- Vérifie que les extrémités ont la même valeur de fonction
- Fixe la dérivée première de la fonction à 0 et résous le problème pour $x$

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Questions fréquemment posées en Théorème de Rolle

Qu'est-ce que le théorème de Rolle ?

Le théorème de Rolle dit que pour toute fonction continue sur [a, b] qui est dérivable sur (a, b) et où f(a) = f(b), il existe un c dans ]a, b[ tel que f'(c) = 0.

Quelles sont les conditions du théorème de Rolle ?

Les conditions sont : fonction continue sur [a, b], dérivable sur (a, b), et f(a) = f(b).

À quoi sert le théorème de Rolle ?

Le théorème de Rolle prouve l'existence d'au moins un point critique entre deux points où la fonction prend la même valeur.

Comment prouver le théorème de Rolle ?

Pour prouver le théorème de Rolle, on utilise la continuité et la dérivabilité de la fonction, ainsi que le théorème des valeurs intermédiaires.

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