Test du Rapport

Considère la série

\[ \sum\limites_{n = 1}^{\infty} \frac{9^n}{(-2)^{n+1}n} .\]

Si tu laisses de côté les signes de valeur absolue lorsque tu prends la limite, tu obtiens :

\[ \N- Début{aligné} L &= \lim\limites_{n \à \infty} \frac{a_{n+1}}{a_n} \\N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{\frac{9^{n+1}}{(-2)^{n+2}(n+1)} }{\frac{9^n}{(-2)^{n+1}n} } \\N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left(\frac{9^{n+1}}{(-2)^{n+2}(n+1)} \right) \left( \frac {(-2)^{n+1}n}{9^n}\right) \e &= \lim\limits_{n \N}à \infty} \frac{9 n}{-2(n+1) } \N- &= -\Nfrac{9}{2}. \NFin{aligné} \]

Puisque

\[L = -\frac{9}{2} < 1 \]

cela semble impliquer que la série converge.

Cependant, si le test du ratio est appliqué correctement avec les signes de valeur absolue, alors

\[ L = \Ngauche| -\frac{9}{2} \Ndroite|= \Nfrac{9}{2} > 1, \N]

Donc en fait, le test du ratio t'indique que la série diverge.

Fais donc attention, car si tu oublies les signes de valeur absolue, tu peux obtenir une mauvaise réponse !

Décide si la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{(-3)^n}{(2n)!} \]

converge ou diverge.

Réponse :

En prenant la limite pour trouver \N( L \N), on obtient

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \à \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(-3)^{n+1}}{(2(n+1))!} }{\frac{(-3)^n}{(2n)!} } \N- \N- &= \N- \Nlimites_{n \Nà \N- } \left| \frac{(-3)^{n+1}}{(2(n+1))!}\cdot \frac{(2n)!}{(-3)^n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \gauche| \frac{-3\cdot (2n)!}{(2n+2)(2n+1)(2n) ! } \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{-3}{(2n+2)(2n+1)} \right| \e &= 0. \e-end{aligned} \]

Donc, d'après le test du ratio, cette série converge.

Décide si la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{n!}{4^n} \]

converge ou diverge.

Réponds :

En trouvant \( L \r) pour essayer d'appliquer le test du ratio, tu obtiens

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \à \infty} \gauche| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(n+1)!}{4^{n+1}} }{\frac{n!}{4^n} } \N- \N- &= \N- \Nlimites_{n \Nà \N- } \left| \frac{(n+1)!}{4^{n+1}} \cdot \frac{4^n}{n!} \N- droite| \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{n !(n+1)}{4\cdot n!} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{n+1}{4} \right| \\ &= \infty. \n-{aligned} \]

En d'autres termes, \( L \r) est sans aucun doute plus grand que 1, donc la série diverge.

Essaie d'appliquer le test du ratio à la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}. \N]

Réponse :

Tu sais déjà qu'il s'agit de la série harmonique, qui est une série P avec \( p = 1 \N), et qu'elle diverge donc. Mais si tu essaies d'appliquer le test du ratio,

\N- [\N- \N- \N- \N- \N{aligned}] L &= \limites_{n \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a \a } \a gauche| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \gauche| \frac{\frac{1}{n+1} }{\frac{1}{n} } \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1 } \\ &= 1. \n-{aligned} \]

Puisque \( L = 1 \r) le test du ratio ne peut pas être appliqué pour montrer que cette série diverge.

Essaie d'appliquer le test du ratio à la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \N]

Réponse :

Il s'agit d'une série P avec \( p =2 \N), tu sais donc qu'elle est absolument convergente. Mais le test du ratio peut-il te le confirmer ? En prenant la limite,

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \à \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \gauche| \frac{\frac{1}{(n+1)^2} }{\frac{1}{n^2} } \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n^2}{(n+1)^2 } \\ &= 1. \n-{aligned} \]

Puisque \( L = 1 \) le test des ratios ne peut pas être appliqué pour montrer que cette série est absolument convergente.

Essaie d'appliquer le test du rapport à la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n}. \]

Réponse:

Il s'agit de la série harmonique alternée, tu sais donc qu'elle est conditionnellement convergente. Que peut te dire le test du rapport ? En prenant la limite,

\N- \N[ \N- \N- \N- \N- \N{aligned}} L &= \limites_{n \à \infty} \a gauche| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{n+1} }{\frac{(-1)^n}{n} } \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \frac{n}{n+1 } \\ &= 1. \n-{aligned} \]

Puisque \( L = 1 \r) le test du ratio ne peut pas être appliqué pour montrer que cette série est conditionnellement convergente.

Détermine si la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{n^2+1} \]

est convergente ou divergente.

Réponse :

Trouvons d'abord \( L \N) et voyons si le test du ratio peut te donner un résultat. Prends la limite,

\[ \begin{aligned} L &= \limites_{n \à \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \gauche| \frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(n+1)^2 + 1} }{\frac{(-1)^n}{n^2+1} } \N- \N- &= \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-Limites_{n \Nà \N- \Nfy} \frac{n^2+1}{(n+1)^2 + 1 } \N- &= 1, \Nend{aligned} \]

Donc en fait, le test du ratio ne te dit rien.

Comme il s'agit d'une série alternée, tu peux vérifier que les conditions du test des séries alternées sont remplies. Pour cette série

\[ b_n = \frac{1}{n^2+1}. \]

Note que \( b_n > 0\) donc la première condition du test est remplie. Aussi,

\N[ \Nlimites_{n \Nà \Nfty} b_n = \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{1}{n^2+1} = 0, \N]

et la deuxième condition du test est remplie. En vérifiant la troisième condition, puisque

\N[ (n+1)^2 + 1 > n^2 + 1, \N]

tu sais que

\[ b_n = \frac{1}{n^2+1} < \frac{1}{(n+1)^2+1} = b_{n+1} \]

et la troisième condition est également remplie. Par conséquent, selon le test des séries alternées, la série est convergente.

Détermine si la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{3n+7}{2n-1} \]

est convergente ou divergente.

Réponse:

Si tu essaies d'appliquer le test du ratio en prenant la limite, tu obtiens

\[ \N- \N- \N{aligné} L &= \lim\limites_{n \à \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{\frac{3(n+1) +7}{2(n+1)-1} }{\frac{3n+7}{2n-1} } \N- \N- \N- &= \N- \N- \N-Limites_{n \Nà \N- \Nfy} \frac{(2n-1)(3n+10)}{(2n+1)(3n+7) } \N- &= 1, \Nend{aligned} \]

ce qui signifie que le test du ratio ne peut pas être appliqué.

Si, à la place, tu regardes

\[ \limites_{n \à \infty} \frac{3n+7}{2n-1} = \frac{3}{2}, \]

Le test de divergence du ^nième terme indique que la série diverge.