Test de la racine

Si possible, utilise le test de la racine pour déterminer la convergence ou la divergence de la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \N]

Réponse :

Il s'agit d'une série P avec \( p = 2 \N), donc tu sais déjà qu'elle converge, et en fait elle converge absolument. Mais voyons ce que te donne le test de la racine. Si tu prends la limite,

\N-[ \N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N}}] L &= \limites_{n \à \infty} \a gauche| a_n \a droite|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{1}{n^2} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left( \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \n-{align} \]

Donc en fait, le test de racine n'est pas concluant pour cette série.

Si possible, utilise le test de la racine pour déterminer la convergence ou la divergence de la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \N]

Réponse :

Il s'agit d'une série P avec \( p = 1 \N), ou en d'autres termes la série harmonique, donc tu sais déjà qu'elle diverge. Si tu prends la limite pour essayer d'appliquer le test de la racine,

\N-[ \N- \N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-}] L &= \lim\limites_{n \à \infty} \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{1}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nvaleur} \n- gauche( \frac{1}{n} \n-droit)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \N-END{align} \]

En fait, le test de racine n'est pas concluant pour cette série.

Si possible, détermine la convergence ou la divergence de la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n}. \]

Réponse :

Tu pourrais être tenté d'utiliser le test du ratio pour ce problème au lieu du test de la racine. Mais le \N( n^n \N) dans le dénominateur fait du test de la racine une bien meilleure première tentative pour étudier cette série. Prends la limite,

\[ \begin{align} L &= \lim\limites_{n \à \infty} \a gauche| a_n \a droite|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{5^n}{n^n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \N- Limites_{n \Nà \Nfond} \left( \frac{5^n}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{5}{n} \\ &= 0 . \N-END{align} \]

Puisque \( L <1 \), le test de racine t'indique que cette série est absolument convergente.

Si possible, détermine la convergence ou la divergence de la série

\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{(-6)^n}{n}. \]

Réponse :

Etant donné la puissance de \N( n\N), le test de racine est un bon test à essayer pour cette série. La recherche de \N( L \N) donne :

\[ \begin{align} L &= \limites_{n \à \infty} \left| a_n \leright|^{\frac{1}{n}}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{(-6)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfond} \left( \frac{6^n}{n} \right)^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{6}{n^{\frac{1}{n}}} \\ &= 6 . \Nend{align} \]

Puisque \( L > 1 \) le test de racine te dit que cette série est divergente.