Test de racine en calcul
Si tu as besoin de savoir si une série converge, mais qu'elle contient une puissancea> de \N( n \N), alors le test de la racine est généralement le test à utiliser. Il peut te dire si une série est absolument convergente ou divergente. Ceci est différent de la plupart des tests qui te disent si une série converge ou diverge, mais qui ne disent rien sur la convergence absoluea>.
L'une des limites auxquelles tu devras souvent appliquer le test de la racine est la suivante
\[ \limites_{n \à \infty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1,\]
mais pourquoi est-ce vrai ? Pour montrer que la limite est en fait égale à 1, on utilise le fait que les propriétés des fonctions exponentielles et des logarithmes naturels montrent que
\[ e^{-\frac{\ln n}{n}} = \frac{1}{\sqrt[n]{n}}.\]
Puisque la fonction exponentielle est continue,
\[ \begin{align} \\\N- Limites_{n \Nà \Nfty} e^{-\frac{\ln n}{n}} &= e^{-\Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{\ln n}{n}} \\ &= e^{0} \N- &= 1, \Nend{align} \]
ce qui donne le résultat souhaité.
Test de racine pour les séries
Commençons par énoncer le test de la racine.
Test de racine : Soit
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} a_n \]
soit une série et définissons \N( L \N) par
\[ L = \limites_{n \à \infty} \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}}= \lim\limits_{n \à \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} .\]
Alors les points suivants sont valables :
1. Si \( L < 1 \) alors la série est absolument convergente.
2. Si \( L > 1 \r) alors la série diverge.
3. Si \( L = 1 \) alors le test n'est pas concluant.
Remarque que, contrairement à de nombreux tests de séries, il n'est pas nécessaire que les termes de la série soient positifs. Cependant, il peut être difficile d'appliquer le test de racine à moins qu'il n'y ait une puissance de \( n \N) dans les termes de la série. Dans la section suivante, tu verras que le test de racine n'est pas non plus très utile si la série est conditionnellement convergente.
Test de racine et convergence conditionnelle
Rappelle-toi que si une série converge absolument, c'est qu'elle est en fait convergente. Par conséquent, si le test de racine te dit qu'une série converge absolument, il te dit aussi qu'elle converge. Malheureusement, il ne te dira pas si une série convergente conditionnellement converge réellement.
En fait, le test de racine ne peut souvent pas être utilisé pour les séries convergentes sous condition. Prenons par exemple la série harmonique alternée conditionnellement convergente
\[ \sum\limites_{n \à \infty} \frac{(-1)^n}{n} .\]
Si tu essaies d'appliquer le test de la racine, tu obtiens
\[ \begin{align} L &= \\limites_{n \à \infty} \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{(-1)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \n- gauche( \frac{1}{n} \n-droit)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \N-END{align} \]
En fait, le test de racine ne te dit rien sur la série. Au lieu de cela, pour savoir si la série harmonique alternée converge, tu dois utiliser le test des séries alternées. Pour plus de détails sur ce test, voir Séries alternées.
Règles du test de racine
La règle la plus importante concernant le test de la racine est qu'il ne te dit rien si \( L = 1 \). Dans la section précédente, tu as vu un exemple de série qui converge conditionnellement, mais le test de racine ne pouvait pas te le dire parce que \( L = 1 \N). Voyons maintenant deux autres exemples où le test de racine n'est pas utile parce que \( L = 1 \N).
Si possible, utilise le test de la racine pour déterminer la convergence ou la divergence de la série
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \N]
Réponse :
Il s'agit d'une série P avec \( p = 2 \N), donc tu sais déjà qu'elle converge, et en fait elle converge absolument. Mais voyons ce que te donne le test de la racine. Si tu prends la limite,
\N-[ \N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N}}] L &= \limites_{n \à \infty} \a gauche| a_n \a droite|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{1}{n^2} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left( \frac{1}{n^2} \right)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \n-{align} \]
Donc en fait, le test de racine n'est pas concluant pour cette série.
Si possible, utilise le test de la racine pour déterminer la convergence ou la divergence de la série
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}. \N]
Réponse :
Il s'agit d'une série P avec \( p = 1 \N), ou en d'autres termes la série harmonique, donc tu sais déjà qu'elle diverge. Si tu prends la limite pour essayer d'appliquer le test de la racine,
\N-[ \N- \N-{\N-{\N-{\N-{\N-{\N-}] L &= \lim\limites_{n \à \infty} \left| a_n \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{1}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nvaleur} \n- gauche( \frac{1}{n} \n-droit)^{\frac{1}{n}} \\ &= 1. \N-END{align} \]
En fait, le test de racine n'est pas concluant pour cette série.
Exemples de tests de racine
Voyons quelques exemples où le test de racine est utile.
Si possible, détermine la convergence ou la divergence de la série
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{5^n}{n^n}. \]
Réponse :
Tu pourrais être tenté d'utiliser le test du ratio pour ce problème au lieu du test de la racine. Mais le \N( n^n \N) dans le dénominateur fait du test de la racine une bien meilleure première tentative pour étudier cette série. Prends la limite,
\[ \begin{align} L &= \lim\limites_{n \à \infty} \a gauche| a_n \a droite|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{5^n}{n^n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \N- Limites_{n \Nà \Nfond} \left( \frac{5^n}{n^n} \right)^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{5}{n} \\ &= 0 . \N-END{align} \]
Puisque \( L <1 \), le test de racine t'indique que cette série est absolument convergente.
Si possible, détermine la convergence ou la divergence de la série
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} \frac{(-6)^n}{n}. \]
Réponse :
Etant donné la puissance de \N( n\N), le test de racine est un bon test à essayer pour cette série. La recherche de \N( L \N) donne :
\[ \begin{align} L &= \limites_{n \à \infty} \left| a_n \leright|^{\frac{1}{n}}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{(-6)^n}{n} \right|^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfond} \left( \frac{6^n}{n} \right)^{\frac{1}{n}} \N- &= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{6}{n^{\frac{1}{n}}} \\ &= 6 . \Nend{align} \]
Puisque \( L > 1 \) le test de racine te dit que cette série est divergente.
Test de racine - Principaux enseignements
- \N[ \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \frac{1}{\sqrt[n]{n}} = 1\]
- Test de racine : Soit
\[ \sum\limites_{n=1}^{\infty} a_n \]]
soit une série et définissons \( L \N) par
\[ L = \limites_{n \à \infty} \left| a_n \leright|^{\frac{1}{n}}= \lim\limits_{n \à \infty} \sqrt[n]{\left| a_n \right|} .\]
Alors les points suivants sont valables :
1. Si \( L < 1 \) alors la série est absolument convergente.
2. Si \( L > 1 \r) alors la série diverge.
3. Si \( L = 1 \) alors le test n'est pas concluant.
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