Test de divergence

Tests de divergence des séries

Ici, tu verras un test qui ne sert qu'à déterminer si une série diverge. Considère la série

\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\N]

et appelle les sommes partielles de cette série \(s_n\). Parfois, tu peux regarder la limite de la séquence \({a_n}\) pour savoir si la série diverge. C'est ce qu'on appelle le test de divergence du terme \N(n^{th}\N).

Test de divergence sur le terme \(n^{th}\ ).

Si

\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n\]

n'existe pas, ou si elle existe mais n'est pas égale à zéro, alors la série

\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\]

diverge.

Preuve du test de divergence du terme \(n^{th}\)

Voyons maintenant si le test du terme \(n^{th}\) pour la divergence est vrai. Parfois, en mathématiques, tu dois prouver une affirmation comme "si A est vrai, alors B est vrai", et parfois, il est plus facile de prouver la contrapositive, c'est-à-dire "si B est faux, alors A est faux".

Pour letest de divergence de \(n^{th}\) terme, il est plus facile de démontrer la contrapositive .

Quelle est donc la contrapositive pour le test de divergence du terme \(n^{th}\) ?

L'énoncé B est "la série diverge", et dire que "B est faux" revient à dire "la série converge".

L'affirmation A est "la limite de la suite soit n'existe pas, soit existe et n'est pas nulle", et "A est faux" revient à dire "la limite de la suite est nulle". Cela signifie que nous allons examiner la preuve de :

Si \(\sum\limites_{n=1}^{\infty}a_n\) converge alors

\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0.\]

Pour ce faire, tu devras examiner les sommes partielles de la série. La séquence des sommes partielles est définie par \[s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.\N].

Le terme précédent de la séquence de sommes partielles serait \N[s_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}a_k\N].

En les soustrayant, on obtient

\[\begin{align} s_{n}-s_{n-1}&=\sum_{k=1}^{n} a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\\&=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1})\\&=a_{n}.\end{align}\]

Tu sais déjà que la série converge, ce qui implique que la séquence des sommes partielles converge également, ou en d'autres termes

\[\lim\limits_{n\to\infty}s_n=L\]

pour un nombre réel \(L\). Prenons maintenant la limite de la soustraction des sommes partielles,

\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}[s_n-s_{n-1}]&=\lim\limits_{n\to \infty}s_n-\lim\limits_{n\to\infty}s_{n-1}\\&=L-L\\&=0.\end{align}\]

Mais tu sais aussi que

\[\lim\limits_{n\to\infty}[s_{n}-s_{n-1}]=\lim\limits_{n\to\infty} a_n,\]

ce qui signifie que

\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.\]

Exemples d'utilisation du test de divergence du \(n^{th}\) terme

Voyons quelques exemples d'utilisation correcte du test du terme \(n^{th}\) pour la divergence.

Voyons un autre exemple.

Test de divergence intégrale

Comme nous l'avons déjà mentionné, le test de l'intégrale comporte une partie qui parle de la divergence. Donc pour plus d'informations sur la divergence lors de l'utilisation du test intégral, voir Test intégral.