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Parfois, prouver qu'une série diverge peut être un véritable défi ! Le test de divergence, également appelé test de divergence du terme \(n^{th}\), est un test simple que tu peux faire pour voir immédiatement si une série diverge. Cela peut te faire gagner un temps considérable à long terme.
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Équipe enseignants Test de divergence
De nombreux tests utilisés pour les séries comporteront une partie qui parle également de la divergence.
Par exemple, le test de comparaison directe et le test de comparaison des limites ont tous deux une partie qui parle de convergence et une autre qui parle de divergence. Il en va de même pour le test intégral, le test du rapport et le test de la racine. Certaines séries, comme la série P, la série géométrique et la série arithmétique, ont des conditions connues de divergence et de convergence. Ainsi, lorsque tu cherches des tests de divergence, n'oublie pas de regarder également les tests de convergence.
Ici, tu verras un test qui ne sert qu'à déterminer si une série diverge. Considère la série
\[\sum_{n=1}^{\infty} a_n,\N]
et appelle les sommes partielles de cette série \(s_n\). Parfois, tu peux regarder la limite de la séquence \({a_n}\) pour savoir si la série diverge. C'est ce qu'on appelle le test de divergence du terme \N(n^{th}\N).
Test de divergence sur le terme \(n^{th}\ ).
Si
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n\]
n'existe pas, ou si elle existe mais n'est pas égale à zéro, alors la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}a_n\]
diverge.
Quelle est la mauvaise façon d'utiliser le test ?
L'erreur la plus fréquente des gens est de dire que si la limite de la suite est zéro, alors la série converge. Prenons un exemple pour montrer pourquoi ce n'est pas vrai.
Peux-tu utiliser le test de divergence du terme \N(n^{th}\N) pour dire que si
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0\]
la série converge ?
Solution
Prenons deux exemples.
Voyons d'abord la série harmonique
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}.\]
Pour cette série, nous avons
\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{1}{n}=0,\]
mais tu sais que la série diverge.
Regarde ensuite la série P avec \(p=2\),
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n^2}.\]
Si tu regardes la limite de la suite des termes de cette série, tu obtiens ,
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}a_n&=\lim\limits_{n\to \infty}\frac{1}{n^2}\\ &=0\end{align}\]
mais cette série converge.
En fait, si la limite est zéro, la série peut converger ou diverger, tu ne peux pas le savoir.
Voyons maintenant si le test du terme \(n^{th}\) pour la divergence est vrai. Parfois, en mathématiques, tu dois prouver une affirmation comme "si A est vrai, alors B est vrai", et parfois, il est plus facile de prouver la contrapositive, c'est-à-dire "si B est faux, alors A est faux".
Pour letest de divergence de \(n^{th}\) terme, il est plus facile de démontrer la contrapositive .
Quelle est donc la contrapositive pour le test de divergence du terme \(n^{th}\) ?
L'énoncé B est "la série diverge", et dire que "B est faux" revient à dire "la série converge".
L'affirmation A est "la limite de la suite soit n'existe pas, soit existe et n'est pas nulle", et "A est faux" revient à dire "la limite de la suite est nulle". Cela signifie que nous allons examiner la preuve de :
Si \(\sum\limites_{n=1}^{\infty}a_n\) converge alors
\[\lim\limits_{n\to \infty}a_n=0.\]
Pour ce faire, tu devras examiner les sommes partielles de la série. La séquence des sommes partielles est définie par \[s_n=\sum_{k=1}^{n}a_k.\N].
Le terme précédent de la séquence de sommes partielles serait \N[s_{n-1}=\sum_{k=1}^{n-1}a_k\N].
En les soustrayant, on obtient
\[\begin{align} s_{n}-s_{n-1}&=\sum_{k=1}^{n} a_{k}-\sum_{k=1}^{n-1}a_{k}\\&=(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1}+a_{n})-(a_{1}+a_{2}+\cdots+a_{n-1})\\&=a_{n}.\end{align}\]
Tu sais déjà que la série converge, ce qui implique que la séquence des sommes partielles converge également, ou en d'autres termes
\[\lim\limits_{n\to\infty}s_n=L\]
pour un nombre réel \(L\). Prenons maintenant la limite de la soustraction des sommes partielles,
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}[s_n-s_{n-1}]&=\lim\limits_{n\to \infty}s_n-\lim\limits_{n\to\infty}s_{n-1}\\&=L-L\\&=0.\end{align}\]
Mais tu sais aussi que
\[\lim\limits_{n\to\infty}[s_{n}-s_{n-1}]=\lim\limits_{n\to\infty} a_n,\]
ce qui signifie que
\[\lim\limits_{n\to\infty}a_n=0.\]
Voyons quelques exemples d'utilisation correcte du test du terme \(n^{th}\) pour la divergence.
Que peux-tu dire de la convergence ou de la divergence de la série
\[\sum_{n=1}^{\infty}\frac{2n+3}{7n-1}\]
en utilisant letest de divergence du\(n^{th}\) terme?
Solution
Pour cette série, \[a_{n}=\frac{2n+3}{7n-1},\]
et
\[\begin{align}\lim\limits_{n\to\infty}a_n &=\lim\limits_{n\to\infty}\frac{2n+3}{7n-1} \\ &=\frac{2}{7}.\end{align}\]
La suite converge donc, mais la limite n'est pas nulle. En vertu dutest de divergence du \ (n^{th}\) terme, la série diverge.
Voyons un autre exemple.
Que peux-tu dire de la convergence ou de la divergence de la série \[\sum_{n=1}^{\infty}(-1)^n,\N] ?
en utilisant letest de divergence de\(n^{th}\) terme?
Solution
Pour cette série, \(a_{n}=(-1)^n\), et la limite de cette suite n'existe pas. Donc par \(n^{th}\) term test for divergence, la série diverge.
Comme nous l'avons déjà mentionné, le test de l'intégrale comporte une partie qui parle de la divergence. Donc pour plus d'informations sur la divergence lors de l'utilisation du test intégral, voir Test intégral.
Si \[\sum\limits_{n=1}^{\infty}a_{n}\] converge alors \\\\\Nlimits_{n\Nà\infty}a_n=0.\N]
\(n^{th}\) test de divergence : Si \[\\Nlimites_{n\Nà\nfty}a_{n}\N]
n'existe pas, ou si elle existe mais n'est pas égale à zéro, alors la série \[\sum_{n=1}^{\infty} a_n\] diverge.
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Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
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Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
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