Taux reliés

Une échelle de 10 pieds de haut est appuyée contre un mur. La base de l'échelle commence à s'éloigner du mur à une vitesse de \(2ft/s). Alors que la base de l'échelle s'éloigne du mur, le haut de l'échelle glisse verticalement le long du mur. Lorsque la base de l'échelle est à \(9ft\) du mur, quelle est la vitesse à laquelle le haut de l'échelle glisse le long du mur ?

Étape 1 : Dessine un diagramme

Dessiner un diagramme du problème nous aidera à mieux comprendre nos valeurs connues et inconnues.

Fig. 2. À partir du taux de changement horizontal, nous devons trouver le taux de changement vertical.

Étape 2 : Identifier les quantités connues et inconnues

Avant de pouvoir faire du calcul, nous devons bien comprendre le problème. Nous savons qu'une échelle de \(10 pieds) glisse horizontalement d'un mur à une vitesse de \(2 pieds/s). Le problème consiste à savoir à quelle vitesse le haut de l'échelle se déplace lorsque la base de l'échelle se trouve à \(9ft\) du mur.

En utilisant le diagramme de l'étape 1, nous pouvons organiser les quantités variables connues et inconnues :

\N- [\Ndfrac{dy}{dt}=?\N]

\N-[y(t)=?\N]

\N-[x(t)=9\N]

\N- [\Ndfrac{dx}{dt}=2\N]

\[z=10\]

\Dans ce problème, \N(x) et \N(y) sont des fonctions du temps, elles sont donc écrites \N(x(t)\N et \N(y(t)\N). Cependant, la longueur de l'échelle, \N(z\N), ne change pas avec le temps, elle n'est donc pas écrite avec la notation de fonction.

Étape 3 : Utiliser des équations pour relier les informations du problème

D'après les informations dont nous disposons et celles dont nous avons besoin, il devrait être évident que le théorème de Pythagore sera utile dans ce problème.

En regardant à nouveau le diagramme, tu remarqueras que l'échelle et les deux murs forment un triangle rectangle. C'est un scénario parfait pour utiliser le théorème de Pythagore !

Rappelle-toi que si l'échelle se déplace horizontalement et verticalement, l'hypoténuse du triangle (longueur de l'échelle) ne change pas.

\N[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\N]

\N-(x(t))^2+ (y(t))^2=10^2\N)

\N-[(x(t))^2+ (y(t))^2=100\N]

Remarque que l'on nous donne la dérivée de \(x\) par rapport au temps,

\N- [\Ndfrac{dx}{dt}\N].

On nous demande également de trouver la vitesse à laquelle l'échelle se déplace verticalement,

\[\dfrac{dy}{dt}\]

Comment pouvons-nous faire une équation avec ces variables ? Différenciation implicite !

Étape 4 : Résoudre à l'aide de la différenciation implicite

Maintenant que nous avons une équation, utilisons la différenciation implicite pour obtenir l'équation en termes de deux taux de changement. Nous prendrons la dérivée par rapport au temps.

\[\dfrac{d}{dt}[(x(t))^2+(y(t))^2]=\dfrac{d}{dt} 100\]

\[2(x(t))\dfrac{dx}{dt}+2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]

Étape 5 : Substituer les valeurs connues

Encore une fois, nous voulons trouver la vitesse à laquelle l'échelle glisse verticalement le long du mur :

\[\dfrac{dy}{dt}\]

Nous savons que \(x=9\) ft et que

\[\dfrac{dx}{dt}=2ft/s\]

En introduisant nos valeurs connues, nous obtenons

\[2 \cdot 9 \cdot 2 + 2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]

Pour résoudre \(\dfrac{dy}{dt}\), nous avons encore besoin de la valeur de \(y\) lorsque \(x=9\). Nous pouvons utiliser l'équation du théorème de Pythagore que nous avons établie plus tôt pour trouver \N(y\N), en soustrayant \N(x(t)=9\N).

\N[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\N]

\N- [9^2+ (y(t))^2=10^2\N]

\N- (y(t))^2=19\N]

\N- (y(t))=\sqrt{19}\N- (y(t))^2=19\N]

En introduisant \(y(t)\) et en résolvant pour \(\dfrac{dy}{dt}\).

\[36+2(\sqrt{19})\dfrac{dy}{dt}=0\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{36}{2 \sqrt{19}}\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{18}{\sqrt{19}}\]

\[\dfrac{dy}{dt}=-4.129ft/s\]

Considère un ballon parfaitement sphérique rempli d'air. Le ballon se dilate à une vitesse de \(3cm^2/s\). Lorsque le rayon du ballon est de \(4cm\), à quelle vitesse le rayon augmente-t-il ?

Étape 1 : Dessine un diagramme

Fig. 3. À partir du taux de variation du volume, nous devons trouver le taux de variation du rayon.

D'après notre diagramme, il nous manque le taux de variation du rayon. Cependant, nous avons le taux de variation du volume.

Étape 2 : Identifier les quantités connues et inconnues

Nous savons que le volume d'un ballon sphérique augmente à un taux de \(3cm^2/s\). Nous voulons connaître le taux de variation du rayon lorsque le ballon a un rayon de \(4cm\). En organisant les variables, nous avons

\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]

\N-[r(t)=4cm\N]

\N- \N- \N- \N- \N- \N[\N- \Ndfrac{dr}{dt}=?\N]

Étape 3 : Utiliser des équations pour relier les informations du problème

D'après les informations dont nous avons besoin et la forme du ballon, l'équation du volume d'une sphère sera utile dans ce problème.

\[V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3\]

Étape 4 : Résoudre à l'aide de la différenciation implicite

Maintenant que nous avons une équation, utilisons la différenciation implicite pour obtenir l'équation en termes de deux taux de changement. Nous prendrons la dérivée par rapport au temps.

\[\dfrac{d}{dt}[V]=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3 \right)\]

\[\dfrac{dV}{dt}=4 \cdot \pi \cdot r^2 \dfrac{dr}{dt}\]

Étape 5 : Substituer les valeurs connues

Nous voulons trouver le taux de variation du rayon :

\[\dfrac{dr}{dt}\]

Nous savons que \(r=4cm\) et :

\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]

En introduisant nos valeurs connues, nous obtenons

\[3=4\pi \cdot 4^2 \dfrac{dr}{dt}\]

\[\dfrac{dr}{dt} \approx 0.01492 cm/s \]

\[\dfrac{dr}{dt} \approx 0.015 cm/s \]

Le signe positif dans notre réponse signifie que le rayon s'agrandit dans le sens positif.

Par conséquent, le rayon se dilate à une vitesse d'environ \(0,015cm/s\). Il est clair que le rayon croît à un rythme très lent. Toutefois, cela est logique si l'on considère que le volume croît également à un rythme relativement lent.