Trouver des contenus d'apprentissage
Fonctionnalités
Découvrir
Imagine que tu jettes une pierre dans une étendue d'eau. Si l'eau est suffisamment calme, dès que la pierre touche l'eau, une série d'ondulations commence à se former autour de l'endroit où la pierre est entrée. Les ondulations continuent de s'étendre vers l'extérieur alors que la pierre empeste le fond de l'eau. À mesure que les ondulations se développent, le rayon de l'onde circulaire augmente. Par conséquent, la zone délimitée par l'ondulation s'agrandit également.
Des millions de fiches spécialement conçues pour étudier facilement
Inscris-toi gratuitement
Achieve better grades quicker with Premium
Geld-zurück-Garantie, wenn du durch die Prüfung fällst
Review generated flashcards
Commence à apprendre ou crée tes propres flashcards d'IA
Équipe enseignants Taux reliés
En formulant le problème comme un taux connexe, nous pourrions mesurer la vitesse à laquelle la surface entourée augmente en fonction du taux de changement du rayon. Les problèmes de taux connexes sont l'un des problèmes les plus difficiles à conceptualiser pour les étudiants en calcula>. Cependant, cet article définit plus en détail les taux connexes, la façon dont ils peuvent être appliqués en calcul et une méthodologie étape par étape pour les résoudre.
En gardant à l'esprit l'exemple de la chute d'une pierre dans l'eau, définissons le terme taux connexes de façon plus technique.
Les problèmes detaux liés impliquent généralement de trouver le taux auquel une variable change en reliant la variable à une ou plusieurs variables dont les taux sont connus.
Dans notre exemple de la pierre dans une étendue d'eau calme, à mesure que les ondulations s'étendent, le rayon et la surface délimitée par la vague changent. Il est important de noter que la vitesse à laquelle le rayon change est probablement différente de celle de la surface. Si l'on nous donne l'un des taux de changement, nous pouvons résoudre l'autre taux de changement. Nous pouvons le faire parce que la formule de l'aire d'un cercle (A=\pi r^2\) est liée au rayon (r\) du cercle.
La résolution des problèmes de taux connexes fait appel à des compétences de calcul telles que la différenciation implicite et la règle de l'enchaînement. Par conséquent, n'oublie pas de lire nos articles avant de te plonger dans les problèmes de taux apparentés ! Apprendre à résoudre ces problèmes t'aidera à renforcer tes connaissances en calcul. La résolution des problèmes de taux de variation connexes a également de nombreuses applications dans les domaines de la finance, de la physique, des voyages et des transports. La formulation des problèmes en termes de taux connexes nous permet d'écrire un taux de changement en termes d'un autre taux de changement (généralement plus facile à calculer).
Dans le calcul de base, les problèmes de taux apparentés se classent généralement dans l'une des deux catégories suivantes :
Volume ou surface
Trigonométrie
Tu auras probablement besoin de réviser les formules de volume/surface et de géométrie que tu as apprises il y a des années. Voici quelques formules qui pourraient t'être utiles au cours de ton travail sur les taux connexes.
Utilise le diagramme ci-dessous pour te référer aux symboles.
Fig. 1. Les relations entre les triangles SOH-CAH-TOA t'aident à résoudre certains problèmes de taux.
\[\sin(\theta)=\dfrac{opposite}{hypotenuse}=\dfrac{b}{c}\]
\[\cos(\theta)=\dfrac{adjacent}{hypotenuse}=\dfrac{a}{c}\]
\[\tan(\theta)=\dfrac{opposite}{adjacent}=\dfrac{b}{a}\]
Bien que chaque problème de taux liés soit différent, tu trouveras ci-dessous une méthodologie générale pour résoudre les problèmes de taux de changement liés.
Avant toute chose, dessine un diagramme comprenant ce que tu sais et les étiquettes des éléments que tu dois trouver.
Relis le problème pour mieux comprendre les informations qu'il fournit et ce qu'il demande. Tu peux utiliser les informations importantes pour étiqueter ton diagramme.
L'une des parties les plus difficiles de la résolution des problèmes de taux liés est de trouver et de modéliser la relation entre les informations que tu connais et celles que tu cherches. Pour relier les deux taux de changement l'un à l'autre, pense à une équation qui implique les deux variables.
Maintenant que tu as une équation, tu dois effectuer une différenciation implicite des deux côtés de l'équation. Tu devrais avoir une équation en termes de deux taux de changement différents.
Enfin, tu peux substituer toutes les informations fournies par le problème. Tu devrais pouvoir résoudre l'un des taux de changement.
Une fois que tu as résolu un problème de taux liés, tu dois toujours essayer d'interpréter la signification du taux pour t'assurer que ta réponse a un sens dans le contexte du problème. Tu dois vérifier à la fois le signe et l'ampleur de ta réponse.
Dans les problèmes de taux liés de l'AP Calculus, tu devras probablement prendre la dérivée par rapport au temps lorsque tu utiliseras la différenciation implicite.
Jetons un coup d'œil à des problèmes typiques de taux liés. Le premier exemple concerne une échelle appuyée contre un mur.
Une échelle de 10 pieds de haut est appuyée contre un mur. La base de l'échelle commence à s'éloigner du mur à une vitesse de \(2ft/s). Alors que la base de l'échelle s'éloigne du mur, le haut de l'échelle glisse verticalement le long du mur. Lorsque la base de l'échelle est à \(9ft\) du mur, quelle est la vitesse à laquelle le haut de l'échelle glisse le long du mur ?
Dessiner un diagramme du problème nous aidera à mieux comprendre nos valeurs connues et inconnues.
Fig. 2. À partir du taux de changement horizontal, nous devons trouver le taux de changement vertical.
Avant de pouvoir faire du calcul, nous devons bien comprendre le problème. Nous savons qu'une échelle de \(10 pieds) glisse horizontalement d'un mur à une vitesse de \(2 pieds/s). Le problème consiste à savoir à quelle vitesse le haut de l'échelle se déplace lorsque la base de l'échelle se trouve à \(9ft\) du mur.
En utilisant le diagramme de l'étape 1, nous pouvons organiser les quantités variables connues et inconnues :
\N- [\Ndfrac{dy}{dt}=?\N]
\N-[y(t)=?\N]
\N-[x(t)=9\N]
\N- [\Ndfrac{dx}{dt}=2\N]
\[z=10\]
\Dans ce problème, \N(x) et \N(y) sont des fonctions du temps, elles sont donc écrites \N(x(t)\N et \N(y(t)\N). Cependant, la longueur de l'échelle, \N(z\N), ne change pas avec le temps, elle n'est donc pas écrite avec la notation de fonction.
D'après les informations dont nous disposons et celles dont nous avons besoin, il devrait être évident que le théorème de Pythagore sera utile dans ce problème.
En regardant à nouveau le diagramme, tu remarqueras que l'échelle et les deux murs forment un triangle rectangle. C'est un scénario parfait pour utiliser le théorème de Pythagore !
Rappelle-toi que si l'échelle se déplace horizontalement et verticalement, l'hypoténuse du triangle (longueur de l'échelle) ne change pas.
\N[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\N]
\N-(x(t))^2+ (y(t))^2=10^2\N)
\N-[(x(t))^2+ (y(t))^2=100\N]
Remarque que l'on nous donne la dérivée de \(x\) par rapport au temps,
\N- [\Ndfrac{dx}{dt}\N].
On nous demande également de trouver la vitesse à laquelle l'échelle se déplace verticalement,
\[\dfrac{dy}{dt}\]
Comment pouvons-nous faire une équation avec ces variables ? Différenciation implicite !
Maintenant que nous avons une équation, utilisons la différenciation implicite pour obtenir l'équation en termes de deux taux de changement. Nous prendrons la dérivée par rapport au temps.
\[\dfrac{d}{dt}[(x(t))^2+(y(t))^2]=\dfrac{d}{dt} 100\]
\[2(x(t))\dfrac{dx}{dt}+2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]
Encore une fois, nous voulons trouver la vitesse à laquelle l'échelle glisse verticalement le long du mur :
\[\dfrac{dy}{dt}\]
Nous savons que \(x=9\) ft et que
\[\dfrac{dx}{dt}=2ft/s\]
En introduisant nos valeurs connues, nous obtenons
\[2 \cdot 9 \cdot 2 + 2(y(t))\dfrac{dy}{dt}=0\]
Pour résoudre \(\dfrac{dy}{dt}\), nous avons encore besoin de la valeur de \(y\) lorsque \(x=9\). Nous pouvons utiliser l'équation du théorème de Pythagore que nous avons établie plus tôt pour trouver \N(y\N), en soustrayant \N(x(t)=9\N).
\N[(x(t))^2+ (y(t))^2=z^2\N]
\N- [9^2+ (y(t))^2=10^2\N]
\N- (y(t))^2=19\N]
\N- (y(t))=\sqrt{19}\N- (y(t))^2=19\N]
En introduisant \(y(t)\) et en résolvant pour \(\dfrac{dy}{dt}\).
\[36+2(\sqrt{19})\dfrac{dy}{dt}=0\]
\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{36}{2 \sqrt{19}}\]
\[\dfrac{dy}{dt}=-\dfrac{18}{\sqrt{19}}\]
\[\dfrac{dy}{dt}=-4.129ft/s\]
Le signe négatif dans notre réponse signifie que l'échelle se déplace dans la direction négative (vers le bas).Par conséquent, l'échelle glisse le long du mur à une vitesse de \(4,129ft/s\) lorsque l'échelle de base se trouve à \(9ft\) du mur. Si l'on considère que l'échelle se déplace à une vitesse horizontale de \(2ft/s\), l'ampleur de notre réponse est également logique !Considère un ballon parfaitement sphérique rempli d'air. Le ballon se dilate à une vitesse de \(3cm^2/s\). Lorsque le rayon du ballon est de \(4cm\), à quelle vitesse le rayon augmente-t-il ?
Fig. 3. À partir du taux de variation du volume, nous devons trouver le taux de variation du rayon.
D'après notre diagramme, il nous manque le taux de variation du rayon. Cependant, nous avons le taux de variation du volume.
Nous savons que le volume d'un ballon sphérique augmente à un taux de \(3cm^2/s\). Nous voulons connaître le taux de variation du rayon lorsque le ballon a un rayon de \(4cm\). En organisant les variables, nous avons
\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]
\N-[r(t)=4cm\N]
\N- \N- \N- \N- \N- \N[\N- \Ndfrac{dr}{dt}=?\N]
D'après les informations dont nous avons besoin et la forme du ballon, l'équation du volume d'une sphère sera utile dans ce problème.
\[V=\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3\]
Maintenant que nous avons une équation, utilisons la différenciation implicite pour obtenir l'équation en termes de deux taux de changement. Nous prendrons la dérivée par rapport au temps.
\[\dfrac{d}{dt}[V]=\dfrac{d}{dt}\left(\dfrac{4}{3} \pi \cdot r^3 \right)\]
\[\dfrac{dV}{dt}=4 \cdot \pi \cdot r^2 \dfrac{dr}{dt}\]
Nous voulons trouver le taux de variation du rayon :
\[\dfrac{dr}{dt}\]
Nous savons que \(r=4cm\) et :
\[\dfrac{dV}{dt}=3cm^3/s\]
En introduisant nos valeurs connues, nous obtenons
\[3=4\pi \cdot 4^2 \dfrac{dr}{dt}\]
\[\dfrac{dr}{dt} \approx 0.01492 cm/s \]
\[\dfrac{dr}{dt} \approx 0.015 cm/s \]
Le signe positif dans notre réponse signifie que le rayon s'agrandit dans le sens positif.
Par conséquent, le rayon se dilate à une vitesse d'environ \(0,015cm/s\). Il est clair que le rayon croît à un rythme très lent. Toutefois, cela est logique si l'on considère que le volume croît également à un rythme relativement lent.
Inscris-toi gratuitement pour accéder à toutes nos fiches.
At StudySmarter, we have created a learning platform that serves millions of students. Meet the people who work hard to deliver fact based content as well as making sure it is verified.
Lily Hulatt is a Digital Content Specialist with over three years of experience in content strategy and curriculum design. She gained her PhD in English Literature from Durham University in 2022, taught in Durham University’s English Studies Department, and has contributed to a number of publications. Lily specialises in English Literature, English Language, History, and Philosophy.
Get to know Lily
Gabriel Freitas is an AI Engineer with a solid experience in software development, machine learning algorithms, and generative AI, including large language models’ (LLMs) applications. Graduated in Electrical Engineering at the University of São Paulo, he is currently pursuing an MSc in Computer Engineering at the University of Campinas, specializing in machine learning topics. Gabriel has a strong background in software engineering and has worked on projects involving computer vision, embedded AI, and LLM applications.
Get to know Gabriel
Resumes 
Flashcards 
StudySmarter IA 
Notes de cours 
Planning de révision 
Dossiers 
Examens 
Magazine 
Faire carrière 
App mobile