Nous pouvons mesurer la vitesse à laquelle tu grandis et prends du poids en fonction du temps ! Mais comment la vitesse à laquelle ta taille change se compare-t-elle à la vitesse à laquelle tu prends du poids ? Le calcula> et la règle de L'Hôpital nous permettent de comparer le taux de croissance des fonctionsa>. La comparaison des taux de croissance des fonctionsa> est utile dans divers domaines, notamment le développement de la croissance des enfants, l'évaluation et la prévision des performances d'une entreprise et l'étude de la croissance de la population.
Signification du taux de croissance des fonctions
Le calcul est une affaire de changement. L'un des principaux objets étudiés en calcul sont les fonctions, qui sont des objets mathématiques mettant en relation deux ou plusieurs quantités. Il est particulièrement intéressant de savoir comment les fonctions changent en fonction des variables utilisées pour les définir. C'est ici que l'on définit le taux de croissance d'une fonction.
Le taux de croissance d'une fonction est une mesure de l'ampleur du changement d'une fonction lorsque sa variable indépendante augmente.
Dans ce contexte, le taux de croissance d'une fonction seule est équivalent à son taux de changement. Cependant, le taux de croissance des fonctions est généralement utilisé dans le contexte de la comparaison de la croissance de deux fonctions. Continue à lire cet article pour en savoir plus sur ce sujet !
Pour rester sur le sujet du taux de croissance (ou taux de variation) d'une fonction, prenons par exemple la fonction
\N- f(x) = 2x.\N- f(x) = 2x.\N]
Si tu introduis \N( 3\N) dans la fonction ci-dessus, tu obtiendras
\[ \begin{align} f(3) &= 2(3) \\ &= 6, \end{align}\]
Ensuite, si tu introduis \N 4 \N dans la fonction, tu obtiendras
\[ \N- f(4) &= 2(4) \N &= 8. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].
En augmentant la valeur de \N(x) de \N(3) à \N(4), la fonction \N(f(x)) est passée de \N(6) à \N(8).
Considère maintenant
\N- g(x) = x+8.\N]
En introduisant \N 3 \N tu obtiens
\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
et si tu utilises \N( 4 \N) tu obtiendras
\[ \begin{align} g(4) &= (4)+8 \\ &= 12. \end{align}\]
Cette fois-ci, en augmentant la valeur de \N(x \N), la fonction \N( g(x) \N) est passée de \N( 11 \N) à \N(12 \N). Bien que tu aies obtenu des valeurs plus élevées en utilisant \Ng(x) \N, le taux de croissance de \Nf(x) \Nest plus important parce que les valeurs de la fonction ont changé davantage.
Pour trouver le taux de croissance d'une fonction, tu peux utiliser la formule suivante
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]
Considère la fonction
\[ f(x) = 3x-5.\]
Trouve son taux de croissance dans l'intervalle allant de \(x=3\) à \(x=10\).
Solution :
Tu peux trouver le taux de croissance \( G\) de la fonction donnée dans l'intervalle demandé en utilisant la formule suivante
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.\]
Ici, \N(x_2=10) et \N(x_1=3), commence donc par trouver \N( f(x_2)\N) et \N( f(x_1)\N), c'est-à-dire
\N- \N[ \N- \N{align} f(x_2) &= f(10) \N- \N- &= 3(10)-5 \N- &= 25 \N-{align} \N-]
et
\[ \begin{align} f(x_1) &= f(3) \\ &= 3(3)-5 \\ &= 4. \N- [\N-]
Maintenant, tu peux utiliser la formule, donc
\[ \begin{align} G &= \frac{ f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1} \N- &= \Nfrac{25-4}{10-3} \N- &= \frac{21}{7} \\ &= 3. \N- [Fin{align}\N]
Ainsi, le taux de croissance de la fonction sur l'intervalle donné est égal à \(3\).
Dans l'exemple ci-dessus, tu as étudié des fonctions linéaires, qui se caractérisent par le fait qu'elles ont un taux de variation constant. Ce n'est pas toujours le cas.
Considère la fonction
\N- f(x)= x^2.\N- f(x)= x^2.
Si tu veux savoir de combien la fonction change de \N(x=1\N) à \N(x=2\N), tu devras trouver
\N- \N- \N[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
et
\[ \begin{align} f(2) &= (2)^2 \\&=4.\end{align}\]
Cela signifie que la fonction a augmenté de 3 unités dans l'intervalle de 1 à 2. Cependant, si tu devais calculer la variation de la fonction entre \N( x=2 \N) et \N(x=3 \N), tu trouverais que
\N[ \N- f(3) &= (3)^2 \N- &=9, \Nend{align}\N]
ce qui signifie maintenant que la fonction a augmenté de 5 unités dans l'intervalle de 2 à 3.
Dans le contexte du calcul, plutôt que de trouver le taux de croissance d'une fonction sur un intervalle, tu devras trouver le taux de croissance instantané de la fonction en un certain point. Cela peut se faire en trouvant la dérivée de la fonction.
Soit \N( f(x) \N) une fonction différentiable. Sa dérivée \N( f'(x) \N) est une fonction qui décrit le taux de croissance de \N( f(x) \N).
Habituellement, le mot instant est omis, on suppose donc qu'un taux de croissance fait référence à un taux de croissance instantané ou à un taux de changement instantané.
Considère la fonction
\N- g(x)=x^3+2x^2-1.\N- g(x)=x^3+2x^2-1.
Trouve une fonction qui décrit son taux de croissance.
Solution :
Puisque la dérivée d'une fonction est une fonction qui décrit son taux de croissance, tu dois trouver la dérivée de \( g(x)\). Tu peux y parvenir en utilisant la règle de la puissance, c'est-à-dire
\[ \N- g'(x) &= 3x^2+2(2)x \N- 3x^2+4x. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Cela signifie que la fonction
\N[ g'(x) = 3x^2+4x \N]
décrit le taux de croissance de la fonction
\[ g(x) = x^3 +2x^2.\]
C'est simple, non ?
Il est également possible d'avoir un taux de croissance négatif . Cela se produit lorsque la valeur de la fonction diminue à mesure que sa variable indépendante augmente.
Figure 1. Graphique d'une fonction linéaire avec un taux de croissance négatif
Dans le graphique ci-dessus, tu peux noter que les valeurs de \(f(x)\) diminuent à mesure que \( x \) augmente.
Taux de croissance des fonctions à partir d'un tableau
On te demandera parfois de trouver le taux de croissance d'une fonction à partir d'un tableau. Considère le tableau suivant.
| \[ x \] | \N- [f(x)\N] |
| \[ 0 \] | \[ 1 \] |
| \[ 1 \] | \[ 2 \] |
| \[ 2\] | \[ 5\] |
| \[ 3\] | \[ 10\] |
| \[4\] | \[ 17\] |
Supposons qu'on te demande de trouver le taux de croissance de la fonction dans l'intervalle allant de \(x=2\) à \(x=4\). Tu devras utiliser la formule du taux de croissance
\[ G = \frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}\]
avec les valeurs du tableau. Dans ce cas, \( x_2=4\) et \(x_1=2\), donc
\N- [\N- Début{align} G &= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} \\N- &= \frac{17-5}{4-2} \N- &= \frac{12}{2} \\ &= 6. \N- [end{align}\N]
L'inconvénient de l'utilisation d'un tableau pour trouver le taux de croissance d'une fonction est que la tâche de trouver le taux de croissance instantané devient plus difficile. Comme tu ne disposes pas d'une expression de la fonction, tu ne peux pas trouver sa dérivée de manière standard.
Heureusement, chaque fois que l'on te demande de trouver le taux de croissance d'une fonction à l'aide d'un tableau, on te demande généralement de le faire dans un intervalle donné.
Comparaison des taux de croissance des fonctions
Comme nous l'avons mentionné précédemment dans cet article, parler du taux de croissance des fonctions fait généralement référence à la comparaison entre deux fonctions. En d'autres termes, il s'agit de savoir laquelle des deux fonctions croît le plus vite, et cela se fait généralement dans le contexte de fonctions dont le domaine s'étend à l'infini.
La définition suivante te permet de comparer le taux de croissance de deux fonctions comme \(x \rightarrow \infty\). Pour deux fonctions croissantes \(f(x)\) et \(g(x)\) :
\N(f(x)\Ncroît plus vite que \N(g(x)\N)à mesure que \N(x \Nflèche droite \Nflèche gauche) si
\N- [\Nlim_{x \Nà \Ninfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=\Ninfty.\N]
\(f(x)\) grows slower than \(g(x)\) as \(x \rightarrow \infty\) if\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0.\]
\N(f(x)\Net \N(g(x)\Nprogressent au même rythme que \N(x) si\N[\Nlim_{x \Nà \Nfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=L, \Nquad \Ntext{où} \Nquad L\Nneq0.\N].
Les noms que tu utilises pour les fonctions n'ont pas d'importance. Ce qui compte, c'est que tu identifies la fonction qui se trouve au numérateur (en haut) et celle qui se trouve au dénominateur (en bas). Si la limite va jusqu'à \(\pm\infty\), alors la fonction du haut croît plus vite. Si la limite va jusqu'à \(0\), alors la fonction en bas croît plus vite.
En général, tu devras utiliser la règle de L'Hôpital pour calculer ces limites, car elles conduisent souvent à des formes indéterminées. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur ce sujet, consulte notre article sur la règle de L'Hôpital.
Afin de comparer le taux de croissance des deux fonctions, tu devras évaluer la limite
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\]
et vérifier dans quel cas elle se situe. Si la limite obtenue a une forme indéterminée, tu dois utiliser la règle de L'Hôpital autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que tu puisses déterminer la limite.
Considère les fonctions
\[ f(x) = x^3\]
et
\N- g(x) = 100x^2.\N]
Quelle est la fonction qui croît le plus rapidement lorsque \(x \n-rightarrow \nfty\) ?
Solution :
Tu pourrais être tenté de supposer que, puisque la fonction \( g(x) \) a un coefficient de \(100\), elle croît plus rapidement. Plutôt que de faire cela, tu devrais évaluer la limite
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{f(x)}{g(x)},\]
donc
\[ \N- Début{alignement} \N- Lim_{x \Nà \Nfond} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \Nà \infty} \frac{x^3}{100x^2} \N- &= \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{x}{100} \N \N &= \Ninfty. \N- [Fin{align}\N]
Puisque la limite va à l'infini, tu peux supposer que \( f(x)=x^3\) croît plus vite que \(g(x)\) comme \( xrightarrow\infty\).
Voici un exemple qui fait appel à la règle de L'Hôpital.
Considère les fonctions
\[ f(x)=x^2-10\]
et
\N[ g(x) = 2x^2+6.\N]
Quelle fonction croît plus vite que \( xrightarrow\infty\) ?
Solution :
Une fois de plus, commence par évaluer la limite
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{f(x)}{g(x)}\]
donc
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{f(x)}{g(x)}= \lim_{x \Nà \infty} \frac{x^2-10}{2x^2+6}.\]
Cette fois, tu ne peux pas factoriser ou annuler quoi que ce soit, et si tu substitues \( x \N) à \N( \Ninfty \N), tu auras une forme indéterminée de
\[ \frac{\infty}{\infty}\]
ce qui suggère l'utilisation de la règle de L'Hôpital. Cela signifie que tu devras trouver les dérivées de \(f\N) et \N(g,\N) de sorte que
\N[ f'(x)=2x\]
et
\N- [g'(x)=4x.\N]
tu peux donc maintenant évaluer
\[ \begin{align} \Nlim_{x \Nà \Ninfty} \frac{f(x)}{g(x)} &= \lim_{x \Nà \infty} \frac{f'(x)}{g'(x)} \\\N- &= \lim_{x \Nà \infty} \frac{2x}{4x} \N- &= \Nfrac{1}{2}. \[Fin{align}\N-]
Puisque la limite est un nombre différent de \N(0\N), tu peux conclure que les deux fonctions croissent au même rythme que \N(x \Nà \Nfty\N).
Tu aurais aussi pu diviser par \N( x^2 \N) au numérateur et au dénominateur. Le but de cet exercice était d'illustrer l'utilisation de la règle de L'Hôpital. Tu peux utiliser la méthode qui te convient le mieux. A toi de jouer !
Trouver le taux de croissance d'une fonction exponentielle
La fonction exponentielle possède une caractéristique particulière qui la distingue des autres fonctions : elle est sa propre dérivée, c'est-à-dire que
\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x.\N-]
Cela signifie que cette fonction peut être différenciée encore et encore, et que tu obtiendras à chaque fois une autre fonction exponentielle !
Ce fait devient particulièrement remarquable lorsqu'on compare le taux de croissance de la fonction exponentielle à celui d'une autre fonction.
Considère les fonctions
\[ f(x) = e^x\]
et
\N- g(x) = x^2.\N]
Si tu devais comparer leur taux de croissance comme \N( x \Nà \Nfty \N), tu trouverais d'abord une limite indéterminée, c'est-à-dire
\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \Nà \infty} \frac{e^x}{x^2}.\]
Cela suggère l'utilisation de la règle de L'Hôpital. En fait, tu dois l'utiliser deux fois ! Cela signifie que
\[ \begin{align} \_lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{x^2} &= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} \N- &= \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{e^x}{2} \\ &= \infty. \N- [Fin{align}\N]
où tu as différencié deux fois chaque fonction. Comme la limite va à l'infini, la fonction au numérateur croît plus rapidement, donc \( f(x)=e^x \) est la fonction dont le taux de croissance est le plus rapide.
En particulier, étant donné n'importe quelle fonction polynomiale \N( P(x) \N), tu trouveras toujours que
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{P(x)} = \infty,\]
ce qui signifie que la fonction exponentielle croît plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale, quel que soit son degré ! Jette-toi à l'eau pour comprendre pourquoi !
Tu verras ici pourquoi la fonction exponentielle croît plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale. Sans perte de généralité, tu peux comparer le taux de croissance de
\[ P(x) = x^n\]
au taux de croissance de
\N[ f(x) = e^x,\N]
L'objectif est donc l'évaluation de
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{x^n}.\]
L'évaluation directe de la limite te donnerait une forme indéterminée de
\[ \frac{\infty}{\infty}\]
tu devras donc utiliser la règle de L'Hôpital. La fonction exponentielle restera la même, quel que soit le nombre de fois où tu la différencieras. Cependant, la fonction \N( x^n\N) commencera à diminuer son degré à chaque différenciation, donc
\N[ P'(x)= nx^{n-1},\N]
alors
\N- P''(x) = n(n-1)x^{n-2},\N- et ainsi de suite.
et ainsi de suite. Si tu la différencies \N n fois, la puissance atteindra finalement \N 0 fois, ce qui donnera une fonction constante, c'est-à-dire
\[ \begin{align} P^{(n)}(x) &= n(n-1)(n-2)\dots(2)(1) \N &= n !. \N- [end{align}\N-]
Rappelle que \N( n ! \N) se lit comme la factorielle de \N(n\N), et qu'il équivaut à prendre le produit de tous les nombres à partir de \N( 1 \N) jusqu'à \N(n\N).
De cette façon, tu peux évaluer la limite requise, c'est-à-dire
\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{e^x}{x^n} = \lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{n!}. \]
Le nombre \(n!\) est généralement très grand, mais cela n'a pas d'importance, il s'agit toujours d'un nombre. Cela signifie que la limite ci-dessus tendra vers l'infini, donc
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{x^n} = \infty.\]
Tu peux en conclure que la fonction exponentielle croît plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale !
Exemples de taux de croissance des fonctions
Comparer le taux de croissance des fonctions est un excellent moyen de pratiquer les dérivées et les limites !
Montre que
\N-[ m(x) = e^{3x} \N]
croît plus vite que
\N[ n(x) = x^3+2x-1.\N]
Solution :
Tu dois évaluer la limite
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{m(x)}{n(x)}\]
et montrer qu'elle va à l'infini. Pour évaluer ce type de limites à l'infini lorsque des fonctions polynomiales sont impliquées, tu devras généralement différencier un nombre de fois égal au degré du polynôme.
\[ \lim_{x \à \infty} \frac{m(x)}{n(x)} = \lim_{x \to \infty} \frac{e^{3x}}{x^3+2x-1}\]
tu dois différencier trois fois. Tu obtiendras ainsi
\[ \begin{align} \Nlim_{x \Nà \Ninfty} \frac{m(x)}{n(x)} &= \lim_{x \to \infty} \frac{m'(x)}{n'(x)} \\\N- &= \lim_{x \Nà \nfty} \frac{3e^{3x}}{3x^2+2},\end{align}\]
alors
\N- [\N- Début{alignement} \Nlim_{x \Nà \Ninfty} \frac{m(x)}{n(x)} &= \lim_{x \Nà \infty} \frac{m''(x)}{n''(x)} \\\N- &= \Nlim_{x \Nà \Nfinfty} \frac{9e^{3x}}{6x}, \end{align}\]
et enfin
\[ \begin{align} \N- Lim_{x \Nà \Nfty} \frac{m(x)}{n(x)} &= \lim_{x \to \infty} \frac{m'''(x)}{n'''(x)} \\N- &= \Nlim_{x \Nà \Ninfty} \frac{27e^{3x}}{6}. \N- [Fin{alignement}\N]
Tu peux maintenant factoriser les constantes et évaluer la limite, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \lim_{x \à \infty} \frac{m(x)}{n(x)} &= \frac{27}{6}\lim_{x \Nà \Nfty} e^{3x}, \end{align}\N]
qui va jusqu'à l'infini, donc
\[ \lim_{x \Nà \Nfty} \frac{m(x)}{n(x)} = \Nfty.\N]
Cela signifie que la fonction
\[ m(x)= e^{3x}\]
croît plus vite que
\N[ n(x) = x^3+2x-1\N]
au fur et à mesure que \( x\à \infty\).
Parfois, tu n'auras pas besoin d'utiliser la règle de L'Hôpital !
Considère les fonctions
\[ r(x) = -\frac{1}{x}\]
et
\[ s(x) = \ln{x}.\]
Les deux sont des fonctions qui augmentent lentement. Laquelle croît le plus rapidement lorsque \(x \Nà \Nfty\N) ?
Solution :
Pour déterminer quelle fonction croît le plus rapidement, tu dois évaluer la limite
\[ \lim_{x \Nà \Nfty}\frac{r(x)}{s(x)} = \lim_{x \Nà \Nfty} \frac{-\frac{1}{x}}{\ln{x}},\]
qui peut s'écrire comme
\[ \lim_{x \à \infty}\frac{r(x)}{s(x)} = -\lim_{x \à \infty} \frac{1}{x\ln{x}}. \]
Puisque le dénominateur de l'expression rationnelle ci-dessus va à l'infini comme \N(x\Nà\Nfty}), la limite ci-dessus est égale à \N(0\N), c'est-à-dire
\[ \lim_{x \à \infty}\frac{r(x)}{s(x)} = 0.\]
Cela signifie que
\[s(x)=\ln{x}\]
est la fonction qui croît le plus rapidement.
Taux de croissance des fonctions - Principaux enseignements
- Le taux de croissance d'une fonction définit la vitesse à laquelle \(f(x)\) augmente ou diminue lorsque \(x\) augmente.
- Si l'on ne parle que d'une seule fonction, le taux de croissance a généralement la même signification que le taux de changement.
- Dans ce cas, le taux de croissance d'une fonction peut être décrit à l'aide de sa dérivée.
- En général, le taux de croissance fait référence à la comparaison du taux de croissance de deux fonctions, auquel cas tu cherches laquelle des fonctions croît le plus rapidement.
- Dans ce cas, tu dois évaluer la limite du quotient des fonctions.
- Si l'on ne parle que d'une seule fonction, le taux de croissance a généralement la même signification que le taux de changement.
- Lorsque l'on compare le taux de croissance de deux fonctions croissantes \(f(x)\) et \(g(x)\) :
- \Nf(f(x)\Ncroît plus vite que \Ng(x)\Nà mesure que \Nl'on s'éloigne de \Nfonction x si
\N- [\Nlim_{x \Nà \Ninfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=\Ninfty.\N]
\(f(x)\) grows slower than \(g(x)\) as \(x \rightarrow \infty\) if\[\lim_{x \to \infty} \frac{f(x)}{g(x)}=0.\]
\N(f(x)\Net \N(g(x)\Nprogressent au même rythme que \N(x) si\N[\Nlim_{x \Nà \Nfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=L, \Nquad \Ntext{où} \Nquad L\Nneq0.\N].
- \Nf(f(x)\Ncroît plus vite que \Ng(x)\Nà mesure que \Nl'on s'éloigne de \Nfonction x si
Parfois, l'évaluation des limites requises sera indéterminée, dans ce cas, tu peux utiliser la règle de L'Hôpital.
Il est également possible que tu doives utiliser la règle de L'Hôpital plus d'une fois. Tu dois l'utiliser jusqu'à ce que la limite concernée ne soit plus indéterminée !
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