Taux de croissance des fonctions

Signification du taux de croissance des fonctions

Le calcul est une affaire de changement. L'un des principaux objets étudiés en calcul sont les fonctions, qui sont des objets mathématiques mettant en relation deux ou plusieurs quantités. Il est particulièrement intéressant de savoir comment les fonctions changent en fonction des variables utilisées pour les définir. C'est ici que l'on définit le taux de croissance d'une fonction.

Dans ce contexte, le taux de croissance d'une fonction seule est équivalent à son taux de changement. Cependant, le taux de croissance des fonctions est généralement utilisé dans le contexte de la comparaison de la croissance de deux fonctions. Continue à lire cet article pour en savoir plus sur ce sujet !

Pour rester sur le sujet du taux de croissance (ou taux de variation) d'une fonction, prenons par exemple la fonction

\N- f(x) = 2x.\N- f(x) = 2x.\N]

Si tu introduis \N( 3\N) dans la fonction ci-dessus, tu obtiendras

$$\begin{array}{rl}f(3)& =2(3)\\ & =6,\end{array}$$

Ensuite, si tu introduis \N 4 \N dans la fonction, tu obtiendras

\[ \N- f(4) &= 2(4) \N &= 8. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N].

En augmentant la valeur de \N(x) de \N(3) à \N(4), la fonction \N(f(x)) est passée de \N(6) à \N(8).

Considère maintenant

\N- g(x) = x+8.\N]

En introduisant \N 3 \N tu obtiens

\N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]

et si tu utilises \N( 4 \N) tu obtiendras

$$\begin{array}{rl}g(4)& =(4)+8\\ & =12.\end{array}$$

Cette fois-ci, en augmentant la valeur de \N(x \N), la fonction \N( g(x) \N) est passée de \N( 11 \N) à \N(12 \N). Bien que tu aies obtenu des valeurs plus élevées en utilisant \Ng(x) \N, le taux de croissance de \Nf(x) \Nest plus important parce que les valeurs de la fonction ont changé davantage.

Pour trouver le taux de croissance d'une fonction, tu peux utiliser la formule suivante

$$G=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}.$$

Dans l'exemple ci-dessus, tu as étudié des fonctions linéaires, qui se caractérisent par le fait qu'elles ont un taux de variation constant. Ce n'est pas toujours le cas.

Dans le contexte du calcul, plutôt que de trouver le taux de croissance d'une fonction sur un intervalle, tu devras trouver le taux de croissance instantané de la fonction en un certain point. Cela peut se faire en trouvant la dérivée de la fonction.

Soit \N( f(x) \N) une fonction différentiable. Sa dérivée \N( f'(x) \N) est une fonction qui décrit le taux de croissance de \N( f(x) \N).

Habituellement, le mot instant est omis, on suppose donc qu'un taux de croissance fait référence à un taux de croissance instantané ou à un taux de changement instantané.

Il est également possible d'avoir un taux de croissance négatif . Cela se produit lorsque la valeur de la fonction diminue à mesure que sa variable indépendante augmente.

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Dans le graphique ci-dessus, tu peux noter que les valeurs de $f(x)$ diminuent à mesure que $x$ augmente.

Taux de croissance des fonctions à partir d'un tableau

On te demandera parfois de trouver le taux de croissance d'une fonction à partir d'un tableau. Considère le tableau suivant.

Supposons qu'on te demande de trouver le taux de croissance de la fonction dans l'intervalle allant de $x=2$ à $x=4$. Tu devras utiliser la formule du taux de croissance

$$G=\frac{f(x_2)-f(x_1)}{x_2-x_1}$$

avec les valeurs du tableau. Dans ce cas, $x_2=4$ et $x_1=2$, donc

\N- [\N- Début{align} G &= \frac{f(4)-f(2)}{4-2} \N- &= \frac{17-5}{4-2} \N- &= \frac{12}{2} \ &= 6. \N- [end{align}\N]

L'inconvénient de l'utilisation d'un tableau pour trouver le taux de croissance d'une fonction est que la tâche de trouver le taux de croissance instantané devient plus difficile. Comme tu ne disposes pas d'une expression de la fonction, tu ne peux pas trouver sa dérivée de manière standard.

Heureusement, chaque fois que l'on te demande de trouver le taux de croissance d'une fonction à l'aide d'un tableau, on te demande généralement de le faire dans un intervalle donné.

Comparaison des taux de croissance des fonctions

Comme nous l'avons mentionné précédemment dans cet article, parler du taux de croissance des fonctions fait généralement référence à la comparaison entre deux fonctions. En d'autres termes, il s'agit de savoir laquelle des deux fonctions croît le plus vite, et cela se fait généralement dans le contexte de fonctions dont le domaine s'étend à l'infini.

La définition suivante te permet de comparer le taux de croissance de deux fonctions comme $x\to \mathrm{\infty }$. Pour deux fonctions croissantes $f(x)$ et $g(x)$ :

• \N(f(x)\Ncroît plus vite que \N(g(x)\N)à mesure que \N(x \Nflèche droite \Nflèche gauche) si

  \N- [\Nlim_{x \Nà \Ninfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=\Ninfty.\N]

• $f(x)$ grows slower than $g(x)$ as $x\to \mathrm{\infty }$ if$$\underset{x\to \mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}=0.$$

• \N(f(x)\Net \N(g(x)\Nprogressent au même rythme que \N(x) si\N[\Nlim_{x \Nà \Nfty} \Nfrac{f(x)}{g(x)}=L, \Nquad \Ntext{où} \Nquad L\Nneq0.\N].

En général, tu devras utiliser la règle de L'Hôpital pour calculer ces limites, car elles conduisent souvent à des formes indéterminées. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire sur ce sujet, consulte notre article sur la règle de L'Hôpital.

Afin de comparer le taux de croissance des deux fonctions, tu devras évaluer la limite

$$\underset{x\text{à}\mathrm{\infty }}{lim}\frac{f(x)}{g(x)}$$

et vérifier dans quel cas elle se situe. Si la limite obtenue a une forme indéterminée, tu dois utiliser la règle de L'Hôpital autant de fois que nécessaire jusqu'à ce que tu puisses déterminer la limite.

Voici un exemple qui fait appel à la règle de L'Hôpital.

Trouver le taux de croissance d'une fonction exponentielle

La fonction exponentielle possède une caractéristique particulière qui la distingue des autres fonctions : elle est sa propre dérivée, c'est-à-dire que

\[\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x} e^x = e^x.\N-]

Cela signifie que cette fonction peut être différenciée encore et encore, et que tu obtiendras à chaque fois une autre fonction exponentielle !

Ce fait devient particulièrement remarquable lorsqu'on compare le taux de croissance de la fonction exponentielle à celui d'une autre fonction.

Considère les fonctions

$$f(x)=e^x$$

et

\N- g(x) = x^2.\N]

Si tu devais comparer leur taux de croissance comme \N( x \Nà \Nfty \N), tu trouverais d'abord une limite indéterminée, c'est-à-dire

\N[ \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{f(x)}{g(x)} = \lim_{x \Nà \infty} \frac{e^x}{x^2}.\]

Cela suggère l'utilisation de la règle de L'Hôpital. En fait, tu dois l'utiliser deux fois ! Cela signifie que

\[ \begin{align} \_lim_{x \à \infty} \frac{e^x}{x^2} &= \lim_{x \to \infty} \frac{e^x}{2x} \N- &= \Nlim_{x \Nà \Nfty} \frac{e^x}{2} \ &= \infty. \N- [Fin{align}\N]

où tu as différencié deux fois chaque fonction. Comme la limite va à l'infini, la fonction au numérateur croît plus rapidement, donc $f(x)=e^x$ est la fonction dont le taux de croissance est le plus rapide.

En particulier, étant donné n'importe quelle fonction polynomiale \N( P(x) \N), tu trouveras toujours que

$$\underset{x\text{à}\mathrm{\infty }}{lim}\frac{e^x}{P(x)}=\mathrm{\infty },$$

ce qui signifie que la fonction exponentielle croît plus vite que n'importe quelle fonction polynomiale, quel que soit son degré ! Jette-toi à l'eau pour comprendre pourquoi !

Exemples de taux de croissance des fonctions

Comparer le taux de croissance des fonctions est un excellent moyen de pratiquer les dérivées et les limites !

Parfois, tu n'auras pas besoin d'utiliser la règle de L'Hôpital !