L'une des opérations les plus importantes du calcula> est l'intégration, qui peut prendre beaucoup de temps. Heureusement, tout comme les informations que l'humanité a obtenues à travers les âges sont contenues dans des livres, de nombreuses intégrales sont stockées dans destableaux d' intégration.
Méthode d'utilisation des tableaux d'intégration
L'intégration peut être une opération fastidieuse. Tu dois d'abord savoir quelle méthode d'intégration convient le mieux à une intégrale donnée. Ensuite, il y a l'opération elle-même. Qui sait, peut-être devras-tu faire plusieurs fois l'intégration par parties ! Cela prendrait beaucoup de temps et serait compliqué.
Plutôt que de passer par cette épreuve, il est plus facile d'utiliser un tableau d'intégration .
Mais comment utiliser un tableau pour intégrer une fonction ? Les tableaux d'intégration contiennent des formules résumées pour des intégrales spécifiques. Ce qui est important, c'est que tu identifies les variables et les constantes présentes dans chaque formule.
Voici un exemple rapide. Considère l'intégrale
\[ \int \sin{3x} \, \mathrm{d}x.\]
Pour résoudre cette intégrale, tu dois faire une intégration par substitution en laissant
\N- u=3x.\N]
Tu dois aussi écrire la différentielle \( \mathrm{d}x \) en termes de \( u,\) ce qui peut être fait d'abord en différenciant
\[ \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=3,\]
en multipliant cette dérivée par \N( \Mathrm{d}x,\N)
\[ \mathrm{d}u=3\,\mathrm{d}x,\]
et en isolant \N( \Mathrm{d}x,\N) ainsi
\[\mathrm{d}x=\frac{1}{3}\mathrm{d}u.\]
Tu peux maintenant écrire l'intégrale originale en termes de \N(u\N) en remplaçant chaque instance de \N( x\N) par son équivalent dans \N( u,\N) et chaque instance de \N( \Nmathrm{d}x\N) par son équivalent dans \N( \Nmathrm{d}u,\N), c'est à dire
\[ \begin{align} \int \sin{3x} \, \mathrm{d}x &= \int (\sin{u})\left(\frac{1}{3}\mathrm{d}u\right) \ &= \frac{1}{3}\int \sin{u} \, \mathrm{d}u, \end{align}\N]
qui est une intégrale ayant une formule commune que tu peux vérifier dans notre article sur les intégrales trigonométriques, à savoir
\[\int \sin{u} \, \mathrm{d}u = -\cos{u} + C.\N].
Sachant cela, tu peux écrire l'intégrale
\[ \int \sin{3x}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{3} \left( -\cos{u} + C \rright),\]
puis annule la substitution. En général, la constante d'intégration est ajoutée à la fin, donc
\[ \begin{align} \Nint \Nsin{3x}\N,\Nmathrm{d}x &= \Nfrac{1}{3} \Nà gauche( -\Ncos{3x} \Nà droite) + C \Nà droite &= -\Nfrac{1}{3}\Ncos{3x}+C. \N- [end{align}\N]
Dans l'exemple ci-dessus, en consultant un tableau d'intégration sur les fonctions trigonométriques, tu trouveras très probablement une formule du type
\[ \int \sin{ax} \, \mathrm{d}x = -\frac{1}{a}\cos{ax}+C.\N}]
Dans ce cas, tu n'as pas besoin de faire de substitution, mais tu dois identifier que \N( a=3.\N)
\[ \begin{align} \int \sin{ax}\\N,\mathrm{d}x &= \frac{1}{a} \left( -\cos{ax} \Nright) + C \int \sin{3x}\N,\Nmathrm{d}x &= \frac{1}{a} \left( -\cos{ax} \Nright) + C\int \sin{3x} \N- \NMathrm{d}x &= -\frac{1}{3}\Ncos{3x}+C. \N-END{align}\N-]
L'idée principale de l'utilisation des tableaux d'intégration est d'identifier quelle intégrale du tableau a la même forme que celle que tu essayes de résoudre. L'intégrale donnée dans le tableau est déjà résolue, tu peux donc l'utiliser comme formule.
Tu peux distinguer les variables et les constantes en regardant la différentielle de l'intégrale. La variable d'intégration est la même variable présente dans la différentielle, et on utilise généralement \(x\) ou \(u\). Les autres lettres que tu trouves sont très probablement des constantes, et on choisit généralement \(a,\N) \N(b,\N) \N(k,\N) \N(n,\N) et \N(m,\N).
Comme il existe un grand nombre d'intégrales différentes, les tableaux d'intégration sont généralement divisés en fonction du type de fonctions impliquées. Nous allons voir ici quelques exemples des tableaux d'intégration les plus courants.
Tableaux d'intégration pour les fonctions exponentielles
L'intégration des fonctions exponentielles nécessite généralement une intégration par parties plusieurs fois. Plutôt que de faire cela, tu peux toujours regarder les tableaux d'intégration. Ceux-ci peuvent contenir certaines des formules suivantes :
\N[ \N-{align}&\Nint e^{bx}\N,\Nmathrm{d}x = \frac{1}{b}e^{bx}+C\N[0.5em] &\int a^{bx}\N- \mathrm{d}x = \frac{1}{b \ln{a}}a^{bx}+C \quad \text{ for }\quad a>0, a\neq 1 \N[0.5em] &\int xe^{bx}\N- \mathrm{d}x= \frac{e^{bx}}{b^2}(bx-1)+C\N[0.5em]&\int x^2e^{bx}\Nmathrm{d}x= e^{bx}\left( \frac{x^2}{b}-\frac{2x}{b^2}+\frac{2}{b^3}\right)+C \[0.5em]&\int xe^{bx}\,\mathrm{d}x = \frac{1}{2b}e^{bx^2}+C \\[0.5em]&\int xe^{-bx}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{2b}e^{-bx^2}+C\end{align}\]
Évalue l'intégrale
\N[ \Nint x^2 e^{5x}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Tu dois commencer par chercher une intégrale qui ressemble à celle que tu essaies de résoudre. Parmi les intégrales données précédemment, tu devrais te concentrer sur
\[ \Nint x^2e^{bx}\N,\Nmathrm{d}x= e^{bx}\Ngauche( \Nfrac{x^2}{b}-\Nfrac{2x}{b^2}+\Nfrac{2}{b^3}\Ndroite)+C, \N]
où tu dois identifier que \( b=5.\N- Sachant cela, tu peux substituer \( b\N-) dans la formule ci-dessus et obtenir
\[ \begin{align} \Nint x^2e^{5x},\Nmathrm{d}x &= e^{5x}\Nà gauche( \frac{x^2}{5}-\frac{2x}{5^2}+\frac{2}{5^3}\right)+C \N[0.5em] &= e^{5x}\Nà gauche( \frac{x^2}{5}-\frac{2x}{25}+\frac{2}{125}\right)+C. \N- [Fin{align}\N]
C'est assez simple, non ?
Tableaux d'intégration des fonctions trigonométriques
Il peut être difficile de se souvenir de toutes les antidérivées des principales fonctions trigonométriques, sans parler de certains cas particuliers où leurs puissances interviennent également. Voici quelques-unes des formules les plus couramment utilisées que tu peux trouver dans différents tableaux d'intégration :
\[ \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \sin^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}-\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}-\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \cos{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\sin{ax}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \cos^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C=\frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\sin{2ax}+C\\[0.5em]&\int \tan{ax}\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{a}\ln{\left| \cos{ax} \right|}+C=\frac{1}{a}\ln{\left| \sec{ax} \n{right|}+C \n[0.5em]&\int \tan^2{ax}\,\mathrm{d}x= \frac{\tan{ax}}{a}-x+C \n[0.5em]&\int (\sin{ax})(\cos{ax})\n{mathrm{d}x=\frac{1}{2a}\sin^2{ax}+C=-\frac{1}{2a}\cos^2{ax}+C\n{align}\n}]
Remarque que dans certaines des formules ci-dessus, il y a deux façons différentes d'écrire les intégrales. Elles sont reliées par des identités trigonométriques, donc l'une ou l'autre convient.
Évalue l'intégrale
\[ \Nint \Ncos^2{7x}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Une fois de plus, tu dois chercher dans un tableau une intégrale qui ressemble à celle ci-dessus. Note qu'il s'agit de l'intégrale de la fonction cosinus au carré, donc
\[ \int \cos^2{ax}\,\mathrm{d}x=\frac{x}{2}+\frac{1}{2a}(\sin{ax})(\cos{ax})+C \]
devrait t'être utile. Dans ton cas, \( a=7,\N) donc
\[ \begin{align} \int \cos^2{7x}\Nmathrm{d}x &= \frac{x}{2}+\frac{1}{2\cdot 7}(\sin{7x})(\cos{7x})+C \Nmathrm{d}x &= \frac{x}{2}+\frac{1}{14}(\sin{7x})(\cos{7x}) +C. \N- [Fin{align}\N]
Remarque que pour cette intégrale, tu aurais aussi pu utiliser
\[ \Nint \Ncos^2{ax}\N,\Nmathrm{d}x= \frac{x}{2}+\frac{1}{4a}\Nsin{2ax}+C.\N].
Les deux formules sont liées par une identité trigonométrique et la constante d'intégration.
Tables d'intégration pour d'autres formules
Il existe à coup sûr une grande variété d'intégrales. Certaines peuvent impliquer une substitution trigonométrique, tandis que d'autres peuvent nécessiter une décomposition en fractions partielles. Voici quelques-unes des formules les plus courantes figurant dans les tableaux d'intégration :
\[\begin{align} xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}}\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{a}}+C \\[0.5em] xml-ph-0001@deepl.internal &\int \frac{1}{a^2+x^2}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\arctan{\frac{x}{a}}+C\\[0.5em] xml-ph-0000@deepl.internal &\int \frac{1}{x\sqrt{x^2-a^2}}\mathrm{d}x=\frac{1}{a}\mathrm{arcsec}{\,\frac{|x|}{a}}+C\\[0.5em]&\int \sqrt{x^2 \pm a^2}\,\mathrm{d}x= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2\pm a^2}\pm\frac{1}{2}a^2\ln{\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \Ndroite|}+C\Nend{align}\N]
Évalue l'intégrale
\[ \Nint \Nfrac{1}{\sqrt{9-x^2}} \N, \Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Cette fois-ci, tu auras peut-être du mal à trouver la formule à utiliser car tu ne trouveras peut-être pas de formule qui inclut
\[\frac{1}{\sqrt{a-x^2}}.\]
Il en existe une qui s'en rapproche suffisamment, à savoir
\[ \int \frac{1}{\sqrt{a^2-x^2}\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{a}}+C, \].
il suffit d'écrire \N( 9 \N) comme le carré d'un autre nombre, dans ce cas \N( 3,\N) donc
\N[ \Nint \Nfrac{1}{\Nsqrt{9-x^2}}] \mathrm{d}x = \int \frac{1}{\sqrt{3^2-x^2}} \mathrm{d}x.\N-]
De cette façon, tu peux identifier que \( a=3,\N) donc
\[ \int \frac{1}{\sqrt{9-x^2}\mathrm{d}x=\arcsin{\frac{x}{3}}+C. \]
Parfois, tu devras faire très attention à tes intégrales pour les réécrire comme les formules données dans un tableau.
Évalue l'intégrale
\[ \Nint \Nsqrt{x^2-3}\N,\Nmathrm{d}x.\N]
Réponse :
Dans ce cas, il faut utiliser la formule
\[ \N- Début{alignement} \int \sqrt{x^2 \pm a^2}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2\pm a^2} \\N- & \Nquad \Npm\frac{1}{2}a^2\Nln{\left| x+\sqrt{x^2 \pm a^2} \Ndroite|}+C \Nend{align} \]
tu dois identifier \N( a, \N) et tu dois aussi déterminer si tu dois utiliser le signe plus ou le signe moins.
Note que même si 3 n'est pas un carré parfait, c'est quand même le carré de 3, donc a=3.\NComme ton intégrale utilise le signe moins, qui est en dessous du signe plus dans 3, tu dois utiliser tous les signes qui sont en dessous dans la formule, donc
\[ \begin{align} \int \sqrt{x^2 - a^2}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2 - a^2}\\ & \quad -\frac{1}{2}a^2\ln{\left| x+\sqrt{x^2 - a^2} \Ndroite|}+C.\Nend{align} \]
Enfin, substitue \N( a \N) dans la formule, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \int \sqrt{x^2-3}\,\mathrm{d}x &= \frac{1}{2}x\sqrt{x^2-\left(\sqrt{3}\right)^2} \N- & \Nquad -\Nfrac{1}{2}\Ngauche( \Nsqrt{3}\Ndroite)^2 \N{\Ngauche| x+\Nsqrt{x^2-\Ngauche( \Nsqrt{3}\Ndroite) ^2} \N- \N- \N- \N- \N- \N} + C \\N-[0.5em] &=\frac{1}{2}x\sqrt{x^2-3} - \frac{3}{2}\ln{\left| x+\sqrt{x^2-3} \Ndroite|}. \Nend{align} \]
Imagine que tu doives faire l'intégrale ci-dessus sans tableau !
Tableaux d'intégration pour la fonction gaussienne
Toutes les fonctions n'ont pas d'antidérivées, c'est-à-dire que tu ne pourras pas toujours trouver une "belle" fonction pour résoudre une intégrale. C'est le cas de la fonction gaussienne
\N[ f(x)= e^{-x^2}.\N]
Quelle que soit la méthode d'intégration que tu essaies d'utiliser, tu ne pourras tout simplement pas trouver son antidérivée !
La fonction ci-dessus est très importante en statistique, et l'évaluation de son intégrale définie
\N[ \Nint_0^b e^{-x^2}\N,\Nmathrm{d}x]]
devient extrêmement pertinente. Comme tu ne peux pas utiliser le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale ci-dessus, elle est évaluée numériquement à la place, et ses valeurs sont organisées dans des tableaux. Pour plus d'informations à ce sujet, consulte notre article sur la distribution normale !
Tableaux d'intégration - Points clés
- Les tableaux d'intégration contiennent des formules résumées pour des intégrales spécifiques.
- L'idée principale de l'utilisation des tableaux d'intégration est d'identifier une intégrale qui a la même forme que celle du tableau.
- Il existe des tableaux d'intégration pour les fonctions exponentielles, les fonctions trigonométriques et bien plus encore ! Tu dois chercher le tableau qui correspond le mieux à l'intégrale que tu dois résoudre.
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