Symétrie des Fonctions

Qu'est-ce que l'axe (ou la ligne) de symétrie d'une fonction ?

Une forme, ou un graphique, possède ce que nous appelons une symétrie réfléchissante si elle reste inchangée après que nous l'ayons réfléchie sur une ligne.

Un pentagone avec une symétrie réfléchie sur une ligne - StudySmarter Originals

Tu as remarqué que la ligne violette coupe le pentagone en deux ? Cela signifie que la ligne violette est un axe de symétrie pour le pentagone.

Cette idée de symétrie réfléchie peut également s'appliquer aux graphiques des fonctions !

Fonctions paires et impaires

Le fait qu'une fonction soit paire ou impaire est une propriété liée à sa symétrie. Cette propriété facilite un peu le traitement des fonctions car elle nous aide à les représenter graphiquement.

Il existe quatre états de classification pour les fonctions paires et impaires :

• Une fonction peut être paire,
• Une fonction peut être impaire,
• Une fonction ne peut être ni paire ni impaire, ou
• Une fonction peut être à la fois paire et impaire.

Il y a deux façons de vérifier si une fonction est paire, impaire ou n'est ni paire ni impaire :

• Algébriquement : en remplaçant la valeur d'entrée (x) par une valeur négative (-x) et en considérant la sortie, et
• Graphiquement : en vérifiant la symétrie de réflexion par rapport à l'axe des y ou la symétrie de rotation par rapport à l'origine.

En général, nous considérons que les fonctions sont paires, impaires ou ni l'une ni l'autre. Pour déterminer si une fonction, $f\left(x\right)$est paire ou impaire, il suffit de remplacer $-x$ pour $x$ et de vérifier la valeur de sortie de $f\left(-x\right)$.

Graphiques des fonctions paires et impaires

L'indice visuel indiquant qu'une fonction est paire est que son graphique est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que nous pouvons considérer l'axe des y comme un miroir, ou comme l'axe de symétrie: ce qui se trouve d'un côté de l'axe des y se reflète de l'autre côté. En d'autres termes, si nous avions le graphique d'une fonction paire sur une feuille de papier et que nous plions cette feuille le long de l'axe des ordonnées du graphique, les deux côtés de la fonction se chevaucheraient parfaitement.

L'indice visuel qu'une fonction est impaire est que son graphique est symétrique par rapport à l'origine. Qu'est-ce que cela signifie exactement ? Cela signifie que si nous réfléchissons le graphique de la fonction sur les axes des x et des y, il aura exactement la même apparence que celle qu'il avait avant que nous ne le réfléchissions. En d'autres termes, si nous avions le graphique d'une fonction impaire sur une feuille de papier, nous pourrions faire pivoter cette feuille de 180° (en utilisant le point d'origine du graphique comme point de rotation) et nous obtiendrions le graphique original.

Propriétés des fonctions paires et impaires

Il existe plusieurs propriétés des fonctions paires et impaires qui nous aideront dans l'AP Calculus.

Propriétés de la somme et de la différence :

• $evenfunction\pm evenfunction=evenfunction$
• $oddfunction\pm oddfunction=oddfunction$
• $evenfunction\pm oddfunction=neither$
  • À moins que l'une des fonctions ne soit la fonction zéro, elle reste identique à la fonction non zéro.

Propriétés du produit et du quotient :

• $evenfunction\times /÷evenfunction=evenfunction$
• $oddfunction\times oddfunction=oddfunction$
• $oddfunction÷oddfunction=evenfunction$
• $evenfunction\times /÷oddfunction=oddfunction$

Propriétés de la composition :

• $evenFunction\left(evenFunction\left(x\right)\right)=evenfunction$
• $oddFunction\left(oddFunction\left(x\right)\right)=oddfunction$
• $oddFunction\left(evenFunction\left(x\right)\right)=evenFunction\left(oddFunction\left(x\right)\right)=evenfunction$

Les fonctions qui ne sont ni paires ni impaires

La plupart des fonctions que nous rencontrons dans l'AP Calculus ne sont ni paires ni impaires. Une fonction à valeurs réelles qui ne répond ni aux exigences paires ni aux exigences impaires est considérée comme n'étant ni paire ni impaire.

Fonctions paires et impaires : Exemples

Axe de symétrie d'une fonction quadratique

La fonction la plus couramment utilisée pour décrire un axe de symétrie est la parabole. La parabole est une fonction quadratique avec un graphique en forme de U dont l'axe de symétrie est une ligne verticale tracée à travers son sommet (le point le plus haut ou le plus bas du graphique).

L'axe de symétrie d'une parabole - StudySmarter Originals

Une parabole a un axe de symétrie, et nous pouvons l'utiliser pour déterminer l'orientation de la parabole :

• Si l'axe de symétrie est vertical, la parabole est verticale.
  • Les paraboles verticales s'ouvrent vers le haut ou vers le bas.
• Si l'axe de symétrie est horizontal, la parabole est également horizontale.
  • Les paraboles horizontales s'ouvrent vers la gauche ou la droite.

Équation de l'axe de symétrie

Si le sommet est le point où l'axe de symétrie croise une parabole, comment trouver l'équation de l'axe de symétrie d'une parabole ? Commençons par ce que nous savons :

• Nous pouvons utiliser l'axe de symétrie pour déterminer l'orientation d'une parabole, donc nous pouvons aussi utiliser l'orientation d'une parabole pour déterminer l'axe de symétrie !
• Nous savons qu'une parabole verticale (ouverture vers le haut/bas) a un axe de symétrie vertical.
• Nous savons qu'une parabole horizontale (ouverture gauche/droite) a un axe de symétrie horizontal.

À partir de là, nous pouvons déduire :

• Pour une parabole verticale dont le sommet est $\left(h,k\right)$ l'équation de l'axe de symétrie est la suivante $x=h$
• Pour une parabole horizontale dont le sommet est $\left(h,k\right)$, l'équation de l'axe de symétrie est $y=k$

Formule de l'axe de symétrie

Puisqu'une parabole verticale est une fonction, nous pouvons utiliser une formule pour trouver l'axe de symétrie. Cette formule pour un axe de symétrie peut prendre deux formes :

Forme standard

La forme standard de l'équation quadratique est :

$y=a{x}^2+bx+c$

où a, b et c sont des nombres réels.

Nous pouvons trouver l'axe de symétrie d'une parabole à partir de son équation quadratique en utilisant cette formule :

$x=-\frac{b}{2a}$

Forme du sommet

Si nous écrivons l'équation quadratique d'une parabole sous la forme d'un sommet, nous obtenons :

$y=a{\left(x-h\right)}^2+k$

où $\left(h,k\right)$ est le sommet de la parabole.

Cela rend la formule de l'axe de symétrie très simple :

$x=h$

puisque sous forme de sommet, le sommet et l'axe de symétrie se trouvent sur la même ligne!

Forme factorisée

Si nous écrivons l'équation quadratique d'une parabole sous forme factorisée, nous obtenons :

$y=a\left(x-p\right)\left(x-q\right)$

où p et q sont les zéros (les points où la parabole croise l'axe des x) de la parabole.

Axe de symétrie pour une fonction quadratique : Exemples

Symétrie des fonctions trigonométriques

Les six principales fonctions trigonométriques ont toutes des propriétés de symétrie qui sont utiles pour les comprendre et les évaluer. Ce sont toutes des fonctions paires ou impaires, et elles ont une symétrie entre les angles.

Fonctions trigonométriques paires et impaires

Les 6 principales fonctions trigonométriques :

• le sinus et sa réciproque, la cosécante
• cosinus et sa réciproque, sécante
• tangente et sa réciproque, cotangente

ont des propriétés paires ou impaires qui peuvent être déterminées à l'aide du cercle circonscrit.

Le cercle des unités - StudySmarter Originals

Pour savoir si une fonction trigonométrique est paire ou impaire, nous regardons quelles fonctions trigonométriques ont des valeurs positives dans chaque quadrant du cercle unitaire :

• Dans le quadrant I, toutes les fonctions trigonométriques sont positives.
• Dansle quadrantII ,seuls le sinus et la cosécante sont positifs.
• Dansle quadrantIII , seules latangente et la cotangente sont positives.
• Dansle quadrantIV, seuls lecosinus et la sécante sont positifs.

Comme $\cos \left(\theta \right)$ et sa réciproque, $sec\left(\theta \right)$, sont positives à la fois dans le quadrant I et dans le quadrant IV du cercle unitaire, nous savons que $\cos \left(-\theta \right)=\cos \left(\theta \right)$ et $sec\left(-\theta \right)=sec\left(\theta \right)$ satisfont à l'exigence d'être des fonctions paires.

Comme $\sin \left(\theta \right)$ et $\tan \left(\theta \right)$ et leurs réciproques, $csc\left(\theta \right)$ et $cot\left(\theta \right)$ sont positifs dans le quadrant I mais négatifs dans le quadrant IV du cercle unitaire, nous savons que $\sin \left(-\theta \right)=-\sin \left(\theta \right),csc\left(-\theta \right)=-csc\left(\theta \right),\tan \left(-\theta \right)=-\tan \left(\theta \right),andcot\left(-\theta \right)=-cot\left(\theta \right)$, ils satisfont donc à l'exigence d'être des fonctions impaires.

Symétrie avec les angles dans les fonctions trigonométriques

Tu te souviens desidentités trigonométriques périodiques et cofonctionnelles de notre article sur la manipulation des fonctions ? Ces identités montrent comment les fonctions trigonométriques présentent une symétrie en fonction de l'angle pour $\theta$ que nous utilisons avec la fonction. Elles peuvent également s'avérer très utiles pour simplifier les problèmes dans le cadre de l'AP Calculus.

Reprenons cette idée et développons-la un peu. Si nous examinons à nouveau le cercle unitaire, nous pouvons voir que d'autres propriétés de symétrie pour les fonctions trigonométriques peuvent être établies.

Le cercle unitaire pour la symétrie des fonctions trigonométriques - StudySmarter Originals

Ce que cela montre, c'est que lorsque nous utilisons certains angles pour les fonctions trigonométriques, le résultat est le même. $\theta$ avec les fonctions trigonométriques, le résultat est souvent l'une des autres fonctions trigonométriques ! Cela nous amène à trouver les identités suivantes :

Décalage par les angles et périodicité des fonctions trigonométriques.

Il est également utile de savoir que si nous décalons une fonction trigonométrique par certains angles, il est très probable que nous puissions trouver une fonction trigonométrique différente pour exprimer le résultat plus simplement. Les exemples les plus courants sont les décalages de $\mathrm{\pi }/2,\mathrm{\pi },\mathrm{and}2\mathrm{\pi }$ radians. Comme les périodes des fonctions trigonométriques sont soit $\mathrm{\pi }\mathrm{or}2\mathrm{\pi }$il y a plusieurs cas où la nouvelle fonction est la même que l'ancienne ! Examinons ces décalages :

Une autre façon de considérer les symétries des fonctions trigonométriques est résumée dans le tableau ci-dessous.

Symétrie des fonctions trigonométriques : Exemples

Symétrie des fonctions - Principaux enseignements