Substitution trigonométrique

Disons que nous travaillons avec l'intégrale

\[\Nint x\Nmathrm{d}x.\N]

Nous pouvons évaluer cette intégrale comme suit,

\[\Nint x\Nmathrm{d}x = \Ndfrac{1}{2}x^2+C\N].

Nous pourrions utiliser la règle de substitution inverse sur cette intégrale en fixant \(x=\theta^3\), \(\mathrm{d}x=3\theta^2\mathrm{d}\theta\), et \(\theta=\sqrt[3]{x}\). Cela nous donne l'intégrale

\[ \int x\mathrm{d}x = \left.\int \theta^3(3\theta^2)\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\rright|_{\theta=\sqrt[3]{x}}.\]

En évaluant cette intégrale, on obtient

\[\left.\int 3\theta^5\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\left.\dfrac{3}{6}\theta^6+C\right|_{\theta=\sqrt[3]{x}}=\dfrac{1}{2}\left(\sqrt[3]{x}\right)^6+C=\dfrac{1}{2}x^2+C.\]

Bien sûr, dans ce cas, la substitution inverse n'est pas quelque chose que tu voudrais faire. Cependant, comme le montre cet exemple, la règle de substitution inverse donnera toujours la même solution que les autres méthodes d'intégration.

La fonction \(f(x)=x^2\) n'est pas biunivoque, puisque \(f(2)=2^2=4\) et \(f(-2)=(-2)^2=4\), mais \(2\neq-2\). Graphiquement, cela signifie que nous pouvons tracer une ligne horizontale qui coupe le graphique de \(f(x)\) en deux points différents.

Fig. 1. Exemple de fonction qui n'est pas biunivoque.

En revanche, la fonction \(g(x)=x^3\) est biunivoque, car si \(a^3=b^3\), alors \(a=b\). Graphiquement, cela signifie qu'il n'existe pas de ligne horizontale qui coupe le graphique de \(g(x)\) en deux points différents.

Fig. 2. Exemple de fonction univoque.

Disons qu'une fois de plus, nous essayons d'évaluer l'intégrale

\[\Nint x\Nmathrm{d}x.\N]

Bien sûr, nous savons que cette intégrale est

\[\Nint x\Nmathrm{d}x = \dfrac{1}{2}x^2+C.\N]

Mais pour rendre notre intégrale aussi simple que possible, nous décidons de faire la substitution \(x=g(\theta)=0\), \(\mathrm{d}x=0\mathrm{d}\theta\). Cette fonction n'est nulle part univoque. Par exemple, elle fait correspondre \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{17}\) et \(3\) à \(0\), même si \(\dfrac{\sqrt{\pi}}{17}\neq 3\).

\N- [\Nint x\Nmathrm{d}x = \Ngauche. \int 0\mathrm{d}\theta\right|_{\theta=g^{-1}(x)} = \left. C\right|_{\theta=g^{-1}(x)}= C,\]

où C est une constante. Cette réponse est différente de celle que nous avons obtenue plus haut. Qu'est-ce qui ne va pas ?

Le problème avec cette substitution est que \N(g^{-1}(x)\N) n'existe pas en réalité, puisque \N(g\N) n'est pas biunivoque. Si \N- x\N n'est pas nul, alors il n'y a pas de nombre \N- c\N tel que la fonction \N- g\N- associe \N- c\Nà \N- x\N. Si \N-(x\N) est zéro, alors \N-(g\N) fait correspondre tous les nombres réels à \N-(x\N), et il n'y a pas de moyen clair de décider ce que \N-(g^{-1}(x)\Ndevrait être. Bien que nous puissions effectuer la substitution \(x=g(\theta)=0\), nous ne pouvons pas l'annuler. Pour que la règle de substitution fonctionne, nous devons pouvoir annuler la substitution. Sinon, comme dans cet exemple, nous risquons d'obtenir une intégrale différente de l'originale.

Réécrivons l'intégrale suivante à l'aide d'une substitution de la forme \(x=a\sin(\theta)\).

\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}}\mathrm{d}x.\]

Cette intégrale contient une expression de la forme \(\sqrt{a^2-x^2}\) où \(a^2=9\). Puisque \N-(a\N) doit être positif, nous fixons \N-(a=3\N) et effectuons la substitution \N-(x=3\Nsin(\Ntheta)\N). Si \(x=3\sin(\theta)\), alors \(\mathrm{d}x=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\), notre intégrale devient,

\[\begin{align} \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{(3\sin(\theta))^2}{\sqrt{9-(3\sin(\theta))^2}(3\cos(\theta))\mathrm{d}\theta &\Nous avons donc une intégrale.= \int \dfrac{27\sin^2(\theta)\cos(\theta)}{3\cos(\theta)}\mathrm{d}\theta \ &= \int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta\end{align}\]

Réécrivons l'intégrale \(\int \sqrt{x^2+9}\mathrm{d}x\) en utilisant une substitution de la forme \(x=a\tan(\theta)\).

Cette intégrale contient une expression de la forme \N(\Nsqrt{x^2+a^2}\N), où \N(a^2=9\N). Comme nous voulons que \(a\) soit positif, nous fixons \(a=3\). Les substitutions que nous voulons faire sont donc : \N(x=3\tan(\theta)\N), \N(\mathrm{d}x=3\sec^2(\theta)\Nmathrm{d}\theta\N). En introduisant ces substitutions dans l'intégrale, on obtient ,

\[\begin{align} \int \sqrt{x^2+9}\mathrm{d}x &= \int \sqrt{9\tan^2(\theta)+9}(3\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 3\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta &= 9\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+1)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta & = 9\int \sqrt{9(\tan^2(\theta)+9}(\mathrm{d}\theta)= 9\int \sqrt{\sec^2(\theta)}(\sec^2(\theta))\mathrm{d}\theta \\N &= 9\int \sec^3(\theta)\mathrm{d}\theta \Nend{align}\N]

Réécrivons l'intégrale suivante en utilisant une substitution de la forme \N(x=a\Sec(\Ntheta)\N).

\[\int \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x}\mathrm{d}x.\]

Dans ce cas, nous fixons \N(a=5\N) et effectuons la substitution \N(x=5\Nsec(\Ntheta)\N), \(\mathrm{d}x=5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta\) over the range \(\theta\in\left[0,\tfrac{\pi}{2}\right)\cup\left[\pi,\tfrac{3\pi}{2}\right)\):

\[\begin{align} \int \dfrac{\sqrt{x^2-25}}{x}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{\sqrt{(5\sec(\theta))^2-25}{5\sec(\theta)}5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &\nbsp;= \int \dfrac{\sqrt{(5\sec(\theta))^2-25}{5\sec(\theta)}5\sec(\theta)\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= \int \sqrt{25(\sec^2(\theta)-1)}\tan(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int |\tan(\theta)|\tan(\theta)\mathrm{d}\theta \rtan^2(\theta)\mathrm{d}\theta &= 5 \int \tan^2(\theta)\mathrm{d}\theta\end{align}\N-]

Évaluons l'intégrale suivante en utilisant la substitution trigonométrique,

\[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}}\mathrm{d}x.\]

Tout d'abord, nous devons décider de la substitution à utiliser. Bien que l'intégrale ne contienne rien qui ressemble exactement à l'une des trois formes générales énumérées ci-dessus, elle contient le terme \(\sqrt{9-4x^2}\), qui ressemble à la forme \(\sqrt{a^2-x^2}\). Essayons donc d'utiliser la substitution \(x=a\sin(\theta)\).

Notre première étape consiste à réécrire l'équation pour qu'elle ressemble davantage à \(\sqrt{a^2-x^2}\). Pour ce faire, nous commençons par faire une substitution de \N(u) pour nous débarrasser de \N(4) dans le terme \N(4x^2). En fixant \(u=2x\) de sorte que \(\mathrm{d}u=2\mathrm{d}x\) et \(\mathrm{d}x=\tfrac{1}{2}\mathrm{d}u\), nous obtenons l'intégrale suivante

\[\begin{align} \int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}\mathrm{d}x &= \int \dfrac{\left(\dfrac{u}{2}\right)^2}{\sqrt{9-4\left(\dfrac{u}{2}\right)^2}\dfrac{1}{2}\mathrm{d}u \\ &= \dfrac{1}{8}\int \dfrac{u^2}{\sqrt{9-u^2}\mathrm{d}u \end{align}\]

Maintenant que nous avons un terme de la forme \(\sqrt{a^2-u^2}\), nous pouvons faire la substitution \(u=a\sin(\theta)\) et \(\mathrm{d}u=a\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\). Dans ce cas, nous voulons faire la substitution \N(u=3\sin(\theta)\Net \N(\mathrm{d}u=3\cos(\theta)\mathrm{d}\theta\N)et \N(\Mathrm{d}u=3\cos(\theta)\mathrm{d}\N). Nous avons trouvé la forme substituée de cette intégrale dans la section Intégrales avec \( a^2-x^2\). Il s'agit de :

\N- [\N- Début{alignement} \dfrac{1}{8}\int \dfrac{u^2}{\sqrt{9-u^2}\mathrm{d}u &= \dfrac{1}{8}\int 9\sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta \ &= \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta \end{align}\]

Pour calculer cette intégrale, nous la réécrivons d'abord en utilisant l'identité \(\sin^2(\theta)=\tfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\). (Cette identité peut être dérivée de la formule du double angle pour le cosinus). En procédant ainsi, on obtient l'expression

\[ \dfrac{9}{8}\int \sin^2(\theta)\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{8}\int \dfrac{1}{2}(1-\cos(2\theta))\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{16}\int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}\theta.\Nous devons utiliser un autre \(u) pour calculer le cosinus.

Nous devons utiliser une autre substitution \(u\)- pour nous débarrasser du terme \( 2\theta\). Puisque nous avons déjà utilisé la variable \N(u\N), mettons \N(v=2\Ntheta\N), \N(\Nmathrm{d}v=2\Nmathrm{d}\Ntheta\N). En substituant, on obtient

\[ \dfrac{9}{16}\int 1-\cos(2\theta)\mathrm{d}\theta = \dfrac{9}{16}\int (1-\cos(v))\dfrac{1}{2}\mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}\int 1-\cos(v)\mathrm{d}v.\]

En évaluant cette intégrale, on obtient que

\[\dfrac{9}{32}\int 1-\cos(v)\mathrm{d}v = \dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C\]

Comme nous travaillons avec une intégrale indéfinie, notre dernière étape consiste à exprimer notre résultat en termes de \(x\). Nous avons fait pas mal de substitutions pour arriver à ce point ; pour résumer, nous avons :

• Fixe \(u=2x\),
• Fixons \N(u=3\sin(\theta)\N),
• Fixons \N(v=2\Ntheta\N).

Pour réécrire la solution en termes de \(x\), nous devons travailler à rebours à travers chacune de ces substitutions.

Tout d'abord, puisque nous avons fixé \(v=2\theta\), nous pouvons écrire

\[\dfrac{9}{32}(v-\sin(v))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C,\]

en annulant la dernière étape de substitution.

Puisque nous avons remplacé \(u\) par \(\theta\), nous devons trouver comment remplacer \(\theta\) par \(u\). Rappelons que nous avons défini \(u=3\sin(\theta)\), il peut donc être utile de tout réécrire en termes de \(\theta\) en utilisant l'identité \(\sin(2\theta)=2\sin(\theta)\cos(\theta)\) :

\[\dfrac{9}{32}(2\theta-\sin(2\theta))+C=\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C\]

Nous pouvons immédiatement réécrire les termes \(\theta\) et \(\sin(\theta)\) en termes de \( u\) :

\[\dfrac{9}{32}(2\theta-2\sin(\theta)\cos(\theta))+C=\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C\]

Notre seul problème est maintenant de réécrire \(\cos(\theta)\) en termes de \(u\). Pour ce faire, nous interprétons \N(\Ntheta\N) comme étant un angle d'un triangle droit. Rappelle-toi que \(\sin(\theta)\) peut être interprété comme la longueur du côté du triangle opposé à theta divisée par la longueur de l'hypoténuse. Puisque \(\sin(\theta)=\tfrac{u}{3}\), nous pouvons interpréter \(u\) comme la longueur du côté opposé du triangle et 3 comme la longueur de l'hypoténuse.

Fig. 7. Substitutions trigonométriques dans les triangles.

Avec cette interprétation, nous pouvons immédiatement écrire que \(\cos(\theta)=\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}.\) En introduisant ceci dans notre expression, nous obtenons que

\[\begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\cos(\theta)\right)+C \\&= \dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C.\[end{align}\]

En simplifiant, on obtient

\[ \begin{align}&\dfrac{9}{32}\left(2\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-2\dfrac{u}{3}\dfrac{\sqrt{9-u^2}}{3}\right)+C \\&= \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C\end{align}\]

Enfin, nous pouvons réécrire la solution en termes de \N(x\N), en utilisant le fait que \N(u=2x\N) :

\[ \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{u}{3}\right)-\dfrac{1}{16}u\sqrt{9-u^2}+C = \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{2}{3}x\right)-\dfrac{1}{8}x\sqrt{9-4x^2}+C \].

Ainsi, \[\int \dfrac{x^2}{\sqrt{9-4x^2}\mathrm{d}x = \dfrac{9}{16}\sin^{-1}\left( \dfrac{2}{3}x\nright)-\dfrac{1}{8}x\sqrt{9-4x^2}+C \N].

Évaluons l'intégrale suivante à l'aide de la substitution trigonométrique

\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x.\]

À première vue, il ne semble pas que cette intégrale puisse être évaluée en utilisant la substitution \(u\). Cependant, si nous effectuons la substitution \(u=e^x\), \(\mathrm{d}u=e^x\mathrm{d}x\), nous obtenons,

\[\int_0^1 \dfrac{e^x}{e^{2x}+2e^x+2}\mathrm{d}x =\int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u \].

En complétant le carré et en utilisant la substitution \(v=u+1\), \(\mathrm{d}v=\mathrm{d}u\), nous obtenons :

\[\begin{align} \int_1^e \dfrac{1}{u^2+2u+2}\mathrm{d}u &= \int_1^e \dfrac{1}{(u^2+2u+1)+1}\mathrm{d}u \int_1^e \dfrac{1}{(u+1)^2+1}\mathrm{d}u &= \int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}\mathrm{d}v \end{align}\]

A ce stade, même s'il n'y a pas de signe de racine carrée, nous pouvons essayer d'utiliser la substitution \(v=\tan(\theta)\) et \(\mathrm{d}v=\sec^2(\theta)\mathrm{d}\theta\), sur l'intervalle \(-\tfrac{\pi}{2}\le\theta\le\tfrac{\pi}{2}\) pour obtenir :

\[\begin{align}\int_2^{e+1} \dfrac{1}{v^2+1}\mathrm{d}v &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \dfrac{\sec^2(\theta)}{\tan^2(\theta)+1}\mathrm{d}\theta \ &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \dfrac{\sec^2(\theta)}{\sec^2(\theta)}\mathrm{d}\theta \N &= \int_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} 1\mathrm{d}\theta \N &= \left.\theta \right|_{\arctan(2)}^{\arctan(e+1)} \\N- &= \arctan(e+1)-\arctan(2) \N- &\Napprox 0.201 \Nend{align}\N]