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Vérifier les solutions des équations différentielles
Commençons par voir comment vérifier si une fonction est une solution d'une équation différentielle. Supposons qu'on te donne une équation différentielle
\N[ y' = f(x,y),\N]
et que quelqu'un te dise que la fonction \(y(x)\) est une solution de l'équation. Comment peux-tu vérifier si cette personne a raison ?
Pour vérifier que \N(y(x)\Nest une solution de l'équation différentielle \N(y'=f(x,y)\N), évalue \N(y'(x) - f(x, y(x))\Net regarde si tu obtiens \N(0\N). Si c'est le cas, alors \Ny (y(x)\Nest une solution.
Voyons un exemple.
Vérifie que
\N[y(x) = \Nln (x^2 - 4x - 4)\N]
est une solution de l'équation différentielle
\N[ y' = e^{-y}(2x - 4).\N]
Solution
Tu dois d'abord trouver \N(y'(x)\N), donc en utilisant la règle de la chaîne, tu obtiens
\N-[ \N-{align} y'(x) &= \frac{\Nmathrm{d}}}{\Nmathrm{d}x} \ln (x^2 - 4x - 4) \\N &= \frac{1}{x^2 - 4x - 4}\cdot \frac{\mathrm{d}}{mathrm{d}x} (x^2 - 4x - 4 ) \N &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 }.\n- end{align}\N]
En introduisant cela dans \N (y'(x) - f(x, y(x))\N), tu peux voir que
\[ \begin{align} y'(x) - f(x, y(x)) &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \exp\left(-\ln (x^2 - 4x - 4) \right) \\n &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \exp\left( \ln \left( \frac{1}{x^2 - 4x - 4 }\right)\right) \\N &= \frac{2x - 4}{x^2 - 4x - 4 } - (2x-4) \left( \frac{1}{x^2 - 4x - 4 }\right) \\N &= 0.\Nend{align}\N]
Par conséquent, \(y(x)\) est une solution de l'équation différentielle.
Que peux-tu faire si tu veux te faire une idée de ce à quoi ressemble une solution sans résoudre l'équation différentielle ?
Représentation graphique des solutions d'équations différentielles
Il existe deux méthodes principales pour se faire une idée de l'aspect et du comportement de la solution d'une équation différentielle sans avoir à la résoudre.
Si tu veux une approximation numérique, tu peux utiliser la méthode d'Euler.
Les champs de direction, également appelés champs de pente, utilisent le fait que la dérivée est une pente pour tracer un "champ" de pentes qui peut te permettre de prédire le comportement des solutions.
Les articles sur ces sujets contiennent de nombreux exemples sur la façon de représenter graphiquement les solutions. Si tu peux résoudre l'équation différentielle, tu peux représenter graphiquement la solution générale. Le terme "solution générale" donne l'impression qu'il n'y a qu'une seule solution, mais en fait, il s'agit d'une famille de fonctions. Le comportement de la solution dépend de son point de départ (également appelé condition initiale). Pour plus d'informations sur ce sujet, voir Solutions générales aux équations différentielles.
Solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre
Une équation différentielle linéaire du premier ordre peut toujours être écrite sous la forme suivante
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x} + P(x)y=Q(x),\]
où \N(P(x)\Net \N(Q(x)\Nsont des fonctions.
Un cas particulier est celui où \N(P(x)\N) et \N(Q(x)\N) sont des constantes, de sorte que l'équation linéaire du premier ordre peut être écrite sous la forme suivante
\[ \frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}+ay=b.\]
Alors
\[y=Ae^{-ax}+\frac{b}{a},\]
est la solution de l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants.
La résolution deséquations différentielles linéaires du premierordre implique un facteur d'intégration, et il y a de nombreux exemples dans les articles Équations différentielles linéaires et Équations linéaires non homogènes.
Solutions exponentielles à une équation différentielle
Les solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants sont à peu près la seule catégorie d'équations différentielles dont la solution est garantie exponentielle. Cependant, cela ne signifie pas que d'autres équations différentielles ne peuvent pas avoir de fonctions exponentielles dans leurs solutions. Prenons un exemple.
Vérifie que \(y(x) = e^{2x} + e^{4x}\) est une solution de l'équation différentielle du second ordre
\N- [y'' - 6y' + 8y = 0.\N]
Solution
Pour vérifier que \(y(x)\) est une solution, tu auras besoin des dérivées première et seconde. En trouvant la première dérivée, tu obtiens
\N[ y'(x) = 2e^{2x} + 4e^{4x},\N]
et tu peux l'utiliser pour trouver la dérivée seconde qui est
\[ y''(x) = 4e^{2x} + 16e^{4x}.\]
Ensuite, en les insérant dans l'équation, tu obtiens
\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N - 6y' + 8y &= 4e^{2x} + 16e^{4x} -6(2e^{2x} + 4e^{4x}) + 8(e^{2x} + e^{4x} ) \N- &= 4e^{2x} + 16e^{4x} -12e^{2x}-24e^{4x} + 8e^{2x} + 8e^{4x} \N- &= 0. \N- [end{align}\N]
Puisque tu as obtenu zéro, cela vérifie que \(y(x)\) est une solution de l'équation différentielle du second ordre.
Remarque que dans l'exemple, l'équation différentielle était la suivante
\N- [y'' - 6y' + 8y = 0.\N]
Si tu traduis cette équation en un polynôme dont le nombre de dérivées est la puissance à laquelle tu élèves \(r\), tu obtiens
\N- r^2 - 6r + 8 = 0.\N]
Cela se traduit par \N( (r-2)(r-4) = 0\N), qui a des solutions \N(r=2\N) et \N(r=4\N), qui sont apparues dans les exposants de la solution ! Les polynômes caractéristiques et les équations différentielles linéaires du second ordre font partie des choses que tu apprendras si tu suis un cours d'équations différentielles.
Solutions d'équilibre aux équations différentielles
Certaines équations différentielles ont une solution d'équilibre.
Une solution d'équilibre \(y(x)\) d'une équation différentielle du premier ordre est une solution qui satisfait \(y'(x)\equiv 0\).
En d'autres termes, une solution d'équilibre d'une équation différentielle du premier ordre est une solution constante! Les solutions d'équilibre sont parfois appelées solutions d' état stable.
Une équation différentielle célèbre avec non pas une, mais deux solutions d'équilibre est l'équation logistique,
\[P' = r\left( 1- \frac{P}{k}\right)P.\N]
Pour plus d'informations sur l'équation logistique, ainsi que sur les solutions et leur comportement, voir L'équation différentielle logistique.
Les équations différentielles séparables sont l'un des endroits où les solutions d'équilibre ont tendance à apparaître. Prenons un exemple.
Trouve les solutions de l'équation différentielle séparable
\N-[ y' = (x+3)(y^2-16).\N]
Solution
Cherche d'abord les solutions constantes. Celles-ci se produisent lorsque \(y' = 0\), ou en d'autres termes lorsque
\N- (x+3)(y^2-16) =0.\N]
Rappelle-toi que tu cherches une solution, ou en d'autres termes une fonction \(y(x)\) ! L'idée est donc de résoudre \N(y\N) dans l'équation ci-dessus. Cela signifie que tu obtiendras une solution constante lorsque \N(y^2 - 16 = 0\N), ou en d'autres termes lorsque \N(y = 4\N) ou \N(y = -4\N). Il y a donc deux solutions constantes.
Qu'en est-il des autres solutions ? Puisque l'équation est séparable, écris-la d'abord sous la forme suivante
\N[ \Nfrac{1}{y^2-16} y' = x+3\N]
puis intègre les deux côtés par rapport à \(x\) pour obtenir
\[ \frac{1}{4}\ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = \frac{1}{2}x^2 + 3x + C.\].
Puisque tu as résolu l'équation différentielle, mais que tu n'as pas résolu \N(y\N), il s'agit de la solution implicite. Dans la mesure du possible, il est préférable d'écrire la solution de l'équation différentielle sous forme explicite, ou en d'autres termes, de résoudre \(y\).
En faisant un peu d'algèbre, tu obtiens donc
\[ \ln\left|\frac{y-2}{y+2}\right| = 2x^2 + 12x + D\]
où \(D\) est juste un renommage de la constante \(4C\). En utilisant les propriétés des logarithmes, cela signifie que
\[ \left|\frac{y-2}{y+2}\right| = \exp (2x^2 + 12x + D ),\]
donc
\[\frac{y-2}{y+2} = \pm \exp (2x^2 + 12x + D ) .\]
En laissant \(B = \pm e^D\) (qui n'est en fait qu'une autre constante), et en faisant un peu plus d'algèbre, on obtient
\[ \begin{align} y-2 &= (y+2)\left(B\exp (2x^2 + 12x) \right) \\ &= By\exp (2x^2 + 12x )+2 B\exp (2x^2 + 12x ), \end{align}\]
donc
\[ y - By\exp (2x^2 + 12x ) = By\exp (2x^2 + 12x ) \]
et
\[ y(x) = \frac{ By\exp (2x^2 + 12x ) }{1-B\exp (2x^2 + 12x ) }.\]
Si tu préfères, tu peux l'écrire comme suit
\[ y(x) = \frac{ Be^{2x^2 + 12x } }{1-Be^{2x^2 + 12x }.\]
Tu as maintenant deux solutions d'équilibre et une solution générale ! Comment sais-tu laquelle est la bonne ? Eh bien, techniquement, elles sont toutes correctes. Elles constituent un ensemble de fonctions qui résolvent toutes l'équation différentielle. Si l'on te donnait les valeurs initiales, tu pourrais alors soit choisir l'une des solutions d'équilibre, soit résoudre \(B\) dans la solution générale pour obtenir une solution particulière.
Pour voir un exemple d'équation différentielle qui peut avoir une, aucune ou une infinité de solutions en fonction de la valeur initiale, consulte notre article Solutions générales aux équations différentielles.
Si tu souhaites en savoir plus sur les solutions aux problèmes de valeur initiale, consulte les sections Solutions particulières aux équations différentielles et Problèmes de valeur initiale des équations différentielles.
Prenons un autre exemple.
Supposons que tu aies une pizza surgelée et que tu doives la faire cuire. La pizza cuit à \(375^\circ\). La température de ta cuisine est de \(70^\circ\). Quelle est l'équation différentielle qui modélise ce phénomène et quelle est la solution d'équilibre ?
Solution
Tout d'abord, déterminons quelles sont les variables. L'une d'entre elles sera certainement le temps, et l'autre la température, mais tu dois déterminer laquelle est la variable indépendante et laquelle est la variable dépendante. Puisque la température de la pizza dépend du temps, cela signifie que le temps est la variable indépendante et que la température est la variable dépendante. En leur attribuant à chacune une variable, soit
- \(t\) est le temps écoulé depuis la sortie du four ; et
- \(y(t)\) la température depuis la sortie du four.
Tu dois maintenant trouver l'équation qui modélise cette situation. La loi de Newton sur le refroidissement vient à la rescousse ! Rappelle-toi que pour un objet qui se refroidit (dans ce cas, ta pizza se refroidit jusqu'à la température ambiante), la vitesse de changement de la température est donnée par une constante multipliée par la différence entre la température actuelle et la température ambiante. En d'autres termes,
\N-[y'(t) = k(y(t) - 70),\N]
où \(k\) est la constante de refroidissement.
Tu as encore besoin d'une valeur initiale pour compléter cette équation différentielle.
Quelle est la valeur initiale ? C'est la température à la sortie du four, donc \N(y(0) = 375\). Donc pour compléter l'équation différentielle en tant que problème de valeur initiale,
\[\N- &y'(t) = k(y(t) - 70) \N- &y(0)=375 \N-end{align}\N]
où \(k\) est la constante de refroidissement.
Tu dois également trouver la solution d'équilibre. Tu n'as pas besoin de trouver la solution du problème de la valeur initiale pour la trouver, il te suffit de définir \( k(y(t) - 70) =0\), ce qui te donne \(y(t) = 70\). La solution d'équilibre est donc
\N[ y = 70^\circ \N]
ce qui est logique car c'est la température de ta cuisine, et tu t'attends à ce qu'avec le temps, la pizza se refroidisse jusqu'à la température de ta cuisine.
Examinons maintenant un problème connexe.
Supposons que tu aies une pizza surgelée et que tu doives la faire cuire. La pizza cuit à \N(375^\circ\N). La température de ta cuisine est de \(70^\circ \N), et après \(5\N) minutes passées sur le comptoir après la cuisson, la température de ta pizza est de \(350^\circ \N). Bien sûr, tu ne veux pas te brûler la bouche en mangeant la pizza, alors tu veux attendre qu'elle soit à \(300^\circ \N) avant de la manger. Combien de temps devras-tu attendre ?
Solution
Dans l'exemple précédent, tu as vu comment établir cette équation différentielle et trouver la solution d'équilibre, et tu as trouvé que
\[\N- &y'(t) = k(y(t) - 70) \N- &y(0)=375 \N- [\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
où \(k\) est la constante de refroidissement. Mettons à profit ces informations.
Il s'agit d'une belle équation séparable, et l'écrire sous forme séparable te donne
\N[ \Nfrac{1}{y-70}y' = k.\N]
En intégrant les deux côtés par rapport à \(t\), on obtient
\[ \Nln |y-70| = kt+C.\N]
Tu peux soit utiliser les informations données dans le problème pour trouver d'abord \(k\N) et \N(C\N), soit trouver la solution explicite et ensuite trouver les constantes. Dans les deux cas, tu obtiendras la même réponse.
Si tu introduis la condition initiale \ (y(0) = 375\), tu obtiens
\N[ \Nln |375-70| = k\Ncdot 0 + C,\N]
donc \N( C = \N 305\).
Mais comment trouver \N(k\N) ? Demande-toi quelles sont les informations dont tu disposes et que tu n'as pas encore utilisées. Ici, tu sais qu'après \(5\) minutes de repos sur le comptoir après la cuisson, ta pizza est \(350^\circ\), mais tu ne l'as pas utilisée. Si tu traduis cela en variables, tu obtiens \N(y(5) = 350\N). En l'introduisant dans l'équation avec \N(C\N), tu obtiens
\[ \N- \N |350-70| = 5k+\N 305 .\N]
En d'autres termes,
\N- 5k &= \N |350-70| - \N 305 \N &= \N 280 - \N 305 \N &= \N \Nfrac{280}{305}, \Nend{align}\N]
donc
\[k= \frac{1}{5} \ln \frac{280}{305} .\]
En mettant tout cela ensemble, la solution du problème de la valeur initiale est
\[\ln |y-70| =\frac{1}{5} \ln \frac{280}{305} t+\ln 305 .\]
Remarque que la question ne demandait pas de solution explicite, mais plutôt combien de temps il faudrait attendre pour que la pizza soit \ (300^\circ\). Donc, au lieu de chercher une solution explicite, il te suffit d'introduire la température et de résoudre le temps. Cela signifie que
\[ \ln |300-70| = \frac{1}{5}\ln \frac{280}{305} t+\ln 305 \]
donc
\[ \N- 230 - \N- 305 = \N- 1}{5}\N- \N- 280}{305} t \N-]
ce qui signifie
\[ t = 5\frac{ \ln \frac{230}{305}}{ \ln \frac{280}{305} } \approx 16.5.\N].
Tu devras donc attendre environ 16,5 minutes avant de pouvoir manger ta pizza sans te brûler la bouche.
Solutions aux équations différentielles - Principaux enseignements
- Pour vérifier que \N(y(x)\Nest une solution de l'équation différentielle \N(y'=f(x,y)\N), évalue \N(y'(x) - f(x, y(x))\Net regarde si tu obtiens \N(0\N). Si c'est le cas, alors \N(y(x)\N) est une solution.
- Pour obtenir une approximation numérique de la solution d'une équation différentielle, tu peux utiliser la méthode d'Euler.
- Les champs de direction, également appelés champs de pente, utilisent le fait que la dérivée est une pente pour tracer un "champ" de pentes qui peut te permettre de prédire le comportement des solutions.
- Une solution d'équilibre (également appelée solution constante) \(y(x)\) d'une équation différentielle du premier ordre est une solution qui satisfait \(y'(x)\equiv 0\).
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