Fig. 1 - En général, préfères-tu les glaces aux mathématiques ?
Solutions générales aux équations différentielles ordinaires
Qu'est-ce qu'une solution générale d'une équation différentielle ?
La solution générale d'une équation différentielle est une solution sous sa forme la plus générale. En d'autres termes, elle ne tient compte d'aucune condition initiale.
Souvent, tu verras une solution générale écrite avec une constante. La solution générale est appelée une famille de fonctions.
N'importe laquelle des fonctions qui composent la solution générale résoudra l'équation différentielle !
Prenons un exemple pour comprendre pourquoi.
Montre que la fonction
\[y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4}\]
est une solution de
\N- [2xy' = 3-4y\N]
pour toute valeur de \(C\) qui est un nombre réel.
Solution :
En différenciant d'abord la fonction \N(y(x)\N), tu obtiens
\N[ y'(x) = -\frac{2C}{x^3}.\N]
Puis en la substituant dans le côté gauche de l'équation,
\[ \begin{align} 2xy' &= 2x\left(-\frac{2C}{x^3} \right) \\ &= -\frac{4C}{x^2}. \N- [Fin{align}\N]
En substituant le côté droit de l'équation, on obtient
\[ \begin{align} 3-4y &= 3-4\left( \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4} \right) \\N &= 3-\frac{4C}{x^2} - 3 \N &=-\frac{4C}{x^2} .\Nend{align}\N]
Puisque tu obtiens la même chose à gauche et à droite lorsque tu substitues \(y(x)\), il s'agit d'une solution à l'équation. En fait, cela est vrai pour tout nombre réel \(C\).
Si tu fais un graphique de la solution pour certaines valeurs de \(C\), tu peux voir pourquoi la solution générale est souvent appelée une famille de fonctions. La solution générale définit un groupe entier de fonctions qui sont toutes très similaires ! Toutes les fonctions du graphique ci-dessous ont la même asymptote verticale, la même forme et le même comportement à long terme.
Fig. 2 - La solution générale est une famille de fonctions. Ici, tu vois quatre valeurs différentes de \(C\) qui produisent des courbes très similaires.
Solutions générales aux équations différentielles homogènes
Cela fait-il une différence que ton équation différentielle soit homogène lorsque tu trouves la solution générale ? Pas du tout ! La solution générale est définie exactement de la même façon. Prenons un exemple.
Quelle est la solution générale de l'équation différentielle homogène \ (xy' = -2y \)?
Solution :
Il s'agit d'une équation différentielle séparable. Elle peut être réécrite sous la forme suivante
\[\frac{1}{y}y' = -\frac{2}{x}.\N]
Tu peux utiliser un facteur d'intégration pour résoudre cette équation, et pour un rappel sur la façon de procéder, voir l'article Solutions aux équations différentielles. Lorsque tu la résous, tu obtiens
\[ y(x) = \frac{C}{x^2}.\]
Comme la solution dépend d'une constante, il s'agit d'une solution générale. En fait, tu pourrais l'écrire sous la forme suivante
\[ y_C(x) = \frac{C}{x^2}.\]
pour te rappeler que la solution générale dépend de cette constante ainsi que de \(x\).
Remarque que dans l'exemple précédent, la solution générale fait en fait partie de la solution générale du tout premier exemple où tu as examiné l'équation différentielle \(2xy' = 3-4y \). Comment cela se fait-il ?
Il s'avère que l'équation différentielle homogène \ (xy' = -2y \) peut être réécrite comme \(2xy' = -4y \), tu peux donc les considérer comme une équation différentielle non homogène et une équation homogène correspondante:
Continue à lire pour comprendre pourquoi c'est important !
Solutions générales aux équations différentielles non homogènes
Comme tu viens de le voir, les équations différentielles non homogènes ont une équation différentielle homogène correspondante. Alors, comment leurs solutions sont-elles reliées entre elles ?
Pense à la solution générale de l'équation différentielle non homogène \(2xy' = 3-4y \). Tu sais que c'est
\[y_s(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4},\N]
où tu peux considérer que l'indice \(s\) signifie "solution". Considérons que cette solution a deux parties, l'une qui dépend de la constante \(C\), et l'autre qui n'en dépend pas. Ainsi, pour \(y_s(x)\),
\N[ y_C(x) = \frac{C}{x^2} \text{ and } y_p(x) = \frac{3}{4} .\N]
Alors
\N-[y_s(x) = y_C(x) + y_p(x).\N-]\N-[y_s(x) = y_C(x) + y_p(x).\N]
Montrer que \(y_p(x) = \dfrac{3}{4} \N-) résout l'équation différentielle non homogène \N-(2xy' = 3-4y \N).
Solution :
Remarque que \Ny'_p(x) = 0 \N), donc en substituant ceci dans le côté gauche de l'équation, tu obtiens
\N- 2xy_p' = 2x(0) = 0.\N- 2xy_p' = 2x(0) = 0.\N]
En le substituant au côté droit de l'équation, tu obtiens \N[ 3-4y_p' = 2x(0) = 0,
\[ 3-4y_p = 3-4\left(\frac{3}{4}\right) = 0.\]
Puisque tu obtiens la même chose des deux côtés, \(y_p(x)\) est une solution de l'équation différentielle non homogène.
Remarque que si tu laisses \N C=0\N tu obtiens \N y_s(x) = y_p(x)\N. Cela signifie que \N(y_p(x)\Nest l'une des familles de fonctions qui constituent la solution générale de l'équation différentielle non homogène. En d'autres termes, il s'agit d'une solution particulière (c'est pourquoi il s'agit de \(y_p\)), et cette solution particulière résout l'équation différentielle non homogène.
Qu'en est-il de \N(y_C(x)\N) ? Résout-elle l'équation différentielle ?
Est-ce que \N(y_C(x) = \dfrac{C}{x^2}) résout l'équation différentielle non homogène ? \N- Résout-elle l'équation différentielle non homogène \N(2xy' = 3-4y \N)?)
Solution :
Commence par prendre la dérivée :
\[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3}.\N-]
En la substituant ensuite à l'équation différentielle du côté gauche, tu obtiens
\[ \begin{align} 2xy_C' &= 2x\left( -\frac{2C}{x^3} \right) \\ &= -\frac{4C}{x^2} ,\Nend{align}\]
et du côté droit, tu obtiens
\N- [\N- Début{align} 3-4y_C &= 3-4\left(\frac{C}{x^2} \right) \\\\N &= 3-\frac{4C}{x^2} .\Nend{align}\N]
Ce ne sont définitivement pas les mêmes, donc \N(y_C(x)\N) ne résout pas l'équation différentielle non homogène.
Si \ (y_C(x)\) ne résout pas l'équation différentielle non homogène, que résout-elle ?
Montre que \ (y_C(x) = \dfrac{C}{x^2} \ ) résout l'équation différentielle homogène correspondante \ (2xy' = -4y \).
Solution :
Comme précédemment,
\N[y'_C(x) = -\frac{2C}{x^3},\N]
et en le substituant au côté gauche de l'équation, tu obtiens encore
\[ 2xy_C' = -\frac{4C}{x^2} .\]
Cependant, en substituant \N(y_C(x)\N au côté droit de l'équation, tu obtiens maintenant
\[ -4y_C = -\frac{4C}{x^2} ,\]
Donc \N(y_C(x)\Nrésout l'équation différentielle homogène correspondante.
Il s'avère que tu peux écrire la solution générale d'une équation différentielle non homogène comme la somme d'une solution particulière de l'équation différentielle non homogène et de la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante !
C'est important parce qu'il est souvent plus facile de trouver une solution générale à un problème homogène qu'à un problème non homogène, et il ne te reste plus qu'à trouver une solution au problème non homogène. Si tu as de la chance, il s'avérera que la solution particulière est une constante, comme dans l'exemple ci-dessus.
Solutions générales aux équations différentielles du premier ordre
Les articles Solutions aux équations différentielles et Équations différentielles linéaires contiennent beaucoup d'informations et d'exemples sur la façon de résoudre les équations différentielles du premier ordre. En fait, les exemples ci-dessus concernaient le premier ordre, mais les concepts de solutions générales et particulières s'appliquent également aux équations d'ordre supérieur.
En fait, si tu es intéressé par la résolution d'équations du premier ordre qui sont non linéaires, tu peux jeter un coup d'œil à l'article Équations linéaires non homogènes.
Exemples de solutions générales aux équations différentielles
Jetons un coup d'œil à d'autres exemples de solutions générales d'équations différentielles.
Laquelle des solutions suivantes est une solution générale de l'équation différentielle non homogène ?
\N-[y' = y+\sin x?\N]
(a) \N(y(x) = Ce^x\)
(b) \N(y(x) = \sin x + \cos x\N)
(c) \N(y(x) = Ce^x -\Ndfrac{1}{2}(\Nsin x + \Ncos x )\N).
Solution :
Pour trouver la solution, tu peux soit résoudre l'équation différentielle non homogène, soit essayer de brancher chacun des éléments. Plus tu t'exerceras, plus tu t'habitueras à regarder une équation et à avoir une idée générale de ce que sera la solution. Examinons chacune des solutions potentielles tour à tour.
(a) Grâce à ton expérience des équations différentielles linéaires, tu sais déjà que \(y(x) = Ce^x\) est la solution de l'équation différentielle homogène \(y'=y\). Il s'agit de la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante de l'équation différentielle non homogène. En d'autres termes, ce serait \N(y_C(x)\N), et tu as déjà vu que \N(y_C(x)\Nne résout pas l'équation différentielle non homogène.
(b) Cette solution potentielle semble plus prometteuse car elle contient des fonctions trigonométriques. Si tu la places dans le côté droit de l'équation différentielle non homogène, tu obtiens
\[ \begin{align} y+\sin x &= \sin x + \cos x + \sin x \\ &= 2\sin x + \cos x. \end{align}\]
En prenant la dérivée, tu obtiens
\N-[y'(x) = \Ncos x -\Nsin x.\N]
Ce n'est pas tout à fait la même chose, donc cette fonction n'est pas la solution générale de l'équation différentielle non homogène.
(c) Cette solution potentielle possède à la fois la solution de l'équation différentielle homogène correspondante et des fonctions trigonométriques. Elle pourrait fonctionner ! En prenant la dérivée, tu obtiens
\[y'(x) = Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x).\N]
En l'introduisant dans le côté droit de l'équation, tu obtiens
\Ce^x -\frac{1}{2}(\sin x + \cos x ) + \sin x Ce^x +\frac{1}{2}\sin x -\frac{1}{2} \sin x -\frac{1}{2} \sin x. \cos x \\ &= Ce^x -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) .\end{align}\]
Puisque tu obtiens la même chose des deux côtés, cette fonction est une solution générale de l'équation différentielle non homogène.
Dans l'exemple précédent, tu as vu que \(y(x) = Ce^x -\dfrac{1}{2}(\sin x + \cos x )\) est une solution générale de l'équation différentielle non homogène \(y' = y+\sin x \), et que \(y_C(x) = Ce^x \) est une solution générale de l'équation différentielle non homogène correspondante. Que peux-tu conclure à propos de la fonction
\N[y(x) = -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) ?\N]
Puisque tu peux écrire la solution générale d'une équation différentielle non homogène sous la forme \N(y_C(x) + y_p(x)\N), cela implique que
\[y_p(x) = -\frac{1}{2}(\cos x - \sin x) \]
est une solution particulière de l'équation différentielle non homogène !
Solution générale d'une équation différentielle - Principaux enseignements
- La solution générale d'une équation différentielle est une solution sous sa forme la plus générale. En d'autres termes, elle ne tient compte d'aucune condition initiale.
- Les équations différentielles non homogènes ont des équations différentielles homogènes correspondantes.
- Tu peux écrire la solution générale d'une équation différentielle non homogène comme la somme d'une solution particulière de l'équation différentielle non homogène et de la solution générale de l'équation différentielle homogène correspondante.
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