Lorsque la porte tourne, elle crée une forme cylindrique. En général, si tu fais tourner un rectangle autour d'une ligne fixe, tu obtiendras un cylindre. Ce cylindre est connu sous le nom de solide de révolution car tu l'as obtenu au moyen d'une rotation.
En faisant tourner différents objets de différentes manières, tu peux produire différents solides de révolution. Jetons-y un coup d'œil !
Définition du solide de révolution
Comme nous l'avons déjà mentionné, en faisant tourner une courbe autour d'une ligne fixe et en la remplissant, tu obtiens un solide. Comme ce solide est obtenu au moyen d'une révolution, on l'appelle un solide de révolution.
Un solide de révolution, également appelé volume de révolution, est une figure solide obtenue en faisant tourner une courbe autour d'une ligne droite. La droite qui sert de référence à la rotation de la courbe est appelée axe de révolution.
Un solide de révolution doit être visualisé dans l'espace tridimensionnel, car il doit avoir un volume. Commence par une fonction \(f(x)\) sur un intervalle \([a, b].\)
Figure 1. Une fonction \N( y=f(x) \N) représentée sur le plan \N(xy-\N)
Ensuite, fais tourner la courbe autour d'un axe donné. Cet axe peut être quelconque, mais en général, c'est l'axe \(x-\)qui est choisi en calcul. Tu dois imaginer que la courbe sort de l'écran !
Figure 2. La fonction a été tournée le long de l'axe \(x-\)}.
En faisant cela, tu obtiens ce que l'on appelle la surface de révolution.
Figure 3. La surface de révolution obtenue par la rotation \(f(x)\) le long de l'axe \(x-\)
Enfin, tu obtiens le solide en remplissant ce qui se trouve à l'intérieur de la surface de révolution. Le résultat est une région en trois dimensions.
Figure 4. Le solide de révolution obtenu à partir de la rotation \(f(x)\) le long de l'axe \(x-\)
Toute autre ligne droite peut être utilisée comme axe de révolution. Par exemple, tu peux utiliser l'axe \(y-\), la droite \( x=2,\) ou même une fonction linéaire, comme \(y=x.\) Il y a des tonnes de possibilités !
Volume d'un solide de révolution
Tu peux former deux types de solides de révolution en faisant tourner une courbe autour d'un axe : les disques et les rondelles. Nous allons les examiner l'un après l'autre.
La méthode du disque
La méthode du disque est utilisée lorsque l'axe de révolution est une limite pour le solide de révolution.
La méthode du disque consiste essentiellement à découper le solide de révolution en une série de cylindres aplatis, ou disques, d'où le nom de la méthode. Pour trouver le volume du solide entier, on additionne le volume de chaque disque.
Figure 5. Disque obtenu par rotation d'un segment d'une fonction dont la limite inclut l'axe de rotation.
Pour obtenir le volume exact, tu dois découper le solide en une infinité de disques. Pour plus d'informations sur cette méthode, consulte notre article sur la méthode du disque !
La méthode de la rondelle
Lorsque l'axe de révolution n'est pas une limite pour le solide de révolution, on utilise la méthode de la rondelle.
La méthode de la rondelle consiste essentiellement à découper le solide de révolution en une série de rondelles aplaties. Une rondelle est essentiellement un disque avec un trou au milieu ou un disque dans un disque !
Le volume de chaque rondelle peut être trouvé en soustrayant le volume du disque intérieur du volume du disque extérieur. Ensuite, pour trouver le volume du solide entier, on additionne le volume de chaque rondelle.
Figure 6. Rondelle obtenue par rotation d'une fonction dont la frontière n'inclut pas l'axe de rotation.
Pour obtenir la mesure de volume la plus précise, nous devrions découper le solide en une infinité de rondelles aplaties. Tu as besoin de plus d'informations sur cette méthode ? Consulte notre article sur la méthode des rondelles.
Surface d'un solide de révolution
Une surface de révolution est un peu différente. Comme son nom l'indique, c'est un peu comme une feuille mince ou une peau.
La surface de révolution est la surface qui délimite le solide de révolution.
Essentiellement, tu peux trouver une surface de révolution en faisant tourner une courbe autour d'un axe, tout comme un solide de révolution. Cependant, cette figure n'est pas remplie, c'est un objet mathématique complètement creux !
Figure 7. Une surface de révolution est complètement creuse
Remarque que malgré l'apparence d'une rondelle, la surface de révolution est complètement creuse. Cela signifie qu'une surface de révolution n'a pas d'épaisseur, et qu'elle n'a donc pas de volume du tout ! Un solide obtenu par la méthode de la rondelle a une épaisseur, il a donc aussi un volume.
Centroïde d'un solide de révolution
Lorsque tu étudieras les solides de révolution, tu rencontreras peut-être le terme centroïde. C'est principalement parce que la formule pour trouver le volume d'un solide de révolution est très similaire à la formule pour trouver le centroïde d'une plaque mince ou d'une lamelle.
Consulte notre article sur la densité et le centre de masse pour en savoir plus à ce sujet !
Bien qu'il soit possible de trouver le centroïde d'un solide de révolution, le calcul est beaucoup plus complexe et sort du cadre de cet article.
Formule du volume d'un solide de révolution
Pour trouver le volume d'un solide de révolution, tu dois d'abord savoir s'il est obtenu par la méthode du disque ou par la méthode de la rondelle.
Dans le cas de la méthode du disque, la section transversale d'un disque est un cercle dont l'aire est \(\pi r^{2}\). Si l'axe de rotation est l'axe des x, le rayon de chaque disque est donné par la fonction, c'est-à-dire
\N[ r=f(x).\N]
Pour additionner tous les disques, tu dois intégrer, donc la formule pour un solide de révolution obtenue par la méthode des disques est la suivante.
\[ \begin{align} V &=\int_a^b \pi \left(f(x)\right)^2\,\mathrm{d}x \N &= \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2\,\mathrm{d}x. \N- [end{align}\N]
Si ton solide de révolution est plutôt obtenu par la méthode de la rondelle, tu dois retirer l'aire de la fonction intérieure, ce qui donne la formule suivante
\[ \begin{align} V &= \int_a^b \pi \left( f(x) \right)^2\,\mathrm{d}x - \int_a^b \pi \left( g(x) \right)^2 \, \mathrm{d}x \N &= \pi \int_a^b \left( \left( f(x) \right) ^2 - \left( g(x) \right)^2 \right) \, \mathrm{d}x. \N-END{align}\N-]
Exemples de solides de révolution
Tu peux ici jeter un coup d'œil à quelques solides de révolution qui peuvent être obtenus par différentes méthodes et avec différents axes de rotation. Pour savoir comment calculer les volumes de ces solides de révolution, consulte nos articles sur la méthode du disque et la méthode de la rondelle.
Exemple de méthode du disque
Considère la fonction
\[y=x^2 \quad \text{for} \quad 0\leq x \leq 2.\]
Pour la fonction donnée ci-dessus :
- Utilise la méthode du disque pour trouver le solide de révolution en utilisant l'axe \(x-\)comme axe de rotation.
- Utilise la méthode du disque pour trouver le solide de révolution en utilisant l'axe \(y-\)comme axe de rotation.
Solution :
Tout d'abord, représente graphiquement la fonction dans le plan \(xy-\).
Figure 8. Graphique de la fonction dans le plan \(xy-\)
Comme le solide de révolution dépend de l'axe de rotation, tu dois traiter chaque cas un par un.
- Utilise la méthode du disque pour trouver le solide de révolution en utilisant l'axe \(x-\)comme axe de rotation.
Ici, tu dois faire tourner la fonction le long de l'axe \(x-\). Imagine que la courbe sort de l'écran !
Figure 9. Rotation de la courbe le long de l'axe \(x-\)
La région résultante est maintenant mise en évidence. Comme il s'agit d'un solide de révolution, tu dois aussi le remplir !
Figure 10. Solide de révolution obtenu en faisant tourner la fonction le long de l'axe \(x-\)
Cela ressemble à une trompette, n'est-ce pas ?
- Utilise la méthode du disque pour trouver le solide de révolution en utilisant l'axe \(y-\)comme axe de rotation.
Il est maintenant temps de faire tourner la fonction le long de l'axe \(y-\). Une fois de plus, vois cela comme si la fonction allait à l'intérieur et à l'extérieur de l'écran de façon circulaire !
Figure 11. Rotation de la figure le long de l'axe \(y-\)
Cette région est ensuite mise en évidence et remplie.
Figure 12. Solide de révolution obtenu en faisant tourner la fonction le long de l'axe \(y-\)}.
Maintenant, cela ressemble à une antenne parabolique. Sympa, non ?
Exemple de méthode du laveur
Considère les fonctions
\[f(x)=-(x-2)^2+3 \quad \text{for} \quad 1\leq x\leq 3,\N]
et
\[g(x)=-(x-2)^2+2 \quad \text{for} \quad 1\leq x\leq 3.\]
Utilise la méthode de la rondelle pour trouver le solide de révolution obtenu en faisant tourner la limite de l'aire entre les deux courbes le long de l'axe \N(x-\N).
Solution :
Comme d'habitude, commence par représenter graphiquement les deux fonctions.
Figure 13. Graphique des fonctions dans le plan \(xy-\)
Ensuite, on fait tourner les fonctions le long de l'axe \(x-\)pour obtenir deux surfaces de révolution.
Figure 14. Surfaces de révolution obtenues par la rotation des fonctions le long de l'axe \(x-\)
Figure 15. Solide de révolution obtenu par rotation de la zone délimitée entre les deux fonctions.
L'objet obtenu, bien que creux, est un solide de révolution. Considère-le comme la peau épaisse d'un pamplemousse pas encore mûr !
Solide de révolution - Principaux enseignements
- Un solide de révolution est une figure solide obtenue par la rotation d'une courbe autour d'une ligne droite appelée axe de révolution.
- Pour obtenir un solide de révolution d'une fonction \(f(x)\) sur un intervalle \([a, b]\), tu dois faire tourner la courbe autour d'un axe donné (vertical ou horizontal), ce qui produit une région tridimensionnelle.
- Si l'axe de rotation est une frontière de la courbe, tu peux utiliser la méthode du disque pour obtenir le solide de révolution.
- Si l'axe de rotation n'est pas une limite de la courbe, tu dois utiliser la méthode de la rondelle . Le solide de révolution obtenu sera creux.
- Une surface de révolution est la surface qui délimite un solide de révolution. Une surface de révolution n'a pas d'épaisseur, elle n'a donc pas de volume.
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