Solide de révolution

Définition du solide de révolution

Comme nous l'avons déjà mentionné, en faisant tourner une courbe autour d'une ligne fixe et en la remplissant, tu obtiens un solide. Comme ce solide est obtenu au moyen d'une révolution, on l'appelle un solide de révolution.

Un solide de révolution doit être visualisé dans l'espace tridimensionnel, car il doit avoir un volume. Commence par une fonction \(f(x)\) sur un intervalle \([a, b].\)

Figure 1. Une fonction \N( y=f(x) \N) représentée sur le plan \N(xy-\N)

Ensuite, fais tourner la courbe autour d'un axe donné. Cet axe peut être quelconque, mais en général, c'est l'axe \(x-\)qui est choisi en calcul. Tu dois imaginer que la courbe sort de l'écran !

Figure 2. La fonction a été tournée le long de l'axe \(x-\)}.

En faisant cela, tu obtiens ce que l'on appelle la surface de révolution.

Figure 3. La surface de révolution obtenue par la rotation \(f(x)\) le long de l'axe \(x-\)

Enfin, tu obtiens le solide en remplissant ce qui se trouve à l'intérieur de la surface de révolution. Le résultat est une région en trois dimensions.

Figure 4. Le solide de révolution obtenu à partir de la rotation \(f(x)\) le long de l'axe \(x-\)

Toute autre ligne droite peut être utilisée comme axe de révolution. Par exemple, tu peux utiliser l'axe \(y-\), la droite \( x=2,\) ou même une fonction linéaire, comme \(y=x.\) Il y a des tonnes de possibilités !

Volume d'un solide de révolution

Tu peux former deux types de solides de révolution en faisant tourner une courbe autour d'un axe : les disques et les rondelles. Nous allons les examiner l'un après l'autre.

La méthode du disque

La méthode du disque est utilisée lorsque l'axe de révolution est une limite pour le solide de révolution.

La méthode du disque consiste essentiellement à découper le solide de révolution en une série de cylindres aplatis, ou disques, d'où le nom de la méthode. Pour trouver le volume du solide entier, on additionne le volume de chaque disque.

Figure 5. Disque obtenu par rotation d'un segment d'une fonction dont la limite inclut l'axe de rotation.

Pour obtenir le volume exact, tu dois découper le solide en une infinité de disques. Pour plus d'informations sur cette méthode, consulte notre article sur la méthode du disque !

La méthode de la rondelle

Lorsque l'axe de révolution n'est pas une limite pour le solide de révolution, on utilise la méthode de la rondelle.

La méthode de la rondelle consiste essentiellement à découper le solide de révolution en une série de rondelles aplaties. Une rondelle est essentiellement un disque avec un trou au milieu ou un disque dans un disque !

Le volume de chaque rondelle peut être trouvé en soustrayant le volume du disque intérieur du volume du disque extérieur. Ensuite, pour trouver le volume du solide entier, on additionne le volume de chaque rondelle.

Figure 6. Rondelle obtenue par rotation d'une fonction dont la frontière n'inclut pas l'axe de rotation.

Pour obtenir la mesure de volume la plus précise, nous devrions découper le solide en une infinité de rondelles aplaties. Tu as besoin de plus d'informations sur cette méthode ? Consulte notre article sur la méthode des rondelles.

Surface d'un solide de révolution

Une surface de révolution est un peu différente. Comme son nom l'indique, c'est un peu comme une feuille mince ou une peau.

Essentiellement, tu peux trouver une surface de révolution en faisant tourner une courbe autour d'un axe, tout comme un solide de révolution. Cependant, cette figure n'est pas remplie, c'est un objet mathématique complètement creux !

Figure 7. Une surface de révolution est complètement creuse

Remarque que malgré l'apparence d'une rondelle, la surface de révolution est complètement creuse. Cela signifie qu'une surface de révolution n'a pas d'épaisseur, et qu'elle n'a donc pas de volume du tout ! Un solide obtenu par la méthode de la rondelle a une épaisseur, il a donc aussi un volume.

Centroïde d'un solide de révolution

Lorsque tu étudieras les solides de révolution, tu rencontreras peut-être le terme centroïde. C'est principalement parce que la formule pour trouver le volume d'un solide de révolution est très similaire à la formule pour trouver le centroïde d'une plaque mince ou d'une lamelle.

Consulte notre article sur la densité et le centre de masse pour en savoir plus à ce sujet !

Bien qu'il soit possible de trouver le centroïde d'un solide de révolution, le calcul est beaucoup plus complexe et sort du cadre de cet article.

Formule du volume d'un solide de révolution

Pour trouver le volume d'un solide de révolution, tu dois d'abord savoir s'il est obtenu par la méthode du disque ou par la méthode de la rondelle.

Dans le cas de la méthode du disque, la section transversale d'un disque est un cercle dont l'aire est \(\pi r^{2}\). Si l'axe de rotation est l'axe des x, le rayon de chaque disque est donné par la fonction, c'est-à-dire

\N[ r=f(x).\N]

Pour additionner tous les disques, tu dois intégrer, donc la formule pour un solide de révolution obtenue par la méthode des disques est la suivante.

\[ \begin{align} V &=\int_a^b \pi \left(f(x)\right)^2\,\mathrm{d}x \N &= \pi \int_a^b \left(f(x)\right)^2\,\mathrm{d}x. \N- [end{align}\N]

Si ton solide de révolution est plutôt obtenu par la méthode de la rondelle, tu dois retirer l'aire de la fonction intérieure, ce qui donne la formule suivante

\[ \begin{align} V &= \int_a^b \pi \left( f(x) \right)^2\,\mathrm{d}x - \int_a^b \pi \left( g(x) \right)^2 \, \mathrm{d}x \N &= \pi \int_a^b \left( \left( f(x) \right) ^2 - \left( g(x) \right)^2 \right) \, \mathrm{d}x. \N-END{align}\N-]

Exemples de solides de révolution

Tu peux ici jeter un coup d'œil à quelques solides de révolution qui peuvent être obtenus par différentes méthodes et avec différents axes de rotation. Pour savoir comment calculer les volumes de ces solides de révolution, consulte nos articles sur la méthode du disque et la méthode de la rondelle.

Exemple de méthode du disque

Exemple de méthode du laveur