Formule pour les séries de puissances
Tu as peut-être deviné que tous les termes d'une série de puissances sont essentiellement des puissances d'une variable. Si tu as pensé cela, tu as tout à fait raison.
Une série de la forme
\N[ \Ndébut{align} \sum _{n=0} ^{\infty} c_{n} (x-a) ^{n} = c _{0} + c _{1} (x-a) + c _{2} (x-a) ^{2} + ... \Nend{align} \]
s'appelle une série de puissance centrée sur \N( x=a \N).
En examinant de plus près la série de puissance centrée sur \N( x=a \N), il apparaît naturellement un cas particulier de série de puissance lorsque \N( a=0 \N) :
Une série de la forme
\N[ \Ndébut{alignement} \sum _{n=0} ^{\infty} c_{n} x ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} + ... \Nend{align} \]
s'appelle une série de puissance centrée sur \N( x=0 \N).
Remarquez que dans les deux définitions, on suppose que \N( (x-a)^0=1 \N) lorsque \N( x=a \N) et \N( x^0=1 \N) lorsque \N( x=0 \N).
La série de puissances centrée sur \N( x=0 \N) te semble très familière. En fait, si tu te reportes à l'article sur les séries géométriques, tu remarqueras une énorme similitude entre la série de puissance centrée sur \( x=0 \) et la série géométrique ; voyons un exemple :
Vérifie si la série suivante converge :
\[ \N- début{alignement} \Nsomme _{n=0} ^{\infty} x ^{n} =1+x+x^2+x^3+... \N- fin{alignement} \N].
Réponse :
En regardant la définition, tu peux voir que cette série est un exemple de série de puissance centrée sur \N( x=0 \N), où
\[ c_n=1, \text{ for all } n\ge 0\]
D'un autre point de vue, tu peux voir qu'il s'agit également d'une série géométrique, en rappelant qu'une série géométrique a la forme suivante :
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} ar ^{n}=a+ar+ar^2+\dots \N]Dans cet exemple, tu as
\N[ a=1 \Ntexte{ et } r=x. \N]
Une série géométrique converge si et seulement si \( |r|<1 \) ; par conséquent, la série ne converge que si
\[ |x|<1. \]
Ou, en d'autres termes, si
\[ -1<x<1, \]
alors la série
\[ \begin{align} \sum _{n=0} ^{\infty} x ^{n} \end{align} \]
converge. Comme il s'agit d'une série géométrique convergente, elle converge vers
\N[ \Nsomme _{n=0} ^{\Nfty} x ^{n} = \Nfrac{1}{1-x}. \N]
Remarque que cela n'est possible que si tu affirmes que \( |x|<1 \) ; sinon, tu ne peux pas appliquer la formule ci-dessus.
Consulte notre article sur les séries géométriques pour plus d'informations sur les séries géométriques et leur formule de somme.
La série
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots \]
et
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+1} =1+\frac{x-1}{2} +\frac{(x-1) ^2}{3}+\frac{(x-1) ^3}{4}+\dots \]
sont toutes deux des séries de puissances. La première est centrée sur \(x=0\) avec
\N[ c_n = \frac{1}{n!}, \N]
tandis que la seconde est centrée sur \(x=1\) avec
\[ c_n = \frac{1}{n+1}. \]
Série de puissance à rayon de convergence
En analysant la définition des séries de puissance, tu peux remarquer que la série dépend de la valeur de \( x \N). Cela suggère que tu peux avoir une série de puissance qui converge pour certaines valeurs de \N( x \N) et qui diverge pour d'autres. La distance à laquelle elle converge est appelée le rayon de convergence. Voyons une définition formelle :
Le rayon de convergence d'une série de puissances, centrée sur \N( x=a \N), est une valeur réelle \N( R \N) où
- La série converge pour tout \( x \N) tel que \( |x-a|<R \N)
- La série diverge pour tout \N( x \N) tel que \N( |x-a|>R \N)
Si la série ne converge que pour \N( x=a \N), alors \N( R=0 \N). Si la série converge pour toutes les valeurs de \N- x \N-, alors \N- R=\Nfy \N-.
Remarque que la définition ne mentionne pas le cas où \( |x-a|=R \). C'est parce que la convergence de la série à ces valeurs ne change pas le rayon de convergence. Cependant, tu dois quand même vérifier si la série converge en ces points pour écrire l'intervalle de convergence, alors définissons ce qu'est cet intervalle :
L'intervalle contenant toutes les valeurs de \( x \) telles que la série des puissances converge sur ces valeurs s'appelle l'intervalle de convergence. Il a la forme de \( (a-R,a+R) \), selon que la série converge ou non aux points extrêmes.
La forme de l'intervalle de convergence dépend du fait que la série converge ou non aux extrémités \(a-R\) et \(a+R\).
Une question qui découle de ces définitions est de savoir comment calculer le rayon de convergence ? Tu peux utiliser les tests de convergence, plus précisément le test du ratio. Parfois, tu peux avoir besoin du test de racine, mais cela dépend de la série que tu analyses. Jetons un coup d'œil à quelques exemples.
Quels sont le rayon et l'intervalle de convergence des séries suivantes ?
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!} =1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\dots \]
Réponse :
Le test du ratio indique qu'une série converge si
\N[ \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \Nà gauche| \Nfrac{a_{n+1}}{a_n} \Nà droite| <1. \N].
- Dans cette série, tu as
\[ a_n = \frac{x ^{n}}{n!}. \]
- En appliquant le test du ratio et en simplifiant l'expression
\[ \N-{align}L &= \N-{limites_{n \Nà \Nfty}]. \left| \frac{x ^{n+1}}{(n+1)!} \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \right| \\&= \lim\limits_{n \to \infty} \a gauche| \frac{x ^{n+1}}{(n+1)\cdot n!} \cdot \frac{n!}{x ^{n}} \Ndroite| \N&= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \a gauche| \frac{x}{n+1} \right|\\&= |x| \lim\limits_{n \to \infty} \frac{1}{n+1} \N- &= |x| \Ncdot 0 \N- &= 0 \N- &< 1.\Nend{align} \]
Comme la limite est zéro et ne dépend pas de la valeur de \N( x \N), tu as
- Intervalle de convergence
\N[ (-\infty, +\infty) \N]
- Rayon de convergence
\[ R=\infty \N]
L'exemple ci-dessus est classique, et tu le verras dans d'autres domaines. Voyons maintenant un autre exemple où la série ne converge pas pour toutes les valeurs de \( x \N).
Trouve le rayon et l'intervalle de convergence de la série suivante :
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]
Réponse :
Appliquons à nouveau le test du ratio.
- Dans cette série, tu as
\[ a_{n}=\frac{(x-1)^{n}}{n+1}. \]
- En appliquant le test du ratio et en simplifiant l'expression
\[ \N- \N{align}L &= \N- \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{(x-1)^{n+1}}{n+2} \cdot \frac{n+1}{(x-1)^{n}} \Ndroite| \N&= \Nlimites_{n \Nà \Nfty} \left| \frac{(x-1)(n+1)}{n+2}\right| \\\N- &= |x-1| \cdot \Nlimites_{n \Nà \infty} \frac{n+1}{n+2} \N- &= |x-1| \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- 1 \N- &= |x-1|. \Nend{align} \]
Comme le résultat de la limite dépend de la valeur de \N( x \N), mais le test de ratio dit que cette limite doit être plus petite que l'unité pour que la série soit convergente. Vérifie-le :
- D'après le test du rapport, tu as
\[ |x-1|<1.\]
- Résous cette inégalité,
\[ \begin{align} -1 &< x-1 < 1 \\ -1 +1 &< x < 1+1 \\ 0 &< x < 2. \end{align} \]
De cette façon, tu as que l'intervalle de convergence est \N( (0,2) \N). Mais tu n'as pas encore terminé ! Tu dois vérifier si la série converge ou non aux extrémités. Vérification des extrémités :
- Pour \( x=0 \), tu as la série suivante
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{n+1}. \]
- Comme il s'agit d'une série alternée, tu peux appliquer le théorème de Leibniz. Consulte l'article sur les séries alternées pour plus d'informations. Si tu utilises le théorème de Leibniz, alors
\[ a_n=\frac{1}{n+1}. \]
- Application du théorème
- Tu as besoin que \N( a_n >0 \N), ce qui est valable pour cette série ;
- Il faut que \N( a_n \ge a_{n+1}\N), ce qui est également valable puisque \N[ n+1 < n+2\N] implique que \N[\Nfrac{1}{n+1} > \Nfrac{1}{n+2}.\N].
- Il faut que \N( \Nlimite_{n \Nà \Nfty} a_n = 0), ce qui est également vrai puisque \N[ \Nlimite_{n \Nà \Nfty} \Nfrac{1}{n+1}=0.\N].
Par conséquent, la série converge pour \N( x=0 \N). Examinons l'autre extrémité.
- Pour \N( x=2 \N), tu as la série suivante
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{1}{n+1}. \]
- En substituant \N( m=n+1 \N) pour s'assurer que la série commence à zéro, tu as
\[ \sum _{m=1} ^{\infty} \frac{1}{m} . \]
Il s'agit de la série harmonique, qui est divergente.
En rassemblant tous ces éléments, tu peux dire :
- Intervalle de convergence
\[ [0, 2) \]
- Rayon de convergence
\[ R=1 \]
Expansion des séries de puissance
L'une des parties les plus intéressantes de l'étude des séries de puissance est la possibilité d'écrire une fonction sous la forme d'un développement de série de puissance. Cela peut sembler bizarre au début, mais plus les fonctions que tu étudies sont complexes, plus il est difficile de les intégrer ou de les différencier. En fait, certaines fonctions ne peuvent même pas être intégrées de manière traditionnelle. Mais si tu peux les écrire sous forme de séries de puissances, alors tu ne feras qu'intégrer et différencier des fonctions de puissances.
Étant donné une fonction \N( f(x) \N), le développement en série de \N( f\N) est une série de puissance telle que
\[ f(x)=\sum _{n=0} ^{\infty} c_n x^n\]
pour un rayon de convergence donné.
Jetons d'abord un coup d'œil à un vieil ami, la série géométrique :
Montre que la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{1-x} \]
peut être écrite sous la forme d'un développement en série géométrique.
Réponse :
Pour revenir à la série géométrique, la formule serait la suivante
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} a r^n = \frac{a}{1-r}, |r|<1. \]
En regardant \N( f(x) \N) et en la comparant avec la série géométrique, si tu prends \N( a=1 \N) et \N( r=x \N) tu peux la substituer à la série, ce qui donne
\N[ \Nsum _{n=0} ^{\Nfty} x^n = \Nfrac{1}{1-x}, |x|<1. \N].
Par conséquent, si \( -1<x<1\) alors le développement en série de \( f(x) \) est
\[ f(x) = \frac{1}{1-x} = 1+x+x^2+x^3+\dots \]
Prenons un autre exemple.
Montre que la fonction
\[ f(x)=\frac{1}{4+x^2} \]
peut être écrite sous la forme d'un développement en série de puissances.
Réponse :
Écrivons la fonction d'une manière plus utile en faisant un peu d'algèbre :
\[ \N- Début{align}f(x) &= \Nfrac{1}{4+x^2} \N- &= \frac{1}{4(1+\frac{x^2}{4})} \N- \N &= \Nfrac{\Nfrac{1}{4}}{1-\Ngauche(-\Nfrac{x^2}{4}\Ndroite)}. [\N-{align}\N]
En regardant la nouvelle forme de \( f(x) \N) et en la comparant à la série géométrique, tu peux définir
\[ \N- \N-{ début{align} a=\Nfrac{1}{4}, \N-{texte{ et } r=-\Nfrac{x^2}{4}. \N-{end{align} \N]
Puis en le substituant à nouveau dans la série,
\[ \begin{align} \frac{1}{4+x^2} &= \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{1}{4}\gauche( -\frac{x^2}{4}\droite)^n \N &= \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{(-1)^n}{4} \left(\frac{x^2}{4}\right)^n .\end{align}\]
Ceci n'est valable que si \( |r|<1 \) ! Par conséquent
\[ \begin{align} \N- gauche| \Nfrac{x^2}{4}\Ndroite| &<1 \N- gauche| \Nfrac{x^2}{4}\Ndroite| &< 1 \N- \Nfrac{x^2}{4} &< 1 \N- x^2 &<4 \N- -2 < &x < 2 \N- end{align}\N]
Par conséquent, si \(-2<x<2\) alors le développement en série de \( f(x) \) est
\[ f(x) = \frac{x^2}{x^2+4} = 1-\frac{x^2}{4}+\frac{x^4}{16}-\frac{x^6}{64}+\dots \]
Dérivée d'une série de puissances
Maintenant que tu peux écrire certaines fonctions sous la forme d'un développement en série de puissances, voyons ce qui se passe lorsque tu dois calculer la dérivée de cette fonction ; comme il s'agit d'une somme de fonctions de puissances, cela devrait être simple. Tout d'abord, rappelle quelques propriétés des dérivées :
- Règle des puissances
\N[ (x^n)' = nx^{n-1} \N]
- La dérivée d'un multiple constant
\N- (cf)'(x)=cf'(x) \N]
- La dérivée d'une somme
\[ (f+g)'(x)=f'(x)+g'(x) \]
En utilisant ces trois propriétés, tu peux prendre la dérivée de n'importe quelle série de puissance.
Considère \( f(x) \) comme la série de puissance suivante
\N[ f(x) = \Nsum _{n=0} ^{\infty} c_n x^n. \N]
Alors \N( f'(x) \N) est donné par
\N[ f'(x) = \Nsum _{n=1} ^{\infty} c_n n x^{n-1} \N]
Développons la série précédente :
\N[ \N f(x) = c_0+c_1 x+c_2x^2+c_3x^3+\Npoints \N].
Prends la dérivée de chaque terme en utilisant les propriétés de la dérivée pour obtenir
\N-[ \N-{align} f'(x) &= [c_0+c_1 x+c_2x^2+c_3x^3+...]' \N- 0+c_1+2c_2x+3c_3x^2+... \\N- &= c_1+2c_2x+3c_3x^2+\dots \Nend{align} \]
Remarquez que \Nf'(x)\Ncommence maintenant par le terme \Nc_1 \Net qu'il n'est donc plus logique que la série commence à \Nn=0 \N. Par conséquent, la notation sigma de \Nf(x) \Nest la suivante
\[ \N- f'(x) = \Nsum _{n=1} ^{\infty} n c_n x^{n-1}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Voyons quelques exemples.
Calcule la dérivée de la fonction suivante :
\[ f(x) = \sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}. \]
Réponse :
Considère d'abord la forme développée de cette série
\[ f(x) = 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\dots \]
En prenant la dérivée, on obtient
\[ \i1}f'(x) &= \i1}gauche[ 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\i}points \i}droite]' \i1] = 0+1+x+\frac{x^4}{24}+\frac{x^5}{120}+\i}points \i] droite= 0+1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots \\\N- &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots \end{align} \]
Par conséquent, tu as le fait utile que
\[ \begin{align} f(x) &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots\ f'(x) &= 1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\frac{x^4}{24}+\dots \ f'(x) &=f(x). \Nend{align} \]
Calculons maintenant \(f'(x)\N) en utilisant la notation sigma :
\[ f'(x) = \left[\sum _{n=0} ^{\infty} \frac{x ^{n}}{n!}\right]' .\]
En utilisant les propriétés de la dérivée,
\N[ \N- Début{alignement} f'(x) &= \Nsum _{n=0} ^{\infty} \left[ \frac{x ^{n}}{n!}\right]' \N &= \sum _{n=1} ^{\infty} \frac{nx ^{n-1}}{n!}. \Nend{align} \]
Tu voudrais que la série commence à zéro, alors remplace \N( m=n-1 \N) pour obtenir
\N- [\N- Début{align} f'(x) &= \Nsum _{m=0} ^{\infty} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)!} \N- &= \Nsum _{m=0} ^{\infty} \frac{(m+1)x ^{m}}{(m+1)\cdot m!} \N- &= \Nsum _{m=0} ^{\infty} \frac{x ^{m}}{m!}.\Nend{align} \]
Remarque que la série de puissances pour \( f'(x) \N) est la même que la série pour \( f(x) \N) ! À quelle autre fonction peux-tu penser où la dérivée de la fonction te redonne la fonction ? Oui, c'est ton vieil ami la fonction exponentielle. Il faut un peu plus de travail pour montrer que \(f(x)\) est en fait la même que la fonction exponentielle, et c'est quelque chose que tu verras dans un cours ultérieur.
Examinons un cas où la prise de la dérivée peut t'aider.
Considère l'expansion de la série de puissance suivante
\[ \N- f(x) = \Nfrac{1}{1-x} = \Nsum _{n=0} ^{\infty} x^n,\nquad |x|<1. \end{align} \]
Trouve un développement en série de puissances pour la fonction
\[ g(x) = \frac{1}{(1-x)^2}.\]
Réponse :
Pour commencer à résoudre ce problème, remarque d'abord que \N( g(x) \N) est la dérivée de \N( f(x)\N) :
\[ \N- f'(x) &= \Nleft( \Nfrac{1}{1-x} \Nright)' \N- &= \Nfrac{0\cdot(1-x) - 1\Ncdot(-1)}{(1-x)^2} \N- &= \frac{1}{(1-x)^2} \N- &= g(x). \Nend{align} \]
Maintenant que tu sais que \N( g(x)=f'(x) \N), tu peux prendre la dérivée de la série de puissance, et cela deviendra l'expansion de la série de puissance de \N( g(x) \N). Ce faisant, tu obtiens
\[ \begin{align} f'(x) &= \left[ \sum _{n=0} ^{\infty} x^n\right]' \\ &= \sum _{n=0} ^{\infty} \left[ x^n\right]' \\ &= \sum _{n=1} ^{\infty} n x^{n-1}. \Nend{align} \]
Tu peux faire commencer la série à zéro en remplaçant \N( m = n-1 \N). Par conséquent
\[ g(x) = \sum _{m=0} ^{\infty} (m+1) x^{m}.\]
N'oublie pas que cela n'est possible que si \(|x|<1\) ! Tu ne peux pas te débarrasser des contraintes sur \(x\).
Séries de puissance courantes
Au cours de ton apprentissage des séries de puissances, tu rencontreras plusieurs séries de puissances différentes. Cependant, tu remarqueras certaines séries communes, à commencer par celles qui peuvent être écrites sous forme de séries géométriques. Jetons un coup d'œil.
Écris la fonction suivante sous la forme d'une série de puissances
\[ f(x)=\dfrac{1}{1-x}+\dfrac{1}{1+x}.\]
Réponse :
Utilise d'abord un peu d'algèbre pour écrire cette fonction de façon plus compacte :
Additionne les fractions
\[ \begin{align} f(x) &=\dfrac{1+x+1-x}{(1-x)\cdot(1+x)} \\ &=\dfrac{2}{(1-x^2)} . [\N-{align}\N]
Ensuite, compare-le aux séries géométriques
\[ \begin{align} \sum _{n=0} ^{\infty} a r^n &= \frac{a}{1-r}, |r|<1 \\ f(x) &=\dfrac{2}{(1-x^2)}. \N- [Fin{alignement}\N]
Fixe maintenant \N(a = 2\N) et \N(r= x^2\N). Rappelle-toi que pour qu'une série géométrique converge, il faut que \( |r|<1\), donc tu dois prendre en compte
\[ \begin{align} \N- gauche| x^2\Ndroite| <1 \N x^2<1 \N -1<x<1. \Nend{align}\N]
Tu peux maintenant établir la série avec l'intervalle de convergence :
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} 2 (x^2)^n = \frac{2}{1-x^2}, \quad |x|<1, \N].
ou en simplifiant
\[ \sum _{n=0} ^{\infty} 2 x^{2n} = \frac{2}{1-x^2}, \quad |x|<1.\N].
Par conséquent, si \N- -1<x<1 \N- vous avez le développement en série suivant pour \Nf(f(x)\N) :
\N-[ \N-{align} f(x) & = \Nsum _{n=0} ^{\infty} 2 x^{2n} \N- &= 2 + 2x^2+2x^4+2x^6+\dots \Nend{align}\N]
D'autres séries de puissances courantes sont celles liées aux fonctions \( \cos(x) \) et \( \sin(x) \). Elles sont très semblables l'une à l'autre. En approfondissant le domaine des séries de puissance, tu verras que :
\[ \begin{align} \sin(x) &= \sum _{n=0} ^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} = x - \dfrac{x^3}{3!} + \dfrac{x^5}{5!} - \dfrac{x^7}{7!}+\dots \\\N- \cos(x) &= \sum _{n=0} ^{\infty} (-1)^n \dfrac{x^{2n}}{(2n)!} = 1 - \dfrac{x^2}{2!} + \dfrac{x^4}{4!} - \dfrac{x^6}{6!}+\dots \end{align}\]
Vérifions le rayon et l'intervalle de convergence pour \( \sin(x) \).
Pour calculer le rayon et l'intervalle de convergence, pour l'expansion de la série de puissance de \(\sin(x)\), tu dois appliquer le test de ratio pour la convergence.
Commence par définir \N( a_n \N) comme suit
\N[ a_n = (-1)^n \Ndfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!}.\N]
Applique le test du ratio et simplifie l'expression pour obtenir
\N-[ \N-{align}L &= \N-{limites_{n \Nà \Nfty}]. \left| \frac{(-1)^{n+1} \cdot x ^{2(n+1)+1}}{(2(n+1)+1)!} \cdot \frac{(2n+1)!}{(-1)^n \cdot x ^{2n+1}} \right| \\ &= \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{(-1) \cdot x ^2 \cdot (2n+1)!}{(2n+3)!} \right| \\ &= |x^2| \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{(2n+1)!}{(2n+3)(2n+2)(2n+1)!} \right| \\ &= |x^2| \cdot \lim\limits_{n \to \infty} \left| \frac{1}{(2n+3)(2n+2)} \right| \e &= |x^2| \cdot 0 \e &= 0. \eend{align} \]
Comme la limite est zéro et ne dépend pas de la valeur de \N( x \N), tu as
- Intervalle de convergence
\N[ (-\infty, +\infty) \N]
- Rayon de convergence
\[ R=\infty \]
De la même façon, tu trouveras que l'expansion de la série des puissances pour \( cos(x) \N) a son intervalle de convergence comme \N( (-\Ninfty, +\Nfty) \N) et son rayon de convergence comme \N( R=\Nfty \N).
Séries de puissance - Principaux enseignements
- Une série de puissances centrée sur \N( x=a \N) a la forme suivante
\N[ \Nsomme _{n=0} ^{\infty} c_{n} (x-a) ^{n} = c _{0} + c _{1} (x-a) + c _{2} (x-a) ^{2} + \dots \]
Une série de puissance centrée sur \N( x=0 \N) a la forme suivante
\N[ \Nsomme _{n=0} ^{\infty} c_{n} (x) ^{n} = c _{0} + c _{1} x + c _{2} x ^{2} +\dots \]
Le rayon de convergence est une valeur réelle \( R \N) où
La série converge pour tout \( x \N) tel que \( |x-a|<R \N)
La série diverge pour tout \N( x \N) tel que \N( |x-a|>R \N)
Si la série ne converge que pour \N( x=a \N) alors \N( R=0 \N).
Si la série converge pour toutes les valeurs de \N( x \N) alors \N( R=\Nfty \N).
L'expansion de la série de puissance de \( f\N) est une série de puissance telle que
\[ f(x)=\sum _{n=0} ^{\infty} c_n x^n\]
pour un rayon de convergence donné.
Dérivée d'une expansion de série de puissance
\N[ f(x) = \Nsum _{n=0} ^{\infty} c_n x^n \N]
Par conséquent, \N( f'(x) \N) est donné par
\N- f'(x) = \Nsum _{n=1} ^{\infty} c_n n x^{n-1} \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
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