Séries Alternées: Mathématiques, Physique

Table des mateères

Formule des séries alternées

Une série

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

est dite alternée si $a_{n} > 0$ sont positifs.

La série est-elle

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

une série alternée ?

Réponse : Oui, il s'agit d'une série alternée car tu peux l'écrire sous la forme suivante

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n} = \sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} (\frac{1}{n})$

et laisse

$a_{n} = \frac{1}{n} > 0$ .

N'oublie pas que

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{1}{n}$

s'appelle la série harmonique, les gens l'appellent donc

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n}$

la série harmonique alternée parce qu'elle est basée sur la série harmonique.

La somme d'une série alternée

Tu pourrais être tenté de faire la somme d'une série alternée en regroupant les sommes de cette façon :

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n} = - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - \dots = (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + (- 1 + 1) + \dots = 0 + 0 + 0 + 0 + \dots = 0,$

Mais regardons la séquence des sommes partielles pour voir si c'est vrai. La séquence des sommes partielles de cette série est donnée par :

$\begin{matrix} s_{1} & = & - 1 \\ s_{2} & = & - 1 + 1 = 0 \\ s_{3} & = & 0 + - 1 = - 1 \\ s_{4} & = & - 1 + 1 = 0 \\ ⋮ \end{matrix}$

qui, en tant que séquence, ne converge pas du tout ! Tu sais maintenant que la série ne converge pas, donc la réponse de 0 pour la somme ci-dessus n'est pas correcte. Cela signifie que tu ne peux pas regrouper un nombre infini de termes en utilisant les propriétés de l'addition comme tu le ferais s'il s'agissait d'une somme finie.

Le test des séries alternées

Ce serait bien d'avoir un moyen simple de voir si une série alternée converge ou non. C'est là que le test des séries alternées s'avère utile. Ce test est également appelé théorème de Leibniz.

Test des séries alternées (théorème de Leibniz) : Si la série alternée

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

possède les propriétés suivantes :

1. chaque $a_{n} > 0$ ;

2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ pour tout $n > N$ où $N$ est un nombre naturel fixe ; et

3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,

alors la série converge.

Tu peux aussi examiner la convergence absolue par rapport à la convergence conditionnelle pour les séries alternées, et pour plus d'informations à ce sujet, voir Convergence absolue et conditionnelle.

Pour en revenir à la série harmonique alternée, tu sais déjà que la première condition du test de la série alternée est satisfaite parce que

$a_{n} = \frac{1}{n} > 0$ .

Condition 2 : Puisque

$a_{n} = \frac{1}{n}$ et $a_{n + 1} = \frac{1}{n + 1}$

tu sais que $a_{n} > a_{n + 1}$ car $n < n + 1$ ce qui implique que

$\frac{1}{n} > \frac{1}{n + 1}$ ,

donc la deuxième condition est satisfaite.

Condition 3 : Tu sais aussi que

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n} = 0$ ,

la troisième condition est donc remplie.

Cela signifie que tu peux appliquer le test des séries alternées pour dire que la série harmonique alternée converge.

N'oublie pas que la série harmonique diverge, donc parfois, le fait de passer d'une série régulière à une série alternée peut la faire passer de divergente à convergente.

Il est très important de noter que le test des séries alternées peut te dire si quelque chose converge, mais il ne peut pas te dire si quelque chose diverge !

Exemples de séries alternées

Examinons quelques exemples de séries alternées, et voyons si elles convergent ou non à l'aide du test des séries alternées.

Tu sais que la série P

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(\frac{1}{n})}^{2}$

converge parce que $p = 2$ .

Que peux-tu dire de la série P alternée ?

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}$ ?

Réponse : Avant d'appliquer le test de la série alternée, tu dois t'assurer que toutes les conditions sont remplies.

Condition 1 : Ici

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}} > 0$

la première condition est donc remplie.

Condition 2 : Tu sais que

$a_{n} = \frac{1}{n^{2}}$

$a_{n + 1} = \frac{1}{{(n + 1)}^{2}} = \frac{1}{n^{2} + 2 n + 1} < \frac{1}{n^{2}} = a_{n}$ ,

la deuxième condition est donc remplie.

Condition 3 : regarde la limite,

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{n^{2}} = 0$ ,

la troisième condition est donc remplie.

Cela signifie que le test des séries alternées indique que la série

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1}}{n^{2}}$

converge.

Peux-tu utiliser le test des séries alternées pour savoir si la série

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n}}{\sqrt{n}}$

converge ?

Réponse :

Vérifions les conditions du test des séries alternées.

Condition 1 : Pour cette série

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}} > 0$ ,

la première condition est donc remplie.

Condition 2 : Ici

$a_{n} = \frac{1}{\sqrt{n}}$ et $a_{n + 1} = \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ .

Tu n'as peut-être pas une bonne intuition de la façon dont $a_{n}$ et $a_{n + 1}$ se comparent l'une à l'autre, alors essayons une valeur pour $n$ et voyons ce qui se passe. Si $n = 10$ , alors

$a_{10} = \frac{1}{\sqrt{10}} \approx 0.3162$ , et $a_{11} = \frac{1}{\sqrt{11}} \approx 0.3015$ ,

ce qui signifie que $a_{10} > a_{11}$ . C'est dans ce sens que tu souhaiterais que l'inégalité aille. En fait, puisque $n < n + 1$ , tu sais que $\sqrt{n} < \sqrt{n + 1}$ ce qui implique

$\frac{1}{\sqrt{n}} > \frac{1}{\sqrt{n + 1}}$ ,

donc en général $a_{n} > a_{n + 1}$ . Tu sais maintenant que la deuxième condition tient.

Condition 3 : Regarde la limite,

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ ,

la troisième condition est donc également valable.

Grâce au test des séries alternées, tu sais que la série converge.

Comme dans l'exemple précédent, tu peux montrer que les sommes partielles de la série

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1}$

divergent, ce qui signifie que la série diverge. Que se passe-t-il si tu essaies d'utiliser le test des séries alternées ?

Réponse :

Tout d'abord, examinons la séquence des sommes partielles de cette série. Tu sais que

$\begin{matrix} s_{1} & = & 1 \\ s_{2} & = & 1 - 1 = 0 \\ s_{3} & = & 0 + 1 = 1 \\ s_{4} & = & 1 - 1 = 0 \\ ⋮ \end{matrix}$

Donc, en fait, la séquence des sommes partielles diverge, ce qui, par définition, signifie que la série diverge.

Pour appliquer le test des séries alternées, il faut que les trois conditions soient remplies. Pour cette série, $a_{n} = 1$ pour tout $n$ ce qui signifie que la première condition est remplie. Mais pour vérifier la deuxième condition, il faut que $a_{n} > a_{n + 1}$ ou, en d'autres termes, que $1 > 1$ ce qui n'est pas vrai. C'est encore pire quand tu regardes la limite dans la troisième condition puisque

$\lim_{n \to \infty} a_{n} = \lim_{n \to \infty} 1 = 1$ ,

qui n'est certainement pas zéro. Ainsi, même si tu sais en regardant les sommes partielles que cette série diverge, tu ne peux pas utiliser le test des séries alternées pour dire quoi que ce soit à ce sujet.

Tu pourrais utiliser l'équivalence logique "si A alors B" est la même que "si B est faux alors A est faux" pour dire que si une ou plusieurs des trois conditions n'est pas remplie, alors la série diverge. Cependant, il est incorrect de dire que si l'une des trois conditions du test de la série alternée n'est pas remplie, alors la série diverge. Tu peux plutôt dire que si une série alternée diverge, c'est qu'elle ne remplit pas une ou plusieurs des trois conditions du test des séries alternées.

Si tu tombes sur une série alternée où la troisième condition est fausse, alors tu voudras essayer d'utiliser plutôt le test du ^nième terme pour la divergence. En fait, c'est généralement un bon test pour commencer avec les séries alternées car il est moins difficile à appliquer que le test des séries alternées. Voir Test de divergence pour plus de détails.

Regarde la série

$\sum_{n = 1}^{\infty} \frac{{(- 1)}^{n + 1} n}{2 n - 1}$ .

Cette série diverge, ce qui signifie qu'une ou plusieurs des trois conditions du test des séries alternées n'est pas remplie. Quelle est la condition qui échoue ?

Réponse :

Ici

$a_{n} = \frac{n}{2 n - 1}$ ,

et tu peux voir que la première condition tient.

Condition 2 : Pour vérifier la condition 2, montrer que $a_{n} > a_{n + 1}$ revient à montrer que $a_{n} - a_{n + 1} > 0$ . Donc

id="5257673" role="math" $a_{n} - a_{n + 1} = \frac{n}{2 n - 1} - \frac{n + 1}{2 (n + 1) - 1} = \frac{1}{(2 n - 1) (2 n + 1)} = \frac{1}{4 n^{2} - 1} > \frac{1}{4 n^{2}} > 0$

et la deuxième condition tient.

Condition 3 : regarder la limite,

$\lim_{n \to \infty} \frac{n}{2 n - 1} = \frac{1}{2}$ ,

qui n'est certainement pas zéro. Cela signifie que la condition 3 du test des séries alternées échoue.

La série de l'exemple ci-dessus s'avère être divergente à l'aide du test de divergence du ^nième terme. Voir Test de divergence pour plus de détails.

Théorème d'estimation des séries alternées

Parfois, il suffit de savoir approximativement vers quoi converge une série alternée et à quelle distance tu te trouves de la réponse. Pour cela, tu peux utiliser le théorème de limite des séries alternées.

Théorème : Limite de la série alternée

Si la série alternée

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

a les propriétés suivantes

1. chacun $a_{n} > 0$ ;

2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ pour tout $n > N$ où $N$ est un nombre naturel fixe ; et

3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,

alors l'erreur de troncature pour la ^nième somme partielle est inférieure à $a_{n + 1}$ et a le même signe que le premier terme non utilisé.

Une autre façon de parler de l'erreur de troncature est de se rappeler que

$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

est en fait la limite de la série, et que

$\sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$

est la somme partielle de la série, qui est une approximation de la limite. L'erreur est la différence entre la limite et la somme partielle, ou en d'autres termes

ERREUR $= |\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n} - \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} a_{k}|$ .

La limite des séries alternées t'indique que

ERREUR $= |\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n} - \sum_{k = 1}^{n} {(- 1)}^{k + 1} a_{k}| \leq a_{n + 1}$ .

Mieux encore, tu peux savoir s'il s'agit d'une surestimation ou d'une sous-estimation en voyant si ${(- 1)}^{n + 1}$ est positif ou négatif. S'il est positif, la somme partielle est surestimée, et s'il est négatif, ta somme partielle est sous-estimée.

Remarque que ces 3 conditions sont exactement les mêmes que pour le test des séries alternées ! Donc si tu ne peux pas appliquer le test des séries alternées parce que l'une des conditions n'est pas remplie, tu ne peux pas non plus appliquer le théorème de la limite des séries alternées.

Jetons un coup d'œil à la série harmonique alternée. Tu sais déjà que les termes du théorème de la limite des séries alternées sont satisfaits grâce à un exemple précédent. Cela signifie que tu peux appliquer le théorème de la limite des séries alternées en toute sécurité.

Supposons que tu additionnes les 10 premiers termes. Quelle est la distance entre la somme partielle et la réponse réelle ?

Réponse : Si tu fais le calcul,

$s_{10} = \frac{1267}{2520} \approx 0.6456$ ,

donc en utilisant le théorème de la limite de la série alternée, l'erreur de troncature pour $s_{10}$ est inférieure à

id="5257688" role="math" $a_{11} = \frac{1}{11}$ .

Le fait que le terme ${(- 1)}^{11}$ est négatif t'indique qu'il s'agit d'une sous-estimation plutôt que d'une surestimation.

Séries alternées - Points clés à retenir

Une série
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
est dite alternée si $a_{n} > 0$ .
sont positives.
Test des séries alternées (théorème de Leibniz) : Si la série alternée
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
possède les propriétés suivantes :
1. chaque $a_{n} > 0$ ;
2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ pour tout $n > N$ où $N$ est un nombre naturel fixe ; et
3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,
alors la série converge.
Théorème : Limite des séries alternées
Si la série alternée
$\sum_{n = 1}^{\infty} {(- 1)}^{n + 1} a_{n}$
possède les propriétés suivantes :
1. chaque $a_{n} > 0$ ;
2. $a_{n} \geq a_{n + 1}$ pour tout $n > N$ où $N$ est un nombre naturel fixe ; et
3. $\lim_{n \to \infty} a_{n} = 0$ ,
alors l'erreur de troncature pour la ^nième somme partielle est inférieure à $a_{n + 1}$ et a le même signe que le premier terme non utilisé.

Fiches dans Séries Alternées 4

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Quel est l'autre nom du test de la série alternée ?

Théorème de Leibniz.

Le test des séries alternées peut-il t'aider si l'une des trois conditions n'est pas remplie ?

Non. Tout ce que dit le test des séries alternées, c'est que si les trois conditions sont remplies, alors la série converge. Il ne dit rien sur la divergence.

Quel test est-il bon d'utiliser sur une série alternée avant d'essayer le test de la série alternée ?

Le test du ^nième terme pour la divergence est un bon test à utiliser car il est moins difficile à appliquer que le test de la série alternée.

Si tu as une série alternée à laquelle tu ne peux pas appliquer le test de la série alternée, peux-tu utiliser le théorème de la limite de la série alternée ?

Non. Les conditions d'utilisation de l'un ou l'autre sont les mêmes.

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Questions fréquemment posées en Séries Alternées

Qu'est-ce qu'une série alternée en mathématiques?

Une série alternée est une série dont les termes changent de signe successivement. Par exemple, la série de Leibniz pour π est une série alternée.

Comment déterminer la convergence d'une série alternée?

Pour déterminer la convergence d'une série alternée, on utilise le critère de Leibniz: les termes doivent tendre vers zéro et décroître en valeur absolue.

Quel est un exemple de série alternée?

Un exemple classique de série alternée est la série de Leibniz: 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + ...

Pourquoi les séries alternées sont-elles importantes?

Les séries alternées sont importantes car elles permettent des approximations dans divers domaines des mathématiques, comme le calcul de π ou l'analyse des fonctions.

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