Série géométrique

Formule pour une série géométrique

Il est pratique de regarder la notation de la somme d'une série géométrique. La série gé ométrique obtenue à partir d'une suite géométrique se présente comme suit

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}$

où $a$ et id="5257552" role="math" $r\ne 0$ sont des nombres réels constants. Tout comme pour une suite géométrique, $r$ est appelé le rapport commun.

Sommes partielles d'une série géométrique

Si tu contractes un prêt, tu n'as certainement pas envie d'effectuer un nombre infini de paiements ! Il peut donc être utile d'avoir une formule pour les sommes partielles d'une série géométrique. La ^nième somme partielle est

$s_n=a+\hspace{0.17em}ar+a{r}^2+\dots +a{r}^{n-1}$.

Remarque qu'il s'agit essentiellement d'un polynôme de (n-1^)ème degré où $r$ est la variable.

Que se passe-t-il si tu multiplies les deux côtés par $r$? Tu obtiens alors

$r{s}_n=ar+\hspace{0.17em}a{r}^2+a{r}^3+\dots +a{r}^n$.

Si tu soustrais les deux équations, tu obtiens

$\begin{array}{ccc}{s}_n-r{s}_n& =& \left(a+r+r^2+\dots +\hspace{0.17em}a{r}^{n-1}\right)-\left(ar+a{r}^2+\dots +a{r}^n\right)\\ s_n-r{s}_n& =& a-a{r}^n\end{array}$

ce qui est très bien, car tu peux alors facilement résoudre la question suivante $s_n$ tant que $r\ne 1$ pour obtenir

$s_n=\frac{a-a{r}^n}{1-r}=\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$.

Convergence d'une série géométrique

Une fois que tu as une belle formule pour les sommes partielles d'une série, tu peux regarder la limite pour voir quand elle converge. Examinons donc quelques valeurs de $r$ pour voir quand

$\underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r}$

existe. Fais un peu d'algèbre,

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }{s}_n=\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a\left(1-r^n\right)}{1-r} \\ =\underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]. \end{gathered}$$

La première partie de la limite ne dépend pas de $n$mais tu dois certainement t'assurer que $r\ne 1$ afin de ne pas diviser par zéro. En factorisant les constantes de la deuxième partie, tu obtiens

$$\begin{gathered} \underset{n\to \infty }{\lim }\left[\frac{a}{1-r}-\frac{a{r}^n}{1-r}\right]=\frac{a}{1-r}-\frac{a}{1-r}\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n \\ =\left(\frac{a}{1-r}\right)\left[1-\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n\right]. \end{gathered}$$

Tu peux donc voir que si

$\underset{n\to \infty }{\lim }{r}^n$

existe, alors la limite de la série existera également.

Cette limite existe lorsque $r$ se situe entre $-1$ et $1$. Mais il faut quand même faire un peu attention, car ce n'est pas une suite géométrique si $r=0$et tu ne peux pas utiliser $r=1$ (parce que cela te donnerait une division par zéro) ou $r=-1$ (parce que la suite avec $r=-1$ ne converge pas).

Somme d'une série géométrique

Les séries géométriques sont particulièrement intéressantes parce que tu peux dire quand elles convergent et vers quoi elles convergent exactement. D'après la discussion précédente, une série géométrique converge lorsque $-1<r<1$ et diverge dans le cas contraire. Lorsque la série géométrique converge, le fait de prendre la limite des sommes partielles te donne.. :

$\sum _{n=1}^{\infty }a{r}^{n-1}=\frac{a}{1-r}$.

Exemples avec les séries géométriques

Examinons quelques exemples et voyons ce que les séries géométriques peuvent te dire.

Une série géométrique avec un visuel pratique est la série

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n$.

Commence par un carré dont les côtés ont une longueur de 1. Divise ensuite ce carré en deux. Chaque moitié du carré a une surface égale à $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$2$}\right.$.

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Carré dont les côtés ont une longueur de 1, divisé en deux | StudySmarter Original

Ensuite, divise le côté vide en deux. La nouvelle sous-section aura une surface égale à $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$4$}\right.$.

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Carré aux côtés de longueur 1, divisé à nouveau en deux | StudySmarter Original

Encore une fois, divise la section vide en deux. Il en résultera une sous-section dont l'aire sera $\raisebox{1ex}{$1$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$8$}\right.$.

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Carré aux côtés de longueur 1, illustrant une série géométrique | StudySmarter Original

Ce processus peut être poursuivi indéfiniment. Ci-dessous se trouve l'image où le carré a été divisé 7 fois.

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Diviser un carré pour illustrer une série géométrique sous forme d'aire | StudySmarter Original

On dirait que si tu continues le processus, tu rempliras le carré. Jette un coup d'œil à la série géométrique,

$\sum _{n=1}^{\infty }{\left(\frac{1}{2}\right)}^n=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$

où elle a d'abord été réécrite pour être sous la forme correcte avec $a=r=1/2$. Ensuite

$\sum _{n=1}^{\infty }\left(\frac{1}{2}\right){\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=1$

ce qui correspond à l'aire du carré. Donc en fait ce processus finira par remplir le carré.