Série géométrique

As-tu déjà contracté un prêt ou réfléchi au montant des intérêts que tu paierais si tu le faisais ? Dans ce cas, tu as pensé aux séries géométriques, qui peuvent être utilisées pour calculer le TAEG d'un prêt.

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Définition d'une série géométrique

Comment sais-tu si une série est géométrique ou non ? Cela dépend de la séquence à partir de laquelle tu l'as créée. Si la suite qui compose la série est géométrique, alors la série est géométrique. Rappelle-toi qu'une suite géométrique est une suite dont chaque nouveau terme est obtenu en multipliant le précédent par une constante. La suite aura donc la forme suivante a,ar,ar2,ar3,r0.

Une série géométrique est une série formée en additionnant les termes d'une suite géométrique.

Formule pour une série géométrique

Il est pratique de regarder la notation de la somme d'une série géométrique. La série gé ométrique obtenue à partir d'une suite géométrique se présente comme suit

n=1arn-1

a et id="5257552" role="math" r0 sont des nombres réels constants. Tout comme pour une suite géométrique, r est appelé le rapport commun.

Note que lorsque r=0 la série converge, ce n'est plus une série géométrique.

Sommes partielles d'une série géométrique

Si tu contractes un prêt, tu n'as certainement pas envie d'effectuer un nombre infini de paiements ! Il peut donc être utile d'avoir une formule pour les sommes partielles d'une série géométrique. La nième somme partielle est

sn=a+ar+ar2++arn-1.

Remarque qu'il s'agit essentiellement d'un polynôme de (n-1)ème degré où r est la variable.

Que se passe-t-il si tu multiplies les deux côtés par r? Tu obtiens alors

rsn=ar+ar2+ar3++arn.

Si tu soustrais les deux équations, tu obtiens

sn-rsn=a+r+r2++arn-1-ar+ar2++arnsn-rsn=a-arn

ce qui est très bien, car tu peux alors facilement résoudre la question suivante sn tant que r1 pour obtenir

sn=a-arn1-r=a1-rn1-r.

Convergence d'une série géométrique

Une fois que tu as une belle formule pour les sommes partielles d'une série, tu peux regarder la limite pour voir quand elle converge. Examinons donc quelques valeurs de r pour voir quand

limnsn=limna1-rn1-r

existe. Fais un peu d'algèbre,

limnsn=limna1-rn1-r=limna1-r-arn1-r.

La première partie de la limite ne dépend pas de nmais tu dois certainement t'assurer que r1 afin de ne pas diviser par zéro. En factorisant les constantes de la deuxième partie, tu obtiens

limna1-r-arn1-r=a1-r-a1-rlimnrn=a1-r1-limnrn.

Tu peux donc voir que si

limnrn

existe, alors la limite de la série existera également.

Pour un rappel sur la façon de prendre la limite d'une suite et de décider quand elle converge, voir Limite d'une suite.

Cette limite existe lorsque r se situe entre -1 et 1. Mais il faut quand même faire un peu attention, car ce n'est pas une suite géométrique si r=0et tu ne peux pas utiliser r=1 (parce que cela te donnerait une division par zéro) ou r=-1 (parce que la suite avec r=-1 ne converge pas).

Somme d'une série géométrique

Les séries géométriques sont particulièrement intéressantes parce que tu peux dire quand elles convergent et vers quoi elles convergent exactement. D'après la discussion précédente, une série géométrique converge lorsque -1<r<1 et diverge dans le cas contraire. Lorsque la série géométrique converge, le fait de prendre la limite des sommes partielles te donne.. :

n=1arn-1=a1-r.

Exemples avec les séries géométriques

Examinons quelques exemples et voyons ce que les séries géométriques peuvent te dire.

Une série géométrique avec un visuel pratique est la série

n=112n.

Commence par un carré dont les côtés ont une longueur de 1. Divise ensuite ce carré en deux. Chaque moitié du carré a une surface égale à 12.

Première étape de l'illustration des séries géométriques avec des carrés StudySmarter

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Carré dont les côtés ont une longueur de 1, divisé en deux | StudySmarter Original

Ensuite, divise le côté vide en deux. La nouvelle sous-section aura une surface égale à 14.

Illustration d'une série géométrique avec un carré deuxième étape StudySmarter

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Carré aux côtés de longueur 1, divisé à nouveau en deux | StudySmarter Original

Encore une fois, divise la section vide en deux. Il en résultera une sous-section dont l'aire sera 18.

Carré dont les côtés sont de longueur 1 illustrant la série géométrique troisième étape StudySmarter

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Carré aux côtés de longueur 1, illustrant une série géométrique | StudySmarter Original

Ce processus peut être poursuivi indéfiniment. Ci-dessous se trouve l'image où le carré a été divisé 7 fois.

Interprétation géométrique de la série géométrique avec r = 1/2 StudySmarter

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Diviser un carré pour illustrer une série géométrique sous forme d'aire | StudySmarter Original

On dirait que si tu continues le processus, tu rempliras le carré. Jette un coup d'œil à la série géométrique,

n=112n=n=11212n-1

où elle a d'abord été réécrite pour être sous la forme correcte avec a=r=1/2. Ensuite

n=11212n-1=121-12=1

ce qui correspond à l'aire du carré. Donc en fait ce processus finira par remplir le carré.

Décide si la série

n=17-n-23n+1

converge ou diverge.

Réponse :

Il peut être utile de faire d'abord un peu d'algèbre pour donner à la série une forme plus agréable. En faisant cela,

7-n-23n+1=7-n7-23n3=3n3727n=34937n

donc en fait

n=17-n-23n+1=349n=137n.

Attention, ce n'est pas tout à fait la même forme que la définition d'une série géométrique. Réécris-la plutôt sous la forme suivante

n=17-n-23n+1=349n=13737n-1

qui est une série géométrique avec id="5257555" role="math" a=r=3/7 et la forme est correcte. Puisque -1<r<1 la série converge. Mieux encore, tu peux dire vers quoi elle converge :

n=17-n-23n+1=349371-37=3493774=9196.

Séries géométriques - Points clés à retenir

  • Une série géométrique est créée à partir d'une suite géométrique et ressemble à ce qui suit

    n=1arn-1

    a et r sont des nombres réels constants.

  • Lorsque r=0 il ne s'agit pas d'une suite géométrique car le rapport entre les termes consécutifs n'est pas constant.
  • Les sommes partielles d'une suite géométrique ont la forme suivante sn=a-arn1-r=a1-rn1-r.
  • Une suite géométrique converge lorsque -1<r<1 et diverge dans le cas contraire.
  • Lorsque la suite géométrique converge,

    n=1arn-1=a1-r.

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Série géométrique
Questions fréquemment posées en Série géométrique
Qu'est-ce qu'une série géométrique?
Une série géométrique est une série de termes où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par un rapport commun.
Comment trouver la somme d'une série géométrique?
Pour une série géométrique infinie de raison r (|r|<1), la somme est S = a / (1 - r) où a est le premier terme.
Quand une série géométrique converge-t-elle?
Une série géométrique converge si la valeur absolue du rapport commun r est inférieure à 1 (|r| < 1).
Quel est un exemple de série géométrique?
Un exemple est la série 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ..., où chaque terme est multiplié par 1/2.
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