Signification de la série de Maclaurin
Dans l'article sur les séries de Taylor, tu peux voir comment écrire une fonction sous forme de série de puissancea> en utilisant ses propres dérivées, mais alors quel est l'intérêta> d'une série de Maclaurin si nous pouvons déjà le faire à l'aide des séries de Taylor ?
Pour faire court, Colin Maclaurin a tellement étudié le cas particulier de la série de Taylor que ce cas particulier a été nommé d'après lui. Mais tout d'abord, rappelons la série de Taylor :
Soit \N( f \N) une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \N( x=a \N).
La série de Taylor pour \N( f \N) à \N( x=a \N) est
\[ T_f(x) = f(a) + f'(a)(x-a)+\dfrac{f''(a)}{2!}(x-a)^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(a)}{n!}(x-a)^n+\cdots, \]
où \(T_f\) signifie la série de Taylor de \(f\), et \( f^{(n)} \) indique la \( n\)-ième dérivée de \( f\).
Comme tu peux le voir, la série de Taylor est toujours centrée sur une valeur donnée \( x=a\), donc chaque fois que nous la centrons sur \( x=0\), nous appelons cette série une série de Maclaurin, voyons voir :
Soit \( f \) une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \( x=0 \).
La série de Maclaurin (forme développée) pour \N( f \N) est
\[ M_f(x) = f(0) + f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots, \]
où \(M_f\) désigne la série de Maclaurin de \(f\), et \( f^{(n)} \) indique la \( n\)-ième dérivée de \( f\).
Formule de la série de Maclaurin
La série de Maclaurin peut être présentée sous plusieurs formes : en écrivant les termes de la série ou en montrant la notation sigma de celle-ci. Selon les cas, l'une ou l'autre sera la meilleure façon de présenter la formule de la série de Maclaurin. Avant de voir la forme développée de la série, voyons maintenant la notation sigma:
Soit \N( f \N) une fonction qui a des dérivées de tous les ordres à \N( x=0 \N).
La série de Maclaurin (notation sigma) pour \N( f \N) est la suivante
\[ M_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n , \]
où \( f^{(n)} \) indique la \( n\)-ième dérivée de \( f \), et \( f^{(0)}\) est la fonction originale \( f \).
En fin de compte, le processus est le même que pour les séries de Taylor :
Étape 1 : trouver les dérivées ;
Étape 2: les évaluer à \N( x=0 \N) ;
Étape 3 : puis mettre en place la série de puissances.
Voyons un exemple :
Ecris la série de Maclaurin pour la fonction \( f(x)=\ln(1+x)\).
Solution
Étape 1 : Commence par prendre les dérivées de \(f(x)\N) :
\[ \begin{align} f(x)&=\ln(1+x) \\ \\ f'(x)&=\dfrac{1}{1+x} \N-\N f''(x)&=-\Ndfrac{1}{(1+x)^2} \\N- f'''(x)&=\dfrac{2}{(1+x)^3} \N- \N f^{(4)}(x)&=-\Ndfrac{6}{(1+x)^4} \N-END{align}\N]
En analysant les dérivées, nous pouvons identifier le modèle suivant pour \N(n>0\N) :
\[f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\]
Remarque que :
- chaque dérivée consécutive change de signe par rapport à la dérivée précédente, d'où le facteur \( (-1)^{n-1} \N) ;
- les numérateurs forment une séquence de règle \( (n-1) ! \) ;
- les dénominateurs ne sont que des puissances de \( (1+x) \).
Tu peux toujours vérifier cette formule en remplaçant n par des valeurs entières positives (1, 2, 3, ...).
Étape 2 : Évalue chaque dérivée à \(x=0\)
\[ \N- f(0)&=0 \N- f'(0)&=1 \N- f''(0)&=-1 \N- f'''(0)&=2 \N- f^{(4)}(0)&=-6 \N- f^{(n)}(0)&=(-1)^{n-1}(n-1) ! \N- [end{align}\N]
Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :
\[ M_f(x) = 0+ 1\cdot x+\dfrac{-1}{2!}x^2+\dfrac{2!}{3!}x^3+\dfrac{-3!}{4!}x^4+\cdots \].
- En simplifiant :
\[ M_f(x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots \]
- En notation sigma, on a
\[ M_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}, \]
Remarquez que cette série commence à \N( n=1\N) parce que \N(f(0)=0\N).
Série Maclaurin Épreuve
La preuve de la série de Maclaurin est la même que celle de la série de Taylor. C'est une preuve intéressante et difficile à écrire !
En bref, la preuve montre que
à l'intérieur de l'intervalle de convergence, la série de Taylor (ou série de Maclaurin) converge vers la fonction elle-même ;
elle est basée sur la démonstration que la différence entre la fonction originale et la série devient de plus en plus petite pour chaque terme ajouté à la série.
Bien qu'il s'agisse d'un résultat important pour le monde des mathématiques, concentrons-nous sur son application. Tout d'abord, comparons la série de Maclaurin à la fonction originale.
Considérons une fonction \N( f(x) \N) qui a des dérivées de tous les ordres à \N( x=0 \N) et considérons \N(M_f(x)\N) comme la série de Maclaurin de \N( f\N), évaluons les dérivées de \N(M_f(x)\N) à \N(x=0 \N) :
\[ \begin{align} M_f(x) &= f(0) + f'(0)x+\dfrac{f''(0)}{2!}x^2+\dfrac{f'''(0)}{3!}x^3+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots \\N- M'_f(x) &= f'(0)+\dfrac{f''(0)}{2!}2x+\dfrac{f'''(0)}{3!}3x^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n+\cdots \N- M'_f(x) &= f'(0)+\dfrac{f''(0)}{2!}2x+\dfrac{f''(0)}{3 !}3x^2+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}nx^{n-1}+\cdots \\\N- M''_f(x) &= f''(0)+\dfrac{f'''(0)}{3!}6x+\cdots +\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}n(n-1)x^{n-2}+\cdots \Nend{align} \]
Si nous évaluons chaque dérivée à \N( x= 0 \N) nous aurons ce qui suit :
\[ \begin{align} M_f(0) &= f(0) \\ \\ M'_f(0) &= f'(0) \\ \\ M''_f(0) &= f''(0) \\ &\vdots \\ M^{(n)}_f(0) &= f^{(n)}(0) \\ &\vdots \end{align} \]
En regardant ceci, tu peux voir que tu as deux fonctions \N( f(x) \N) et \N( M_f(x) \N) qui ont exactement les mêmes dérivées de tous les ordres à \N(x=0\N), ce qui ne peut que signifier que ces deux fonctions sont les mêmes. Par conséquent, à l'intérieur de l'intervalle de convergence, tu as que
\Nf(x) = M_f(x).\N]
Par conséquent, nous avons que
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n . \]
Développement de la série de Maclaurin
Il est assez facile d'écrire la série de Maclaurin à partir d'une fonction, tu peux le faire pour n'importe quelle fonction qui a dérivées de tous les ordres. Comme indiqué précédemment, \N( f(x) \N) est égal à \N(M_f(x)\N) à l'intérieur de l'intervalle de convergence, et c'est le développement de \N( f(x)\N).
Soit \Nf \Nune fonction qui a dérivées de tous les ordres à \Nf x=0 \Net que \Nm_f\Nsoit la série de Maclaurin pour \Nf \Nf \Nf \N.
Alors pour toute valeur de \(x\) à l'intérieur de l'intervalle de convergence,
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n . \]
En d'autres termes, à l'intérieur de l'intervalle de convergence, la série de Maclaurin \(M_f\) et la fonction \(f\) sont exactement les mêmes, et \( M_f\) est unesérie de puissance . de \(f\).
Ecris la série de Maclaurin pour \( f(x) = \cos(x) \).
Solution :
Étape 1 : Commence par prendre les dérivées de \(f(x)\) :
\[ \N- f(x)&=\cos(x) \N- f'(x)&=\sin(x) \N- f''(x)&=\cos(x) \N- f'''(x)&=\sin(x) \N- f'''(x)&=\sin(x) \N- f^{(4)}(x)&=\cos(x) \N- end{align}\N]
Étape 2 : Avant de trouver un modèle pour les dérivées, évaluons chacune d'entre elles à \(x=0\) :
\N- \N f(0)&=\cos(0)=1 \N \N f'(0)&=-\sin(0)=0 \N \N f''(0)&=\cos(0)=-1 \N \N f'''(0)&=\sin(0)=0 \N \N f^{(4)}(0)&=\cos(0)=1 \Nend{align}\N]
En analysant les résultats, nous pouvons voir que :
- Si \(n\) est impair alors
\Nf^{(n)}(0)=0\N]
- Si \N(n\N) est pair alors
\[f^{(n)}(0)=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\]
Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :
\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+\dfrac{-1}{2!}x^2+\dfrac{0}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{0}{5!}x^5+\dfrac{-1}{6!}x^6+\cdots \].
- En simplifiant :
\[ M_f(x) = 1 -\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots. \]
- En notation sigma, et en considérant l'intervalle de convergence, nous avons
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\tfrac{n}{2}}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. \]
Exemples de séries de Maclaurin
Les séries de Maclaurin peuvent être utiles dans de nombreuses autres situations, une fois que tu connais le développement en série d'une fonction donnée, tu peux l'utiliser pour trouver le développement en série d'autres fonctions apparentées, voyons quelques exemples :
Trouve une série de puissance pour la fonction \( f(x)=x^2e^x\) centrée sur \(x=0\).
Solution :
Pour résoudre ce problème, commençons par écrire le développement en série de Maclaurin de \( g(x)=e^x\), puisqu'il est centré sur \(x=0\) :
Étape 1 : Considérons d'abord les dérivées de \( g(x)\), puisqu'il s'agit de la fonction \( e^x\), c'est facile :
\[ g^{(n)}(x)=e^x, \Npour tout n\ge 0\N].
Étape 2 : Évaluer les dérivées à \(x=0\)
\N[ g^{(n)}(0)=1\N]
Étape 3 : Appliquer le résultat dans la formule de la série de Maclaurin
\[ M_g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n \]
Nous avons donc :
\[g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]
Nous pouvons facilement calculer l'intervalle de convergence, qui est \N( (-\infty,+\infty)\N).
- Considérons maintenant que \( f(x)=x^2\cdot g(x) \) :
\[ f(x) =x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]
- En simplifiant, on obtient
\[\N- Début{alignement} f(x) &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^2\cdot x^n}{n!} \Nf(x) &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!} \N- [end{align}\N]
Par conséquent, le développement de la série de puissance pour la fonction \( f(x)=x^2e^x\) centrée sur \( x=0\) est
\[ f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!}\]
Voici un autre exemple.
Ecris un développement en série pour \( f(x)=\cosh(x)\) centré sur \(x=0\).
Solution :
Pour résoudre ce problème, tu peux soit utiliser la définition des séries de Maclaurin en calculant chaque dérivée de \( f(x)\), soit appliquer la définition de \( \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).
Vérifions les deux, en commençant par la définition de la série de Maclaurin.
Étape 1 : Calcule les dérivées de \( f(x)\) :
\N- [\N- f(x) &=\cosh(x) \N- f'(x) &=\sinh(x) \N- f''(x) &=\cosh(x) \N- f'''(x) &=\sinh(x) \N- end{align}\N]
Étape 2 : Évaluer chaque dérivée à \N( x=0 \N) :
\N- [\N- f(0) &=\cosh(0)=1 \N- f'(0) &=\sinh(0)=0 \N- f''(0) &=\cosh(0)=1 \N- f'''(0) &=\sinh(0)=0 \N- end{align}\N]
Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :
\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{0}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{0}{5!}x^5+\dfrac{1}{6!}x^6+\cdots \]
- En le simplifiant :
\[ f(x) = 1 +\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots \]
- En notation sigma, et en considérant l'intervalle de convergence, nous avons
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. \]
Voyons maintenant comment nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la définition du cosinus hyperbolique:
- En regardant la définition de \( \cosh(x) \) nous avons :
\[ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \].
- D'après l'exemple précédent, nous avons :
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]
- Évaluons le développement en série avec \N( -x \N) :
\N[ \N- Début{alignement} e^{-x} &= \Nsum_{n=0}^{\Nfty}\Ndfrac{(-x)^n}{n!} \\N- e^{-x} &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^n}{n!} \[end{align}\]
- Développons les termes de la série pour \( e^x\) et \( e^{-x}\) et faisons la somme :
\[\begin{align} e^{x} &= 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots \\\N-\N e^{-x} &= 1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4 !}-\dfrac{x^5}{5!}+\cdots \\ \ e^x+e^{-x} &= 2+0+2\dfrac{x^2}{2!}+0+2\dfrac{x^4}{4!}+0+\cdots \ \ e^x+e^{-x} &= 2+2\dfrac{x^2}{2!}+2\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{align}\N-]
- Pour obtenir le cosinus hyperbolique, nous devons encore le diviser par deux :
\[ \begin{align} \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} &= \dfrac{1}{2}\left(2+2\dfrac{x^2}{2!}+2\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\right) \\\N- \N- \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} &= 1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{align}\N-]
- En l'écrivant avec la notation sigma :
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}, \]
Ce qui est la même chose que la première partie.
Série de Maclaurin - Principaux enseignements
- Série de Maclaurin de\(f\N)
\[ M_f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]
A l'intérieur de l'intervalle de convergence, la série de Maclaurin est égale à \(f\N)
\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{f^{(n)}(0)}{n!}x^n \]
Quelques expansions de séries de Maclaurin :
\[\begin{align} e^x &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \N- \N- \Nsin(x) &= \Nsum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \N- \Ncos(x) &= \Nsum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^{2n}}{(2n)!} \N- \N- \Nln(1+x) &= \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n} \\ \sinh(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\N- \Ncosh(x) &= \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}\N- [end{align}\N].
- Pour trouver l'intervalle de convergence, tu dois appliquer le test du rapport
\[ \\Nlimites_{n \Nà \Nfty} \Nà gauche| \Nfrac{a_{n+1}}{a_n} \Nà droite| <1\N}]
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