Série de Maclaurin

Ecris la série de Maclaurin pour la fonction \( f(x)=\ln(1+x)\).

Solution

Étape 1 : Commence par prendre les dérivées de \(f(x)\N) :

\[ \begin{align} f(x)&=\ln(1+x) \\ \\ f'(x)&=\dfrac{1}{1+x} \N-\N f''(x)&=-\Ndfrac{1}{(1+x)^2} \\N- f'''(x)&=\dfrac{2}{(1+x)^3} \N- \N f^{(4)}(x)&=-\Ndfrac{6}{(1+x)^4} \N-END{align}\N]

En analysant les dérivées, nous pouvons identifier le modèle suivant pour \N(n>0\N) :

\[f^{(n)}(x)=(-1)^{n-1}\dfrac{(n-1)!}{(1+x)^n}\]

Remarque que :

• chaque dérivée consécutive change de signe par rapport à la dérivée précédente, d'où le facteur \( (-1)^{n-1} \N) ;
• les numérateurs forment une séquence de règle \( (n-1) ! \) ;
• les dénominateurs ne sont que des puissances de \( (1+x) \).

Étape 2 : Évalue chaque dérivée à \(x=0\)

\[ \N- f(0)&=0 \N- f'(0)&=1 \N- f''(0)&=-1 \N- f'''(0)&=2 \N- f^{(4)}(0)&=-6 \N- f^{(n)}(0)&=(-1)^{n-1}(n-1) ! \N- [end{align}\N]

Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :

\[ M_f(x) = 0+ 1\cdot x+\dfrac{-1}{2!}x^2+\dfrac{2!}{3!}x^3+\dfrac{-3!}{4!}x^4+\cdots \].

• En simplifiant :

\[ M_f(x) = x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dfrac{x^4}{4}+\cdots \]

• En notation sigma, on a

\[ M_f(x) = \sum_{n=1}^{\infty}(-1)^{n-1}\dfrac{x^n}{n}, \]

Remarquez que cette série commence à \N( n=1\N) parce que \N(f(0)=0\N).

Ecris la série de Maclaurin pour \( f(x) = \cos(x) \).

Solution :

Étape 1 : Commence par prendre les dérivées de \(f(x)\) :

\[ \N- f(x)&=\cos(x) \N- f'(x)&=\sin(x) \N- f''(x)&=\cos(x) \N- f'''(x)&=\sin(x) \N- f'''(x)&=\sin(x) \N- f^{(4)}(x)&=\cos(x) \N- end{align}\N]

Étape 2 : Avant de trouver un modèle pour les dérivées, évaluons chacune d'entre elles à \(x=0\) :

\N- \N f(0)&=\cos(0)=1 \N \N f'(0)&=-\sin(0)=0 \N \N f''(0)&=\cos(0)=-1 \N \N f'''(0)&=\sin(0)=0 \N \N f^{(4)}(0)&=\cos(0)=1 \Nend{align}\N]

En analysant les résultats, nous pouvons voir que :

• Si \(n\) est impair alors

\Nf^{(n)}(0)=0\N]

• Si \N(n\N) est pair alors

\[f^{(n)}(0)=(-1)^{\tfrac{n}{2}}\]

Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :

\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+\dfrac{-1}{2!}x^2+\dfrac{0}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{0}{5!}x^5+\dfrac{-1}{6!}x^6+\cdots \].

• En simplifiant :

\[ M_f(x) = 1 -\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}-\dfrac{x^6}{6!}+\cdots. \]

• En notation sigma, et en considérant l'intervalle de convergence, nous avons

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{\tfrac{n}{2}}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Trouve une série de puissance pour la fonction \( f(x)=x^2e^x\) centrée sur \(x=0\).

Solution :

Pour résoudre ce problème, commençons par écrire le développement en série de Maclaurin de \( g(x)=e^x\), puisqu'il est centré sur \(x=0\) :

Étape 1 : Considérons d'abord les dérivées de \( g(x)\), puisqu'il s'agit de la fonction \( e^x\), c'est facile :

\[ g^{(n)}(x)=e^x, \Npour tout n\ge 0\N].

Étape 2 : Évaluer les dérivées à \(x=0\)

\N[ g^{(n)}(0)=1\N]

Étape 3 : Appliquer le résultat dans la formule de la série de Maclaurin

\[ M_g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{1}{n!}x^n \]

Nous avons donc :

\[g(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]

Nous pouvons facilement calculer l'intervalle de convergence, qui est \N( (-\infty,+\infty)\N).

• Considérons maintenant que \( f(x)=x^2\cdot g(x) \) :

\[ f(x) =x^2 \cdot \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]

• En simplifiant, on obtient

\[\N- Début{alignement} f(x) &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^2\cdot x^n}{n!} \Nf(x) &=\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!} \N- [end{align}\N]

Par conséquent, le développement de la série de puissance pour la fonction \( f(x)=x^2e^x\) centrée sur \( x=0\) est

\[ f(x) =\sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{n+2}}{n!}\]

Ecris un développement en série pour \( f(x)=\cosh(x)\) centré sur \(x=0\).

Solution :

Pour résoudre ce problème, tu peux soit utiliser la définition des séries de Maclaurin en calculant chaque dérivée de \( f(x)\), soit appliquer la définition de \( \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\).

Vérifions les deux, en commençant par la définition de la série de Maclaurin.

Étape 1 : Calcule les dérivées de \( f(x)\) :

\N- [\N- f(x) &=\cosh(x) \N- f'(x) &=\sinh(x) \N- f''(x) &=\cosh(x) \N- f'''(x) &=\sinh(x) \N- end{align}\N]

Étape 2 : Évaluer chaque dérivée à \N( x=0 \N) :

\N- [\N- f(0) &=\cosh(0)=1 \N- f'(0) &=\sinh(0)=0 \N- f''(0) &=\cosh(0)=1 \N- f'''(0) &=\sinh(0)=0 \N- end{align}\N]

Étape 3 : applique ces résultats à la formule de la série de Maclaurin :

\[ M_f(x) = 1 + 0\cdot x+\dfrac{1}{2!}x^2+\dfrac{0}{3!}x^3+\dfrac{1}{4!}x^4+\dfrac{0}{5!}x^5+\dfrac{1}{6!}x^6+\cdots \]

• En le simplifiant :

\[ f(x) = 1 +\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^6}{6!}+\cdots \]

• En notation sigma, et en considérant l'intervalle de convergence, nous avons

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}. \]

Voyons maintenant comment nous pouvons résoudre ce problème en utilisant la définition du cosinus hyperbolique:

• En regardant la définition de \( \cosh(x) \) nous avons :

\[ \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2} \].

• D'après l'exemple précédent, nous avons :

\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^n}{n!} \]

• Évaluons le développement en série avec \N( -x \N) :

\N[ \N- Début{alignement} e^{-x} &= \Nsum_{n=0}^{\Nfty}\Ndfrac{(-x)^n}{n!} \\N- e^{-x} &= \sum_{n=0}^{\infty}(-1)^n\dfrac{x^n}{n!} \[end{align}\]

• Développons les termes de la série pour \( e^x\) et \( e^{-x}\) et faisons la somme :

\[\begin{align} e^{x} &= 1+x+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4!}+\dfrac{x^5}{5!}+\cdots \\\N-\N e^{-x} &= 1-x+\dfrac{x^2}{2!}-\dfrac{x^3}{3!}+\dfrac{x^4}{4 !}-\dfrac{x^5}{5!}+\cdots \\ \ e^x+e^{-x} &= 2+0+2\dfrac{x^2}{2!}+0+2\dfrac{x^4}{4!}+0+\cdots \ \ e^x+e^{-x} &= 2+2\dfrac{x^2}{2!}+2\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{align}\N-]

• Pour obtenir le cosinus hyperbolique, nous devons encore le diviser par deux :

\[ \begin{align} \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} &= \dfrac{1}{2}\left(2+2\dfrac{x^2}{2!}+2\dfrac{x^4}{4!}+\cdots\right) \\\N- \N- \dfrac{e^x+e^{-x}}{2} &= 1+\dfrac{x^2}{2!}+\dfrac{x^4}{4!}+\cdots \end{align}\N-]

• En l'écrivant avec la notation sigma :

\[ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty}\dfrac{x^{2n}}{(2n)!}, \]

Ce qui est la même chose que la première partie.