Définition d'une série arithmétique
Tout d'abord, rappelle-toi qu'une suite arithmétique est une suite dont la distance entre les termes est une constante. Un exemple de suite arithmétique serait donc \N( \N{ 3, 6, 7, 9, \Npoints \N} \N), où la distance entre les termes successifs est toujours \N( 2 \N).
En général, une suite arithmétique a la forme \N( \N{a, a+d, a+2d, a+3d, \Npoints \N} \N) où \N(a \N) et \N( d \N) sont des nombres réels. La distance entre les termes successifs est toujours \( d\).
Une série arithmétique est une série dont les termes sont une suite arithmétique.
La formule d'une série arithmétique
Naturellement, tu veux une façon compacte d'écrire une série arithmétique.
Une série arithmétique est une série de la forme suivante
\[ \sum\limites_{n=0}^\infty (a + dn) \]
où \(a \N) et \N( d \N) sont des nombres réels constants.
La somme d'une série arithmétique
Tu peux te demander si une série arithmétique converge. La première chose à faire est d'essayer le test de divergence du nième terme. Le test de divergence du nième terme te dit que si
\N[ \Nlimites_{n \Nà \Nfty} (a+dn) \N]
n'existe pas, ou a une limite qui n'est pas zéro, alors la série arithmétique diverge. Mais \N( a \N) et \N( d \N) sont des constantes, donc si \N( d \Nnot= 0 \N) cette limite n'existe pas et la série arithmétique diverge. En revanche, si \(d=0 \) alors
$$ \\N- Limites_{n \Nà \Nfinfty} (a+dn) = \N- Limites_{n \Nà \Nfinfty} a = a $$
Puisque \( a \not= 0\) alors tu sais que la série arithmétique diverge. Cela te conduit à une seule série arithmétique capable de converger, et c'est celle où la suite arithmétique correspondante est \( \{0, 0, 0, \Npoints \N} \N), ce qui n'est pas très intéressant !
Alors, pourquoi t'intéresses-tu aux suites arithmétiques ?
La formule des sommes partielles d'une série arithmétique
La réponse à la question de savoir pourquoi tu t'intéresses aux séries arithmétiques se trouve dans les sommes partielles. Même si la série ne converge pas, les sommes partielles peuvent toujours être utiles. Examinons donc les sommes partielles de la série arithmétique :
$$ \begin{array}{lll} s_0 &=& a \\N s_1 &=& 2a + d \N s_2 &=& 3a + 3d \N s_3 &=& 4a + 6d \N s_4 &=& 5a + 10d. \N-END{array} $$
Pour l'instant, cela ne semble pas très utile pour trouver un modèle. Parfois, en mathématiques, tu essaies quelque chose, puis tu t'aperçois que ce n'était pas très utile, alors tu essaies quelque chose de différent. Cela fait partie du processus de découverte et ne signifie pas que tu as fait quelque chose de mal !
Essayons plutôt d'examiner la somme partielle entière \( s_{n-1} \) écrite sous une forme plus longue :
\[ s_{n-1} = a + (a + d) + \dots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) . \]
Il semble que beaucoup de ces termes soient similaires, alors que se passe-t-il si tu les écris à l'envers ? Alors
\[ s_{n-1} = (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + \dots + (a + d) + a . \]
Si tu les additionnes, les choses risquent de s'annuler, alors je vais essayer :
\[ \begin{array}{lll} 2s_{n-1} &=& a + (a + d) + \dots + (a + (n-2)d) + (a + (n-1)d) \\ && + (a + (n-1)d) + (a + (n-2)d) + \dots + (a + d) + a \\ &=& [a + (a + (n-1)d] + [(a + d) +(a + (n-2)d) ] + \dots \\N && + [ (a + (n-2)d) + (a + d) ] + [(a + (n-1)d) + a] \N &=& n[2a + (n-1)d] \end{array} \]
parce qu'il y a exactement \(n \N) répétitions de \N( 2a + (n-1)d \N). C'était donc une chose étrange à essayer, mais cela semble avoir aidé ! Il ne reste plus qu'à diviser par 2 pour obtenir
\[ s_{n-1} = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) . \]
Parfois, tu verras ceci écrit sous la forme
\[ \sum\limites_{k=0}^{n-1} (a+kd) = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) . \]
Il y a plusieurs façons de considérer la même somme. Supposons que tu veuilles additionner les nombres naturels 1, 2, 3 et 4. Tu sais déjà que la réponse devrait être 10, mais voyons deux façons de considérer cela comme une suite et une somme partielle pour une série arithmétique.
Méthode 1 :
Si tu considères la séquence comme \N( \N{0, 1, 2, 3, \Npoints \N}), alors \N( a = 0 \N) et \N( d = 1 \N). Si tu veux additionner les nombres jusqu'à 4, tu utiliseras \N( n =5 \N). Tu obtiendras ainsi la somme partielle
\N-[ \N-{array}{lll} s_{5-1} &=& s_4 \N-[ \N-{k=0}^{5-1} (0 + k\Ncdot 1) \N-[ \N-{k_limites_{k=0}^{5-1} (0 + k\Ncdot 1) \N-{k_limites_{k=0}^{5-1} (0 + k\Ncdot 1)=& \sum\limits_{k=0}^{4} k \sum\limits_{k=0}^{4} &=& 0 + 1 + 2 + 3 + 4 \sum\cdot 1 &=& 10 , \sum{array} \]
et si tu utilises la formule
\[ s_{n-1} = s_4 = \frac{5}{2}(0 + (5-1)\cdot 1 ) = 10. \]
Cette méthode donne donc la bonne réponse.
Méthode 2 :
Si tu considères la séquence comme \N( \N{1, 2, 3, \Npoints \N) \Nalors \N( a = 1 \N) et \N( d = 1 \N)-alors \N( a = 1 \N) et \N( d = 1 \N). Si tu veux additionner les nombres jusqu'à 4, tu utiliseras \N( n =4 \N). Tu obtiendras ainsi la somme partielle
\N-[ \N-{array}{lll} s_{4-1} &=& s_3 \N-{k=0}^{4-1} (1 + kcdot 1) \N-{k=0}^{4-1} (1 + kcdot 1) \N-{kdot 1) &=& \sum\limits_{k=0}^{3} (1+k) \sum\limits_{k=0}^{3} (1+k) \sum\\r &=& (0 + 1) +( 1 + 1) + (1 + 2) + (1 + 3) \sum\r &=& 10 , \end{array} \]
et si tu utilises la formule
\[ s_{n-1} = s_3 = \frac{4}{2}(1 + (4-1)\cdot 1 ) = 10. \]
Cette méthode donne donc également la bonne réponse !
Qu'est-ce que cela donne ? Pourquoi les deux méthodes te donnent-elles la bonne réponse ? C'est parce qu'il s'agit en fait d'une substitution, tout comme dans l'intégration lorsque tu fais une substitution et que tu changes les limites de l'intégration.
Ce qu'il faut retenir : Lorsque tu prépares un problème, il est toujours bon de tester une somme plus courte à la main pour t'assurer que tu as la bonne configuration avant d'effectuer la somme plus importante à l'aide de la formule.
Exemples de séries arithmétiques
L'une des façons les plus courantes d'utiliser la formule des sommes partielles d'une série arithmétique est de trouver la somme des premiers \( n \N) nombres naturels.
Trouve la somme des 20 premiers nombres naturels.
Réponse :
Cette question te demande en fait d'additionner les nombres 1, 2, 3, etc. jusqu'à 20. Remarque que chacun de ces nombres est séparé d'une unité, et d'après l'analyse approfondie ci-dessus, tu peux considérer qu'il s'agit d'une somme partielle
\[ s_{21-1} = s_{20} = \sum\limites_{k=0}^{20} k , \mbox{ où } a=0, \quad d=1, \quad n=21,\]
ou comme
\N[ s_{20 - 1} = s_{19} = \sum\limits_{k=0}^{19} (1+k) , \mbox{ où } a=1, \quad d=1, \quad n=20, \]
L'une ou l'autre te donnera la bonne réponse. Si tu choisis la première où \N( a = 0 \N), \N( d = 1 \N), et \N( n = 21 \N), alors
\[ s_{20} = \sum\limites_{k=0}^{20} k = \frac{21}{2}\left(0 + (21 - 1)\cdot 1 \right) = 210. \]
La somme des 20 premiers nombres naturels est donc 210.
Revenons à l'exemple du stade du début.
Tu construis un stade de football, et chaque rangée compte 10 sièges de moins en allant vers le bas du stade. Suppose que le stade compte 800 sièges dans la première rangée et qu'il y a 25 rangées au total dans le stade. Combien y a-t-il de sièges dans le stade ?
Réponse :
Tout d'abord, pensons aux premières rangées et voyons quelle est la tendance.
Rangée 1 : 800 sièges
Rangée 2 : 790 sièges
Troisième rangée : 780 places
Il faut maintenant faire un peu attention car la formule de la série arithmétique commence à la 0e ligne, et non à la première. Au lieu de cela, tu obtiens donc :
Rangée 0 : 800 places
rangée 1 : 790 places
Ligne 2 : 780 places
Il s'agit d'une suite arithmétique avec \N( a = 800 \N) et \N( d = -10 \N).
Tu veux savoir combien il y a de sièges dans le stade s'il y a 25 rangées. Qu'est-ce que tu utilises pour \N( n\N) ?
En faisant un petit test, s'il n'y avait que 4 rangées de sièges, tu ajouterais la rangée 0, la rangée 1, la rangée 2 et la rangée 3 pour obtenir un total de 4 rangées de sièges. Cela donnerait \N( n = 4 \N).
Comme il y a 25 rangées dans le stade, tu peux utiliser la formule des sommes partielles d'une série arithmétique avec \( n = 25 \N) pour obtenir
\N-[ \N-{array}{lll} s_{25-1} &=& s_{24}] \N-[ \N-{array}{lll} s_{25-1} &=& s_{24} \N- &=& \Nfrac{25}{2} \n- gauche( 2\cdot 800 + (25 -1)\cdot (-10) \n- droite) \n- & & \frac{25}{2}(1600 - 240) \n- &=& 17000. \Nend{array} \]
Il y aura donc 17000 places dans le stade.
Séries géométriques et arithmétiques
Il peut être facile de confondre les séries géométriques et arithmétiques. Souviens-toi de ceci :
une série est arithmétique si tu soustrais des termes consécutifs et que tu obtiens une constante
une série est géométrique si tu divises des termes consécutifs et que tu obtiens une constante.
Quand tu penses à une série arithmétique, pense à l'arithmétique. Tu apprends d'abord à additionner et à soustraire en faisant de l'arithmétique, c'est donc ce qui s'applique aux séries arithmétiques.
Séries arithmétiques - Principaux enseignements
- Une suite arithmétique a la forme \N ( \N{a, a+d, a+2d, a+3d, \Npoints \N} \N) où \N(a \N ) et \N( d \N) sont des nombres réels.
- Une série arithmétique est une série dont les termes sont une suite arithmétique. Cela signifie qu'une série arithmétique ressemble à
\[ \sum\limites_{n=0}^\infty (a + dn) . \N]
- Les sommes partielles d'une série arithmétique ont la forme \[ s_{n-1} = \sum\limites_{k=0}^{n-1} (a+kd) = \frac{n}{2} (2a + (n-1)d) . \]
- La seule série arithmétique qui converge est celle dont les termes sont tous nuls.
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