Règle de Simpson

Dérivation de la règle de Simpson

La règle de Simpson utilise le simple fait que l'on peut construire une équation quadratique à partir de trois points quelconques. Comme la règle trapézoïdale, la règle de Simpson crée n sous-intervalles . Pour chaque paire de sous-intervalles consécutifs $\left[x_{i-1},x_i\right]$ et $\left[x_i,x_{i+1}\right]$la règle de Simpson construit une équation quadratique de la forme $y=a{x}^2+bx+c$ à travers les trois points $(x_{i-1},f(x_{i-1}\left)\right),(x_i,f(x_i\left)\right),(x_{i+1},f(x_{i+1}\left)\right)$.

En utilisant l'équation d'une courbe quadratique, nous pouvons trouver l'aire sous la courbe qui passe par les points $(x_{i-1},f(x_{i-1}\left)\right),(x_i,f(x_i\left)\right),(x_{i+1},f(x_{i+1}\left)\right)$. En posant $x_{i-1}=-h,x_i=0,$ et $x_{i+1}=h$ et en intégrant sur l'intervalle $\left[-h,h\right]$ nous avons

$$\begin{gathered} area={\int }_{-h}^{h}a{x}^2+bx+cdx \\ =\left(\frac{a\left(h^3\right)}{3}+\frac{b{\left(h\right)}^2}{2}+c\left(h\right)\right)-\left(\frac{a(-h^3)}{3}+\frac{b{(-h)}^2}{2}+c(-h)\right) \\ =\frac{2a{h}^3}{3}+2ch \\ =\frac{h}{3}\left(2a{h}^2+6c\right) \end{gathered}$$

La règle de Simpson construit des sous-intervalles de courbes quadratiques entre trois points - StudySmarter Originals

Puisque les points $x_{i-1}=-h,x_i=0,$ et $x_{i+1}=h$ sont tous sur la parabole, on peut dire que

$$\begin{gathered} f(-h)=a{h}^2-bh+c \\ f\left(0\right)=c \\ f\left(h\right)=a{h}^2+bh+c \end{gathered}$$

Note que

$$\begin{gathered} 2a{h}^2+6c=f(-h)+4f\left(0\right)+f\left(h\right) \\ =a{h}^2-bh+c+4c+a{h}^2+bh+c \\ =2a{h}^2+6c \end{gathered}$$

On peut donc dire que l'aire sous la parabole est de

$area=\frac{h}{3}\left(f(-h)+4f\left(0\right)+f\left(h\right)\right)$

Cependant, lorsqu'on applique la règle de Simpson, on utilise généralement plus d'une courbe parabolique. Essentiellement, nous finissons par "intégrer" une fonction quadratique par morceaux. L'équation de l'aire devient donc

$area\approx \frac{∆x}{3}\left(f\left(x_{i-1}\right)+4f\left(x_i\right)+f\left(x_{i+1}\right)\right)+\frac{∆x}{3}\left(f\right(x_{i+2})+f(x_{i+3})+f(x_{i+4})+...+\frac{∆x}{3}(f\left(x_{n-2}\right)+f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right))$

où $∆x$ est la distance entre chaque point $x_i$

La règle de Simpson construit une parabole à partir d'un groupe de trois points et additionne l'aire sous chaque courbe parabolique pour obtenir une approximation de l'aire totale sous la courbe - StudySmarter Originals

En simplifiant cette équation, on obtient une approximation de l'intégrale définie d'une fonction f(x) appelée règle de Simpson, qui stipule que

${\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\approx \frac{∆x}{3}\left[f\left(x_0\right)+4f\left(x_1\right)+2f\left(x_2\right)+4f\left(x_3\right)+2f\left(x_4\right)+...+2f\left(x_{n-2}\right)+4f\left(x_{n-1}\right)+f\left(x_n\right)\right]$

où n est le nombre de sous-intervalles, $∆x=\frac{b-a}{n}$et$x_i=a+i∆x$.

Erreur dans la règle de Simpson

Contrairement à la règle trapézoïdale, où nous pouvons déterminer si notre approximation est une surestimation ou une sous-estimation en fonction de la concavité de la courbe, il n'y a pas d'indicateurs clairs de surestimation ou de sous-estimation avec la règle de Simpson. Cependant, nous pouvons utiliser les erreurs relatives et absolues pour en savoir plus sur la façon dont notre estimation se compare à la valeur réelle.

Erreur relative

Nous calculons l'erreur d'un calcul de la règle de Simpson en utilisant la formule de l'erreur relative :

$\begin{array}{rcl}Relativeerror& =& \frac{\left|approximation-actual\right|}{actual}\times 100\%\\ & =& \frac{\left|S_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|}{{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx}\end{array}$

où $S_n$ est l'approximation de la règle de Simpson de l'intégrale.

Erreur absolue

En plus de l'erreur relative, l'erreur absolue de notre approximation à l'aide de la règle de Simpson peut être calculée à l'aide de la formule de l'erreur absolue :

$\begin{array}{rcl}Absoluteerror& =& \left|approximation-actual\right|\\ & =& \left|S_n-{\int }_a^{b}f\left(x\right)dx\right|\end{array}$

Cependant, comme nous l'avons mentionné dans l'article La règle trapézoïdale, l'intégrale ne peut pas toujours être calculée exactement.

Limites d'erreur pour la règle de Simpson

Tout comme la règle trapézoïdale, la règle de Simpson possède une formule de limite d'erreur, qui décrit l'erreur maximale possible de notre approximation. Pour la règle de Simpson, la formule de limite d'erreur est la suivante

$\left|E_S\right|\le \frac{K{(b-a)}^5}{180n^4}$ pour $\left|f^{\left(IV\right)}\left(x\right)\right|\le K$

où $E_S$ est l'erreur exacte pour la règle de Simpson et $f^{\left(IV\right)}\left(x\right)$ est la dérivée quatrième de f(x). K est la valeur maximale de la dérivée quatrième sur l'intervalle $[a,b]$.

L'utilisation de la limite d'erreur prendra tout son sens une fois que nous aurons travaillé sur quelques exemples.

Avantages et limites de la règle de Simpson

Avantages de la règle de Simpson

• La règle de Simpson est plus précise que la règle trapézoïdale.

• La règle de Simpson est exacte pour les fonctions cubiques (de la forme $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$), les fonctions quadratiques et les fonctions linéaires

Limites

• Comme il faut trois points pour obtenir une courbe quadratique, la règle de Simpson nécessite un nombre encore plus grand de sous-intervalles ( ). n

• La règle de Simpson est peu précise pour les fonctions fortement oscillantes.

Exemples d'utilisation de la règle de Simpson pour estimer l'intégrale

Exemple 1

Exemple 2