Rayon de Convergence

Trouve le rayon de convergence de la série

\[\sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n.\]

Réponse :

Note que dans ce cas, \(a_n=(3x)^n\), donc

\[\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3x)^{n+1}}{(3x)^n}\right| \\ &=\left|3x\right|. \N- [end{align}\N]

Le test du ratio indique qu'il converge si \(|3x|<1\), c'est-à-dire si \(|x|<\dfrac{1}{3}\). Par conséquent, le rayon de convergence est \(R=\dfrac{1}{3}\).

Pour quelles valeurs de \(x\) la série

\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n}\]

converge-t-elle ?

Réponse :

Note que les termes de la série sont donnés par \(a_n=\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}\). Calculer la limite

\[\begin{align} \nlim_{n\to\infty} \left| \dfrac{\dfrac{5^{n+1}(x-2)^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}\right| &= 5|x-2| \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} \N- &= 5|x-2|.\N- [end{align}\N]

Par le test du ratio, tu as que la série converge lorsque \(5|x-2|<1\), c'est-à-dire lorsque

\[\frac{9}{5} < x < \frac{11}{5} .\]

Enfin, il reste à voir ce qui se passe aux extrémités \(x=\dfrac{9}{5}\) et \(x= \dfrac{11}{5}\). Tu dois les vérifier séparément !

Pour \(x=\dfrac{9}{5}\), tu obtiens la série alternée suivante

\[\bigin{align}\sum\limites_{n=1}\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n} &= \sum\limites_{n=1}\infty \frac{5^n\left(\dfrac{9}{5} -2\right)^n}{n} \\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(-\dfrac{1}{5} \right)^n}{n} \N- &= \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} , \end{align}\]

qui est convergent. Cela signifie que \ (x=\dfrac{9}{5}\) est dans l'intervalle de convergence.

En revanche, pour \(x=\dfrac{11}{5}\) tu obtiens la série harmonique

\N- [\N- Début{alignement} \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n} &= \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(\dfrac{11}{5} -2\right)^n}{n}. \\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{n} \N- &= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}, \Nend{align}\N]

qui diverge. Donc \ (x=\dfrac{11}{5}\) n'est pas dans l'intervalle de convergence.

Par conséquent, les valeurs de \(x\) pour lesquelles la série converge sont

\[\frac{9}{5} \leq x < \frac{11}{5},\N]

et l'intervalle de convergence est

\N[ \Ngauche[ \Nfrac{9}{5} ,\Nfrac{11}{5} \Ndroite). \N]

Trouve le rayon de convergence et l'intervalle de convergence de la série

\[\sum\limites_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n .\N]

Réponse :

Calculons d'abord la limite :

\N[\Nlim_{n\Nà\nfty} \left| \frac{\dfrac{(x+3)^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{(x+3)^{n}}{7^{n}}}\right|=\frac{|x+3|}{7}.\]

Par le test du ratio, la série converge pour \N(x\N) lorsque \N(\Ndfrac{|x+3|}{7} < 1\N), ce qui est la même chose que \N(|x+3|<7\N). Cela peut s'écrire comme \N(-7<x+3<7\N), ce qui signifie que tu as besoin de \N(-10<x<4\N). Par conséquent, le rayon de convergence est \(R=7\).

Lorsque tu trouves l'intervalle de convergence, n'oublie pas de vérifier les extrémités ! Pour \(x=-10\), tu as

\N- [\N- Début{alignement} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-10+3}{7}\right)^n \n &= \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n , \end{align}\]

qui est une série alternée qui diverge. Donc \(x=-10\) n'est pas dans l'intervalle de convergence.

Si \(x=4\) tu obtiens la série

\N- [\N- Début{align} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{4+3}{7}\right)^n \N &= \sum\limits_{n=1}^\infty 1 , \end{align}\N]

qui est également divergent.

Ainsi, l'intervalle de convergence est \N((-10,4)\N).