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Un type de série populaire est la série des puissances, qui est une série de la forme \(\sum_{n}^\infty c_nx^n\), dont la convergence dépendra de la valeur de \(x\). Dans cet article, tu verras comment trouver les valeurs de \(x\N), pour lesquelles la série de puissance converge. En d'autres termes, tu apprendras à calculer son rayon de convergence et son intervalle de convergence.
Définition du rayon de convergence
Comme nous l'avons mentionné plus haut, la convergence de la série de puissance dépend des valeurs de \(x\).
Étant donné une série de puissance
\[\sum\limits_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n,\]
seule l'une des trois affirmations suivantes est vraie :
(a) La série converge seulement pour \(x=x_0\).
(b) La série converge pour tout \N(x\N).
(c) Il existe un nombre \(R>0\) tel que la série converge pour \(|x-x_0| < R\) et diverge pour \(|x-x_0| > R\) .
Le nombre \(R\) dans le cas (c) est connu comme le rayon de convergence de la série de puissance, et l'intervalle de convergence est l'intervalle composé par tous les points \(x\) où la série converge.
Pour une série de puissance
\[\sum\limites_{n=1}^\infty c_n(x-x_0)^n ,\]
la relation entre le rayon de convergence et l'intervalle de convergence est indiquée dans le tableau ci-dessous.
Tableau 1. Relation entre le rayon de convergence et l'intervalle de convergence.
| Rayon de convergence | Intervalle de convergence |
\(R=0\) | \(\{x_0\}\) |
\N(R=\infty\N) | \N- (-\Ninfty,\Ninfty)\N- (-\Ninfty,\Ninfty)\N) |
\(R>0\) | \N- (x_0-R,x_0+R)\N- (x_0-R, x_0+R]\N- (x_0-R, x_0+R)\N- (x_0-R, x_0+R)\N- (x_0-R, x_0+R)\N- ou \N- (x_0-R, x_0+R)\N- (x_0-R, x_0+R)\N- (x_0-R, x_0+R)) |
Rayon de convergence des séries de puissance
Une série de puissances centrée sur \(x_0\) (ou une série de puissances autour de \(x_0\)) est une série de la forme suivante
\[\sum_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n=c_0+c_1(x-x_0)+c_2(x-x_0)^2+\dots,\]
où \(x\) est une variable, et \(x_0\) et \(c_n\) sont des nombres réels. Les valeurs de \(c_n\) sont appelées les coefficients de la série.
Pour chaque valeur de \(x\), la série peut converger ou diverger. Le rayon de convergence d'une série t'indique pour quelles valeurs de \(x\) elle converge.
Test du rapport et rayon de convergence
Pour calculer le rayon de convergence d'une série de puissances, tu peux utiliser le test du rapport (ou parfois le test de la racine).
Étant donné une série \(\sum\limits_n^\infty a_n\). Soit
\[L=\lim_{n\to\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|,\]
1. si \(L<1\), alors la série est absolument convergente (et donc convergente).
2. si \(L>1\), alors la série est divergente.
3. si \(L=1\), la série peut être divergente, conditionnellement convergente ou absolument convergente.
Consulte les articles sur le test du rapport et le test de la racine pour plus d'informations !
Voyons un exemple d'utilisation du test du rapport pour obtenir le rayon de convergence.
Trouve le rayon de convergence de la série
\[\sum\limits_{n=0}^\infty (3x)^n.\]
Réponse :
Note que dans ce cas, \(a_n=(3x)^n\), donc
\[\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &= \lim_{n\to\infty}\left|\frac{(3x)^{n+1}}{(3x)^n}\right| \\ &=\left|3x\right|. \N- [end{align}\N]
Le test du ratio indique qu'il converge si \(|3x|<1\), c'est-à-dire si \(|x|<\dfrac{1}{3}\). Par conséquent, le rayon de convergence est \(R=\dfrac{1}{3}\).
Rayon de convergence des séries géométriques
Un cas particulier de série de puissance est la série géométrique donnée par
\[\sum\limits_{n=0}^\infty ax^n,\]
où \(a\) est une constante.
Tu peux calculer son rayon de convergence à l'aide du test du ratio, comme pour les autres séries de puissance. Dans ce cas, les termes de la série sont donnés par \N(a_n=ax^n\), donc
\N- [\N- Début{align} \lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| &=\lim_{n\to\infty}\left|\frac{ax^{n+1}}{ax^n}\right| \\ &=|x|. \N- [end{align}\N]
Le test du ratio indique qu'il converge si \(|x|<1\), et donc que le rayon de convergence est \(R=1\).
Pour en savoir plus sur ce type de séries, visite l'article Séries géométriques.
Rayon de convergence de \(\sin (x)\)
Pour calculer le rayon de convergence de la fonction \(\sin x\), rappelle-toi que tu peux réécrire la fonction à l'aide de sa série de Taylor ou de Maclaurin. La série de Maclaurin de la fonction \(\sin x\) est donnée par
\N- [\N- Début{align} \sin x&=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1} \\N-\frac{x^3}{3!}+\frac{x^5}{5!}-\N-\Npoints \Nend{align}\N]
Pour en savoir plus sur les séries de ce type, voir les séries de Taylor et les séries de Maclaurin.
Utiliser le test du ratio
\[\begin{align}\lim_{n\to\infty}\left|\frac{a_{n+1}}{a_n}\right| & =\lim_{n\to\infty}\left|\frac{\frac{(-1)^{n+1}}{(2(n+1)+1)!}x^{2(n+1)+1}}{\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}}\right| \\N- &=\lim_{n\to\infty}\frac{(2n+1)!}{(2n+3)!}|x|^2 \N- &= \N-{n\to\infty}\frac{1}{(2n+3)(2n+2)}x|^2 \N- &=0. \N- [end{align}\N].
Puisque la limite est nulle indépendamment de \N(x\N), cela signifie que la série converge pour toute valeur de \N(x\N), et donc que la série de \N(\Nsin x\N) a un rayon de convergence \N(R=\Nfty\N).
Exemples de rayons de convergence
Voici quelques exemples.
Pour quelles valeurs de \(x\) la série
\[\sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n}\]
converge-t-elle ?
Réponse :
Note que les termes de la série sont donnés par \(a_n=\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}\). Calculer la limite
\[\begin{align} \nlim_{n\to\infty} \left| \dfrac{\dfrac{5^{n+1}(x-2)^{n+1}}{n+1}}{\dfrac{5^n(x-2)^n}{n}\right| &= 5|x-2| \lim_{n\to\infty}\frac{n}{n+1} \N- &= 5|x-2|.\N- [end{align}\N]
Tu peux factoriser le \(5|x-2| \) devant la limite parce qu'il ne dépend pas de \(n\). Pour te rappeler pourquoi la limite de \(\frac{n}{n+1}\) est égale à \(1\) voir l'article Limite d'une suite.
Par le test du ratio, tu as que la série converge lorsque \(5|x-2|<1\), c'est-à-dire lorsque
\[\frac{9}{5} < x < \frac{11}{5} .\]
Enfin, il reste à voir ce qui se passe aux extrémités \(x=\dfrac{9}{5}\) et \(x= \dfrac{11}{5}\). Tu dois les vérifier séparément !
Pour \(x=\dfrac{9}{5}\), tu obtiens la série alternée suivante
\[\bigin{align}\sum\limites_{n=1}\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n} &= \sum\limites_{n=1}\infty \frac{5^n\left(\dfrac{9}{5} -2\right)^n}{n} \\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(-\dfrac{1}{5} \right)^n}{n} \N- &= \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{(-1)^n}{n} , \end{align}\]
qui est convergent. Cela signifie que \ (x=\dfrac{9}{5}\) est dans l'intervalle de convergence.
En revanche, pour \(x=\dfrac{11}{5}\) tu obtiens la série harmonique
\N- [\N- Début{alignement} \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{5^n(x-2)^n}{n} &= \sum\limites_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(\dfrac{11}{5} -2\right)^n}{n}. \\ &= \sum\limits_{n=1}^\infty \frac{5^n\left(\dfrac{1}{5}\right)^n}{n} \N- &= \sum\limits_{n=1}^\infty\frac{1}{n}, \Nend{align}\N]
qui diverge. Donc \ (x=\dfrac{11}{5}\) n'est pas dans l'intervalle de convergence.
Par conséquent, les valeurs de \(x\) pour lesquelles la série converge sont
\[\frac{9}{5} \leq x < \frac{11}{5},\N]
et l'intervalle de convergence est
\N[ \Ngauche[ \Nfrac{9}{5} ,\Nfrac{11}{5} \Ndroite). \N]
Encore un exemple.
Trouve le rayon de convergence et l'intervalle de convergence de la série
\[\sum\limites_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n .\N]
Réponse :
Calculons d'abord la limite :
\N[\Nlim_{n\Nà\nfty} \left| \frac{\dfrac{(x+3)^{n+1}}{7^{n+1}}}{\dfrac{(x+3)^{n}}{7^{n}}}\right|=\frac{|x+3|}{7}.\]
Par le test du ratio, la série converge pour \N(x\N) lorsque \N(\Ndfrac{|x+3|}{7} < 1\N), ce qui est la même chose que \N(|x+3|<7\N). Cela peut s'écrire comme \N(-7<x+3<7\N), ce qui signifie que tu as besoin de \N(-10<x<4\N). Par conséquent, le rayon de convergence est \(R=7\).
Lorsque tu trouves l'intervalle de convergence, n'oublie pas de vérifier les extrémités ! Pour \(x=-10\), tu as
\N- [\N- Début{alignement} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{-10+3}{7}\right)^n \n &= \sum\limits_{n=1}^\infty (-1)^n , \end{align}\]
qui est une série alternée qui diverge. Donc \(x=-10\) n'est pas dans l'intervalle de convergence.
Si \(x=4\) tu obtiens la série
\N- [\N- Début{align} \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{x+3}{7}\right)^n &= \sum\limits_{n=0}^\infty \left(\frac{4+3}{7}\right)^n \N &= \sum\limits_{n=1}^\infty 1 , \end{align}\N]
qui est également divergent.
Ainsi, l'intervalle de convergence est \N((-10,4)\N).
Rayon de convergence - Principaux enseignements
- Soit \(\sum\limites_{n=0}^\infty c_n(x-x_0)^n\) une série de puissances sur \(x_0\).
- Le rayon de convergence de la série est une valeur réelle \(R>0\), pour laquelle la série converge pour tout \(x\) tel que \(|x-x_0| < R\) et diverge pour tout \(x\) tel que \(|x-x_0| > R\).
- Si la série ne converge que pour \(x=x_0\), alors \(R=0\).
- Si la série converge pour toutes les valeurs de \(x\N), alors \N(R=\Nfty\N).
- L'intervalle de convergence d'une série de puissances est l'intervalle composé de tous les points \(x\N) où la série converge.
- Pour calculer le rayon de convergence, tu peux utiliser le test du rapport ou le test de la racine.
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