Problèmes d'optimisation

Tu es chargé d'entourer un champ rectangulaire d'une clôture. On te donne 400 pieds de matériel de clôture. Cependant, il y a une grange d'un côté du champ (la clôture n'est donc pas nécessaire d'un côté du champ rectangulaire). Quelles sont les dimensions du champ qui produiront la plus grande surface soumise aux 400 pieds de matériel de clôture ?

Nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode décrite dans l'article.

Étape 1 : Bien comprendre le problème

Tirons les informations importantes du problème.

Nous devons clôturer trois côtés d'un champ rectangulaire de façon à maximiser la superficie du champ. Cependant, nous n'avons que 400 pieds de matériel de clôture à utiliser. Le périmètre du rectangle doit donc être inférieur ou égal à 400 pieds.

Étape 2 : Dessine un diagramme

Il n'est pas nécessaire d'être un artiste pour dessiner un diagramme du problème !

Le diagramme du problème de la clôture nous aide à mieux visualiser le problème - StudySmarter Original

Étape 3 : Introduis les variables nécessaires

En regardant le diagramme ci-dessus, nous avons déjà introduit quelques variables. Nous allons laisser la hauteur du rectangle être représentée par $h$. La largeur du rectangle sera représentée par $w$.

$$\begin{gathered} h=height \\ w=width \end{gathered}$$

Nous pouvons donc calculer la surface et le périmètre comme suit

$$\begin{gathered} Area=h\times w \\ Perimeter=h+2w \end{gathered}$$

Étape 4 : Établir le problème en trouvant des relations à l'intérieur du problème

Le problème de la clôture nous demande de maximiser la surface $A$sous réserve que le périmètre $P$ doit être supérieur ou inférieur à 400 pieds. Intuitivement, nous savons que nous devrions utiliser les 400 pieds de clôture pour maximiser la surface.

Notre problème est donc le suivant :

$$\begin{gathered} maximizeA=h\times w \\ suchthatP=400=h+2w \end{gathered}$$

Puisque nous cherchons à maximiser la surface, nous devons écrire la surface en fonction du périmètre pour obtenir une seule équation. Dans cet exemple, nous écrirons l'équation de la surface en fonction de la largeur, $A\left(w\right)$.

Résolvons d'abord la question de la hauteur, $h$:

$$\begin{gathered} 400=h+2w \\ h=400-2w \end{gathered}$$

Maintenant, introduis l'aire en fonction de l'équation de la largeur, $A\left(w\right)$

$\begin{array}{rcl}A\left(w\right)& =& (400-2w)\left(w\right)\\ & =& 400w-2w^2\end{array}$

Étape 5 : Trouver les extrema absolus

Maintenant que nous avons une seule équation contenant toutes les informations du problème, nous voulons trouver le maximum absolu de $A\left(w\right)$. Nous pouvons définir un intervalle pour w afin d'utiliser la méthode des intervalles fermés.

Pour commencer, nous savons que w ne peut pas être inférieur à 0. Si nous laissons $h=0$, d'après notre équation du périmètre, nous avons

$\begin{array}{rcl}P& =& h+2w\\ 400& =& 2w\\ w& =& 200\end{array}$

Cela nous indique que si $h=0$, la largeur maximale possible est de 200. Notre intervalle fermé pour $w$ est $[0,200]$.

Pour appliquer la méthode des intervalles fermés :

Trouve d'abord les extrema de $A\left(w\right)$ en prenant la dérivée et en la fixant à 0.

$\begin{array}{rcl}A\text{'}\left(w\right)& =& 400-4w\\ 0& =& 400-4w\\ 4w& =& 400\\ w& =& 100\end{array}$

Deuxièmement, introduis les valeurs critiques $w=0,w=100,andw=200intoA\left(w\right)$ et identifie la plus grande surface.

$$\begin{gathered} A\left(0\right)=400\left(0\right)-2\left(0^2\right) \\ =0 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A\left(100\right)=400\left(100\right)-2\left({100}^2\right) \\ =20000 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} A\left(200\right)=400\left(200\right)-2\left({200}^2\right) \\ =0 \end{gathered}$$

Ainsi, la plus grande valeur de $A$ se produit à $w=100$ où $A=20,000f{t}^2$.

Nous pouvons le confirmer en utilisant le test de la première dérivée.

Graphique $A\text{'}\left(w\right)$...

Nous pouvons appliquer le test de la dérivée première au graphique de la dérivée - StudySmarter Original

$A\text{'}\left(w\right)$ Il est clair que la dérivée n'est égale à 0 qu'en un seul point, $w=100$. Pour tout $c<100$, $A\text{'}\left(w\right)$ est positif (au-dessus de l'axe des x). Pour tout $c>100$, $A\text{'}\left(w\right)$ est négatif (en dessous de l'axe des x). Donc, selon le test de la dérivée première, $w=100$ est le maximum absolu de $A\left(w\right)$.

Insère $w=100$ à notre équation du périmètre pour trouver ce que devrait être h.

$$\begin{gathered} 400=h+2\left(100\right) \\ h=200 \end{gathered}$$

Par conséquent, pour maximiser la surface délimitée par la clôture tout en respectant nos contraintes matérielles, nous devrions utiliser un rectangle d'une largeur de 100 pieds et d'une hauteur de 200 pieds.

Tu es chargé de construire une boîte de conserve qui contient 1 litre de liquide. Pour maximiser le profit, tu dois construire la boîte de manière à minimiser les matériaux utilisés pour la fabriquer. Quelle est la surface minimale requise pour la boîte de conserve ?

Là encore, nous allons résoudre ce problème en utilisant la méthode décrite dans l'article.

Étape 1 : Bien comprendre le problème

Tirons les informations importantes du problème.

Nous devons construire une boîte de conserve qui contient 1 litre de liquide tout en minimisant les matériaux utilisés pour la construire. Essentiellement, cela signifie que nous devons minimiser la surface de la boîte de conserve.

Étape 2 : Dessine un diagramme

Grâce à ce diagramme, nous pouvons mieux comprendre ce que le problème nous demande de faire.

Le diagramme du problème de la boîte de conserve nous aide à mieux visualiser le problème - StudySmarter

Étape 3 : Introduire les variables nécessaires

En regardant le diagramme ci-dessus, nous avons déjà introduit quelques variables. Le rayon de la boîte cylindrique sera représenté par $r$. La hauteur du cylindre sera représentée par $h$. Ainsi, le volume du cylindre $V$ est $V={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h}$ et la surface du cylindre $A$ est $A=2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2$.

Étape 4 : Établir le problème en trouvant des relations à l'intérieur du problème

Le problème de la canette nous demande de minimiser l'aire de surface $A$ tout en respectant la contrainte selon laquelle la boîte doit contenir au moins 1 litre. Intuitivement, nous savons que pour minimiser la surface, nous devons construire une boîte de conserve pouvant contenir 1 litre de liquide. Cependant, comme nous cherchons une mesure de longueur pour $r$ et $h$nous devons convertir les litres en centimètres cubes. Ainsi, nous devrions construire une boîte de conserve qui contient 1 000 ^cm3 de liquide.

Notre problème devient donc :

$$\begin{gathered} minimizeA=2\mathrm{\pi rh}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{subject}\mathrm{to}V=1000={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \end{gathered}$$

Puisque nous cherchons à minimiser la surface, nous devons écrire la surface en fonction du volume pour obtenir une seule équation.

Résolvons d'abord $h$:

$$\begin{gathered} 1000={\mathrm{\pi r}}^2\mathrm{h} \\ \mathrm{h}=\frac{1000}{{\mathrm{\pi r}}^2} \end{gathered}$$

Maintenant, introduis l'équation de la surface dans l'équation du volume :

$$\begin{gathered} A=2\mathrm{\pi r}\left(\frac{1000}{{\mathrm{\pi r}}^2}\right)+2{\mathrm{\pi r}}^2 \\ \mathrm{A}=\frac{2000}{\mathrm{r}}+2{\mathrm{\pi r}}^2 \end{gathered}$$

Étape 5 : Trouver les extrema absolus

Maintenant que nous avons une seule équation contenant toutes les informations du problème, nous voulons trouver le minimum absolu de $A$.

Nous savons que $r>0$. Cependant, nous n'avons pas de limite supérieure pour $r$.

Tout d'abord, nous allons trouver les extrema de $A$ en prenant la dérivée et en la fixant à 0.

$$\begin{gathered} A\text{'}=4\mathrm{\pi r}-\frac{2000}{r^2} \\ 0=4\mathrm{\pi r}-\frac{2000}{r^2} \end{gathered}$$

Représentation graphique de la dérivée :

Nous pouvons appliquer le test de la dérivée première au graphique de la dérivée - StudySmarter Original

Nous pouvons voir $A\text{'}=0$ en un point. Nous pouvons confirmer que le point $r=5.4192608391249$ est un minimum absolu pour $A$ en appliquant le test de la première dérivée. En regardant le graphique, pour tout $c<5.4192608391249$, $A\text{'}\left(r\right)$ est négatif (en dessous de l'axe des x). Pour tout $c>5.4192608391249$, $A\text{'}\left(w\right)$ est positif (au-dessus de l'axe des x). Donc, selon le test de la dérivée première, $r=5.4192608391249$ est le maximum absolu de $A\left(r\right)$.

Insérons $r=5.4192608391249$ à notre équation de volume pour trouver ce que devrait être $h$ devrait être.

$$\begin{gathered} 1000=\pi {(5.4192608391249)}^2\mathrm{h} \\ \mathrm{h}=10.8385208518578 \end{gathered}$$

Ainsi, pour construire une boîte de conserve d'une contenance d'au moins 1 litre, la surface minimale requise est de

$$\begin{gathered} A=2\pi (5.4192608391249)(10.8385208518578)+2\pi {(5.4192608391249)}^2 \\ A=553.58c{m}^2 \end{gathered}$$