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Définition d'un problème de valeur initiale
Commençons par répondre à une question fréquente. S'agit-il de "valeur initiale" ou de "valeur initiale" ? Eh bien, cela dépend du pays dans lequel tu te trouves et de l'auteur du manuel que tu es en train de lire ! Pour être cohérent, cet article n'utilise pas le trait d'union. Au lieu de cela, le problème de la valeur initiale est abrégé IVP, ce qui permet de contourner la question de la présence ou non de ce trait d'union.
Qu'est-ce qu'un PVI ?
Un PVI est une équation différentielle accompagnée d'un point de départ pour la solution. Ils s'écrivent souvent
\[ \N- &y' = f(x,y) \N- &y(a) = b \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
où \N((a,b)\N) est le point par lequel doit passer la solution \N(y(x)\N).
Rappelle-toi que la première étape de la résolution d'une équation différentielle consiste à essayer de trouver la solution générale, ce qui te donne une constante d'intégration. Ensuite, en utilisant la valeur initiale, tu peux trouver une solution particulière. Pour plus d'informations sur ces sujets, voir Solutions générales aux équations différentielles et Solutions particulières aux équations différentielles.
Equation différentielle du premier ordre - problème de la valeur initiale
Commençons par l'équation différentielle linéaire du premier ordre à coefficients constants
\[ y'+Ay=B\]
où \(A\) et \(B\) sont des nombres réels avec \(A \neq 0\). Rappelle-toi que la solution générale de cette équation différentielle linéaire est
\[y(x) =Ce^{-Ax}+\frac{B}{A}\]
où \(C\) est une constante.
Si tu ajoutes la valeur initiale \(y(x_1) = y_1\) où \(x_1\) et \(y_1\) sont des nombres réels, alors tu peux insérer ces valeurs dans la solution générale pour obtenir
\N[ y_1=Ce^{-Ax_1}+\frac{B}{A}, \N]
donc
\[ C = \frac{y_1 - \frac{B}{A}}{e^{-Ax_1}}. \]
Cela signifie que la solution de l'IVP
\[ \N- y' &= f(x,y) \N- y(x_1) &= y_1 \N- end{align} \N]
est
\[ \begin{align} y(x) &= \frac{y_1 - \frac{B}{A}}{e^{-Ax_1}} e^{-Ax}+\frac{B}{A} \N- &= \Ngauche(y_1 - \Nfrac{B}{A} \Ndroite)e^{-A(x-x_1)} +\Nfrac{B}{A} . \N- [end{align}\N]
Cela peut être un peu pénible à mémoriser, alors plutôt que de faire cela, il est préférable de se souvenir de la solution générale et de la résoudre en fonction de tes valeurs initiales. Prenons un exemple.
Résous l'IVP
\[ \N- &y' +3y = 7 \N- &y(0) = \Nfrac{1}{3}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-]
Solution
La première étape consiste à trouver la solution générale, qui est pour ce problème
\[y(x) =Ce^{-3x}+\frac{7}{3}.\]
Rappelle-toi qu'il s'agit en fait d'une famille de fonctions, et que tu peux les représenter graphiquement pour différentes valeurs de \(C\).
La solution générale est une famille de fonctions.
L'IVP te demande de choisir la fonction qui passe par le point \N(\Nà gauche(0, \Nfrac{1}{3}\Nà droite)\N). En utilisant la valeur initiale pour résoudre \N(C\N), tu obtiens
\[\frac{1}{3} =Ce^{-3\cdot 0}+\frac{7}{3},\]
donc \(C = -2\). Cela signifie que la solution de l'IVP est
\[y(x) = -2e^{-3x}+\frac{7}{3}.\]
C'est une fonction particulière de la famille des fonctions qui a la propriété de passer par la valeur initiale, comme tu peux le voir dans le graphique ci-dessous.
La solution particulière passe par la valeur initiale.
Les solutions des équations différentielles linéaires du premier ordre à coefficients constants IVP ont quelques propriétés intéressantes qui proviennent toutes directement du fait que tu peux explicitement écrire la solution sous la forme suivante
\[ y(x) = \left(y_1 - \frac{B}{A} \right)e^{-A(x-x_1)} +\frac{B}{A}.\]
Ces propriétés sont ,
Les solutions de l'IVP sont uniques. Cela signifie que pour chaque valeur initiale, tu obtiens une, et une seule, valeur de \(C\) qui fonctionne.
Si tu as deux valeurs initiales différentes, les solutions correspondant à ces valeurs initiales ne peuvent pas se croiser. Si elles pouvaient se croiser, cela violerait la partie sur l'unicité.
Les solutions existent sur toute la ligne réelle.
Les solutions ont toutes le même comportement à long terme. En d'autres termes, pour une solution \(y(x)\N) de l'IVP, \[ \Nlimite_{x \Nà \Nfty} y(x) =\Ndébut{cas} \frac{B}{A} & \mbox{ si } A>0 \\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- & \N-{ si } A<0\quad \mbox{pourvu que } y_1-\frac{B}{A}>0 \\\N-\infty & \mbox{ si } A<0\cad \mbox{provided that } y_1-\frac{B}{A}<0\end{cases}. \]
Passons maintenant à l'équation différentielle linéaire du premier ordre .
\N[ y'+P(x)y=Q(x)\N]
où \N(P(x)\Net \N(Q(x)\Nsont des fonctions. Pour trouver la solution de cette équation différentielle, tu utilises le facteur d'intégration
\N[ \Nalpha(x)=e^{\Nint P(x)\N,\Nmathrm{d}x},\N]
et la solution générale est
\[ y(x) = \frac{1}{\alpha (x)} \left( \int \alpha(x) \N, Q(x) \N, \mathrm{d}x + C \Nright).\]
Trouver la solution de l'IVP
\N[ \N- y'+P(x)y&=Q(x) \N- y(a) &= b \Nend{align} \N]
n'est pas aussi agréable que dans le cas d'un coefficient constant puisque tu dois faire l'intégration avant de trouver ce qu'est \N(C\N). Prenons donc un exemple.
Résous l'IVP
\N- \N[ \N- \N{align} &y'+\frac{1}{x}y=\frac{1}{\sqrt{x}} \\N- &y(1) = \frac{5}{3} .\N-end{align} \]
Solution
Commençons par trouver la solution générale. Le facteur d'intégration est
\[ \begin{align} \alpha(x)&=e^{\int P(x)\\N,\Nmathrm{d}x} \N- &= \Nexp\Nleft( \Nint \Nfrac{1}{x} \N,\Nmathrm{d}x \Nright) \N- &= |x|. \Nend{align} \]
Remarque que la valeur initiale a \(x=1\), donc en d'autres termes, tu es intéressé par des valeurs positives pour \(x\) et tu peux laisser tomber la valeur absolue dans le facteur d'intégration pour écrire
\N[ \Nalpha(x) = x.\N]
La solution générale est alors donnée par
\[ \begin{align} y(x) &= \frac{1}{\alpha (x)} \left( \int \alpha(x) \, Q(x) \, \mathrm{d}x + C \right) \\ &= \frac{1}{x} \N- gauche( \Nint x \Nfrac{1}{\Nsqrt{x}} \N, \Nmathrm{d}x + C \Ndroit) \N- &= \Nfrac{1}{x} \N- gauche( \Nint \Nsqrt{x} \N, \Nmathrm{d}x + C \Ndroit) \N- &= \Nfrac{1}{x} \left( \frac{2}{3}x^{\frac{3}{2} }+ C \right) \\left &= \frac{2\sqrt{x}}{3} + \frac{C}{x}. \N- [Fin{alignement}\N]
Tu peux maintenant introduire la valeur initiale \( y(1) = \dfrac{5}{3} \N-) pour obtenir
\[ \frac{5}{3} = \frac{2\sqrt{1}}{3} + \frac{C}{1}, \]
donc
\[C = \frac{5}{3} - \frac{2}{3} = 1.\]
En supposant que \(x>0\), la solution de l'IVP est
\[ y(x) = \frac{2\sqrt{x}}{3} + \frac{1}{x}.\]
Remarque qu'il n'y avait qu'une seule solution, mais elle n'existe certainement pas sur toute la ligne réelle ! Pour des exemples de PIV linéaire du premier ordre sans solution, ou avec un nombre infini de solutions, jette un coup d'œil aux Solutions particulières aux équations différentielles.
Tu peux te demander quand une équation différentielle linéaire du premier ordre aura une solution unique qui existera sur toute la ligne réelle.
Si \(a, b \ dans \mathbb{R}\), et \(P(x)\), \(Q(x)\) sont toutes deux des fonctions continues sur toute la ligne réelle, alors la solution au problème de la valeur initiale
\N- [\N- Début{align} &y' + P(x)y = Q(x) \N- &y(a) = b \N- Fin{align}\N]
existe et est unique sur toute la ligne réelle.
Problèmes de valeur initiale et équations différentielles séparables
Rappelle-toi qu'une équation différentielle est séparable si tu peux l'écrire sous la forme suivante
\N[N(y)y' = M(x)\N]
où \N(N(y)\N) et \N(M(x)\N) sont des fonctions. Pour plus d'informations et d'exemples de ce type d'équation, voir Équations séparables.
Pour transformer cette équation en PIV, il te suffit de choisir une valeur initiale. Ainsi, pour les nombres réels \(a\) et \(b\), l'IVP est la suivante
\[\N- &N(y)y' = M(x) \N- &y(a) = b. \N- [\N- &N(y)y' = M(x) \N- &y(a) = b. \N- [\N- &n(y)y' = M(x)]
Avec les équations séparables, tu dois souvent faire attention à l'intervalle d'existence des solutions. Dans ce cas, la valeur initiale t'indique lequel des intervalles choisir comme intervalle d'existence.
Prenons un exemple.
Si possible, résous l'IVP
\[ \N- &y' = \Nfrac{y^2}{x} \N- &y(0) = 4. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Solution
Tout d'abord, tu peux réécrire l'équation différentielle comme suit
\[ \frac{1}{y^2} y' = \frac{1}{x}, \]
Il s'agit donc d'une équation différentielle séparable. En séparant les variables et en intégrant, on obtient
\[ \int \frac{1}{y^2} \, \mathrm{d}y = \int \frac{1}{x} \, \mathrm{d}x\]
donc
\N[ -\frac{1}{y} = \ln |x| + C.\N]
Essayons maintenant d'utiliser les conditions initiales. Si tu le fais, tu utiliseras \(x=0\), et tu ne peux pas prendre le logarithme naturel de zéro. En fait, ce PIV n'a pas de solution.
Un autre exemple, pour voir le genre de choses qui peuvent arriver.
Considère l'IVP
\[ \begin{align} &y' = y^{\frac{1}{3}} \\\N &y(0) = 0. \Nend{align} \N]
Montre d'abord que la solution constante \(y(x)=0\) satisfait cet IVP. Vois ensuite s'il existe d'autres solutions.
Solution
Il est certain que si tu prends la dérivée d'une fonction constante, tu obtiens zéro, et \(0^\frac{1}{3} = 0\), donc la fonction constante \(y(x) = 0\) satisfait l'équation différentielle. Elle satisfait également à la condition initiale, et donc à l'IVP.
Qu'en est-il des autres solutions ? Il s'agit d'une équation séparable, donc la séparation et l'intégration te donnent
\[ \int \frac{1}{y^\frac{1}{3} } \, \mathrm{d}y = \int 1\, \mathrm{d}x\]
donc
\[ \frac{3}{2}y^\frac{2}{3} = x+ C.\N].
En utilisant la valeur initiale \(y(0) = 0\) pour trouver \(C\), tu obtiens
\[ \frac{3}{2}0^\frac{2}{3} = 0+ C,\]
donc \N(C=0\N). Cela signifie qu'il existe une deuxième solution à cet IVP, à savoir la solution implicite
\[ \frac{3}{2}y^\frac{2}{3} = x.\]
Tu peux obtenir la solution explicite en résolvant pour \(y\). Tu obtiens alors
\N[ y^^frac{2}{3} = \frac{2}{3}x,\N]
donc
\[ y(x) =\left( \frac{2}{3}x \right)^{\frac{3}{2}}.\]
Remarque que l'intervalle maximal d'existence est \N([0,\infty) \N) puisque tu ne peux pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif. Si tu fais un graphique des deux fonctions, tu peux voir que la fonction constante et la fonction \(y(x)\) que tu as résolue satisfont toutes deux à l'équation et à la valeur initiale.
Deux solutions à un PIV
Il est toujours bon d'avoir plus d'exemples !
Exemples de problèmes de valeur initiale d'équations différentielles
Voyons d'autres exemples impliquant des PIV.
Trouve la solution du PIV
\[ \N- Début{alignement} &2xy'+4y=3 \N- &y(2) = \Nfrac{5}{4} \NFin{alignement} \N]
en montrant d'abord que la solution générale est
\[y(x) = \frac{C}{x^2} + \frac{3}{4}.\]
Quel est l'intervalle d'existence de la solution de l'IVP ?
Solution
Pour voir que \(y(x)\) est une solution générale, tu devras trouver la dérivée et la brancher dans l'équation. La dérivée est
\N[ y'(x) = \Nfrac{-2C}{x^3} .\N]
En la branchant, tu obtiens
\[ \N- 2xy'+4y &= 2x\Nà gauche(\Nfrac{-2C}{x^3} \Nà droite) + 4\Nà gauche(\Nfrac{C}{x^2} + \Nfrac{3}{4} \Nà droite) \N- &= \Nfrac{-4C}{x^2} + \frac{4C}{x^2} + 4\left(\frac{3}{4} \right) \\N &= 3, \end{align}\N]
qui est le côté droit de l'équation différentielle originale. Par conséquent, \N(y(x)\N) est une solution générale.
Remarque que la solution générale n'est pas définie à \(x = 0\). Par conséquent, l'intervalle d'existence sera soit \N( (-\infty , 0)\Nsoit \N((0, \infty)\N). Puisque la valeur initiale est lorsque \(x=2\), l'intervalle d'existence pour l'IVP est \ ((0, \infty) \).
Résolvons maintenant l'IVP. En utilisant la valeur initiale,
y(2) = \frac{C}{2^2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}. \N - [y(2) = \frac{C}{2^2} + \frac{3}{4} = \frac{5}{4}. \N]
En résolvant pour \(C\N), tu peux voir que \(C=2\N). La solution de l'IVP est donc
\[y(x) = \frac{2}{x^2} + \frac{3}{4}.\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Parfois, tu auras une solution implicite, qui peut également être utilisée pour résoudre un PIV.
Est
\[ y^2 = x^2 - 3\]
une solution implicite à l'IVP
\[ \N- &y' = \Nfrac{x}{y} \N- &y(2) = 1 ?\N- \N- \Nend{align} \N]
Solution
Cela nécessite l'utilisation de la différenciation implicite. Mais avant cela, il est bon de s'assurer que la solution proposée satisfait à la valeur initiale, car si ce n'est pas le cas, il ne peut certainement pas s'agir d'une solution au PIV ! En vérifiant, le côté gauche te donne \((y(2))^2 = 1^2 = 1\), et le côté droit te donne \(2^2 - 3 = 1\). Puisqu'elles sont identiques, la solution implicite proposée satisfait au moins la valeur initiale.
Ensuite, en utilisant la différentiation implicite et en se rappelant que \N(y\N) est une fonction de \N(x\N),
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (y(x))^2 = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(x^2 - 3 \right).\]
En regardant d'abord le côté gauche, et en utilisant le fait que si c'est une solution alors
\N-[y' = \Nfrac{x}{y} ,\N]
tu obtiens
\[ \begin{align} \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} (y(x))^2 &=2y(x)y'(x) \\N- &= 2y\frac{x}{y} \N- &= 2x.\Nend{align}\N]
Du côté droit,
\[ \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left(x^2 - 3 \rright) = 2x.\N-]
Puisque les deux côtés sont identiques, \(y(x)\) satisfait l'équation différentielle.
Par conséquent, la solution implicite proposée résout effectivement l'IVP.
Que fais-tu si tu ne trouves pas de solution implicite ou explicite à un PIV ?
Problèmes numériques de valeur initiale dans les équations différentielles ordinaires
La plupart des PIV que tu as vus ici pourraient trouver une solution explicite, ou au moins une solution implicite ! Que fais-tu si tu as un PIV que tu ne peux pas résoudre de cette façon ? C'est à ce moment-là que tu dois utiliser des méthodes numériques pour trouver des solutions aux IVP. La méthode avec laquelle la plupart des gens commencent est la méthode d'Euler. Elle utilise une valeur initiale et l'équation différentielle pour calculer les pentes qui conduisent à une approximation de la solution d'une équation différentielle ordinaire IVP. Pour plus d'informations sur ce sujet, ainsi que de nombreux exemples, consulte la méthode d'Euler.
Equations différentielles à problème de valeur initiale - Principaux enseignements
- Dans les équations différentielles, le problème de la valeur initiale est souvent abrégé PIV.
- Un PVI est une équation différentielle accompagnée d'un point de départ pour la solution, appelé valeur initiale.
- Les PIV sont souvent écrits comme suit : où \N((a,b)\N) est le point par lequel la solution \N(y(x)\Ndoit passer.
- Lorsque l'on résout des PIV séparables, il est important de choisir l'intervalle d'existence qui contient la valeur initiale.
- Tous les PIV n'ont pas de solution unique, ni même de solution !
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