Il n'y a généralement qu'un seul de ces problèmes dans ton examen - tu n'as donc qu'une seule chance de prouver tes compétences - parce qu'ils sont très longs. Pourquoi ces problèmes sont-ils si longs ? À quoi servent-ils vraiment ?
Voici quelques applications courantes des problèmes de maxima et de minima :
minimiser les coûts et maximiser les profits,
minimiser ou maximiser les surfaces,
pour déterminer les valeurs maximales ou minimales d'un objet en mouvement,
aider à déterminer le dosage d'un médicament, et
pour aider à déterminer les matériaux à utiliser lors de la construction d'un objet.
Si tu as trouvé ton chemin jusqu'ici à partir de l'article sur les maxima et les minima, c'est super ! Si ce n'est pas le cas, reporte-toi à l'article sur les maxima et les minima pour une introduction plus approfondie au sujet.
Ceci étant dit, dans cet article, tu vas travailler sur de nombreux exemples d'application des dérivés connus sous le nom de problèmes de maxima et minima.
Graphique des maxima et des minima
Tout d'abord, à quoi ressemblent les maxima et les minima ?
Lesmaxima sont les endroits où une fonction a un point culminant, parfois appelé pic.
À l'inverse,
Lesminima sont les points les plus bas d'une fonction, parfois appelés vallées.
Les maxima et les minima peuvent être inclus dans un seul terme qui est l'extrema.
Regarde la figure 1 pour mieux clarifier ces termes.
Fig. 1 - Le graphique de la fonction \( f(x) = 2x^{3}-x^{5}) a un minimum local. \) présente un minimum local, un point de selle et un maximum local.
Dans une fonction lisse (c'est-à-dire une fonction qui ne présente pas de points aigus, de ruptures ou de discontinuités), une valeur maximale ou minimale est toujours l'endroit où la fonction s'aplatit - à l'exception d'un point de selle.
Avant d'aller plus loin, il y a quelques points à noter concernant ce graphique.
Premièrement :
Un point de selle est un point critique d'une fonction qui n'est ni un maximum ni un minimum.
En d'autres termes, unpoint de selle est un point d'une fonction où la dérivée est nulle, mais le point n' est ni le plus haut ni le plus bas de sa zone.
Et, souvent, un point de selle ressemble beaucoup à la selle d'un cheval. D'où son nom.
Deuxièmement :
Si tu regardes attentivement, tu verras que le graphique ci-dessus n'a pas de maxima ou de minima absolus. C'est parce que la fonction a un domaine de \( (-\infty, \infty) \) et qu'elle s'étend vers l'infini des deux côtés. Pour exprimer cela de façon plus formelle,
une fonction définie sur un intervalle ouvert et dont les côtés gauche et droit s'étendent vers l'infini positif ou négatif n'a pas d'extrema absolu.
Pour une analyse et une explication plus approfondies des extrema absolus, reporte-toi à l'article sur les maxima et minima absolus.
Étapes de la résolution des problèmes de maxima et de minima
Maintenant que tu sais à quoi ressemblent les maxima et les minima, passons en revue les étapes de la résolution des problèmes de maxima et de minima. Pour ce faire, nous organiserons les étapes en Stratégie 1 et Stratégie 2.
Commençons par la première stratégie.
Stratégie 1 - Trouver l'extremum relatif/local d'une fonction
- Prends la dérivée première de la fonction donnée.
- Fixe \N( f'(x) = 0 \N) et résout pour \N( x \N) pour trouver tous les points critiques.
- Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.
- Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.
- Si \Nf'(c) < 0 \N, alors le point critique de \Nf(x) \Nest un maximum.
- Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
Passons maintenant à la deuxième stratégie.
Stratégie 2 - Trouver l'extremum absolu/global d'une fonction
Pour trouver l'extrema absolu d'une fonction, celle-ci doit être continue et définie sur un intervalle fermé \N([a, b] \N).
- Résous la fonction à ses points d'extrémité, c'est-à-dire aux endroits où \( x = a \N) et \( x = b \N).
- Trouve tous les points critiques de la fonction qui se trouvent sur l'intervalle ouvert \N( (a, b) \N) et résous la fonction à chaque point critique.
- Prends la dérivée première de la fonction donnée.
- Fixe \Nf'(x) = 0 \Net résout pour \Nf x \Npour trouver tous les points critiques.
- Prends la dérivée seconde de la fonction donnée.
- Insère les points critiques de l'étape 2 dans la dérivée seconde.
- Si \Nf'(c) < 0 \N), alors le point critique de \Nf(x) \Nest un maximum.
- Si \Nf'(c) > 0 \Nle point critique de \Nf(x) est un minimum.
- Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).
- La plus grande des valeurs est le maximum absolu de la fonction.
- La plus petite des valeurs est le minimum absolu de la fonction.
- Toutes les autres valeurs sont des extrema relatifs/locaux de la fonction.
Problèmes de maxima et de minima en calcul
Dans cette section, tu travailleras sur des exemples où tu identifieras les extrema d'un graphique de fonction donné.
Identifie tous les maxima et minima du graphique. Tu dois supposer que le graphique représente la fonction entière, c'est-à-dire qu'il se trouve sur un intervalle fermé.
Fig. 2 - Le graphique d'une fonction qui a des minima et des maxima absolus et relatifs.
Solution:
Nous pouvons résoudre cet exemple en regardant simplement le graphique.
| \( x \) | f(x) \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N | Conclusion |
| \( -3 \) | \( -1 \) | min relatif |
| \( -1.5 \) | \( 12 \) | max absolu |
| \( 1.5 \) | \( -2 \) | Minimum absolu |
| \( 3 \) | \( 11 \) | max relatif |
Examinons un autre exemple.
Identifie tous les maxima et minima du graphique. Tu dois supposer que le graphique représente la fonction entière, c'est-à-dire qu'il se trouve sur un intervalle fermé.
Fig. 3 - Le graphique d'une fonction qui a des minima et des maxima absolus et relatifs.
Solution:
| \( x \) | f(x) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N | Conclusion |
| \( -3 \) | \( 66 \) | max absolu |
| \( 0.25 \) | \( 3 \) | Minimum absolu |
| \( 1.4 \) | \( 8 \) | max relatif |
| \( 2.1 \) | \( 4 \) | relative min |
| \( 2.75 \) | \( 13 \) | relative max |
| \( 3 \) | \( 6 \) | relative min |
Applications des dérivées Problèmes de maxima et de minima
Dans cette section, tu travailleras sur des exemples où tu trouveras les extrema d'une fonction donnée.
Trouve les extrema locaux (maxima et minima) de la fonction,
\[f(x) = x^{3} - 3x + 5. \N-]
Solution:
Ici, tu dois appliquer la stratégie 1.
Take the first derivative of the given function.\[ \begin{align}f'(x) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(x^{3} - 3x + 5) \\ \\f'(x) &= 3x^{2} - 3\Nend{align} \]
Set \( f'(x) = 0 \) and solve for \( x \) to find all critical points.\[ \begin{align}f'(x) = 3x^{2} - 3 &= 0 \N-3(x^{2} - 1) &= 0 \N-(x - 1)(x + 1) &= 0 \N-x &= \Npm 1\N- end{align} \]
Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}f''(x) = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(f'(x)) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(3x^{2} - 3) \\ \\f''(x) &= 6x\end{align} \]
Insère les points critiques de l'étape 2 dans la dérivée seconde.
Pour \N( x = -1 \N),\N[ f''(x) = 6(-1) = -6 \N]Comme \N( -6 \N) est négatif, le point critique où \N( x = -1 \N) est un maximum local.
Pour \N( x = 1 \N),\N[ f''(x) = 6(1) = 6 \N]Puisque \N( 6 \N) est positif, le point critique où \N( x = 1 \N) est un minimum local.
Pour confirmer tes calculs, trace le graphique de la fonction et reporte les valeurs extrêmes.
Fig. 4 - Le graphique de la fonction \( f(x) = x^{3} - 3x + 5 \N) a un maximum local au point \N( (-1, 7) \N) et un minimum local au point \N( (1, 3) \N).
Par conséquent, le point \N(-1, 7) \Nest un maximum local et le point \N(1, 3) \Nest un minimum local.
Explorons un autre exemple.
Trouve les extrema absolus (maximum et minimum) de la fonction,
\N[ f(x) = x^{3} - 3x + 5 \N]
sur l'intervalle fermé \( [-3, 3] \N).
Solution:
Ici, tu dois appliquer la stratégie 2.
- Résous la fonction à ses points d'extrémité, c'est-à-dire là où \N( x = -3) et \N( x = 3).\N[ \Nbegin{align}f(-3) &= (-3)^{3} - 3(-3) + 5 = -13 \\N-f(3) &= (3)^{3} - 3(3) + 5 = 23\N-nd{align} \]
- Trouve tous les points critiques de la fonction qui se trouvent sur l'intervalle ouvert \( (-3, 3) \) et résous la fonction à chaque point critique.
Comme il s'agit de la même fonction que celle que tu as utilisée dans l'exemple précédent, reporte-toi aux étapes \N( 1 \N) à \N( 4 \N) de cet exemple.
- Compare toutes les valeurs des étapes \N( 1 \N) et \N( 2 \N).
| \( x \) | \N - f(x) \N - \N - \N - \N - \N - \N - \N |
| \( -3 \) | \( -13 \) |
| \( -1 \) | \( 7 \) |
| \( 1 \) | \( 3 \) |
| \( 3 \) | \( 23 \) |
Pour confirmer tes calculs et tes comparaisons, trace le graphique de la fonction et reporte les extrema.
Fig. 5 - Le graphique de la fonction \( f(x) = x^{3} - 3x + 5) sur l'intervalle fermé \N[-3, 3] a deux extrema locaux, un minimum absolu au point \N(-3, -13) et un maximum absolu au point \N(3, 23).
Par conséquent, le point \N(-3, -13) \Nest le minimum absolu et le point \N(3, 23) \Nest le maximum absolu.
Problèmes de mots sur les maxima et les minima
Dans cette section - comme dans la précédente - tu travailleras sur des exemples où tu trouveras les extrema d'une fonction en tant qu'application réelle de la prise de dérivées. La différence réside dans la façon dont les informations te sont présentées. En suivant le format d'un problème de texte, tu devras être capable de déterminer ce que tu dois faire en te basant sur le contexte.
Disons que tu lances un modèle de fusée et que tu sais que la hauteur de la fusée en fonction du temps est donnée par la formule suivante
\[ H(t) = -6t^{2} + 120t \]
où ,
- \H(t) est en mètres,
- \N( t \N) est en secondes, et
- \( t > 0 \).
- Combien de temps la maquette de fusée met-elle pour atteindre sa hauteur maximale ?
- Quelle est la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature ?
- Combien de temps met la fusée à modèle réduit pour retomber sur le sol ?
Solutions:
D'après les informations données, tu sais que :
- la hauteur de la maquette de fusée est donnée par la variable \N( H \N),
- le temps écoulé - en secondes - est donné par la variable \N( t \N), et
- le temps ne peut pas être négatif.
- Il s'agit de trouver la valeur maximale de la fonction \N( H(t) \N).
- Prends la dérivée première de la fonction donnée.\[ \N-{align}H'(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-6t^{2} + 120t) \N-{\N-{align}H'(t) &= -12t + 120\N-{align} \]
- Set \( H'(t) = 0 \) and solve for \( t \) to find all critical points.\[ \begin{align}H'(t) = -12t + 120 &= 0 \\ \\-12t &= -120 \\ \\t &= 10\end{align} \]
- Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}H''(t) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-12t + 120) \\ \\H''(t) &= -12\end{align} \]
- Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ H''(10) = -12 \N]
- Puisque \N- H''(10) \Nest négatif, \N- t = 10 \Nest la valeur maximale de la fonction.Par conséquent, \N- t = 10 \Nspace s \Nest le temps qu'il faut à la maquette de fusée pour atteindre sa hauteur maximale.
- Pour trouver la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature, tu prends l'heure à laquelle la fusée miniature atteint sa hauteur maximale, que tu as trouvée dans la partie A, et tu la branches dans la fonction donnée \N( H(t) \N).\N[ \Nbegin{align}H(t) &= -6t^{2} + 120t & \mbox{ la fonction donnée } \\N-H(10) &= -6(10)^{2} + 120(10) & \mbox { insérer 10 pour t } \N- \N-&= -6(100) +1200 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \\N-&= -600 + 1200 \N-&= 600\N- end{align} \]Par conséquent, \( H = 600\space m \) est la hauteur maximale atteinte par la fusée miniature.
- Pour savoir à quel moment la maquette de fusée atterrit sur le sol après avoir été lancée, tu dois réfléchir à ce qui se passe physiquement.
- Dans ce scénario, il y a deux cas où la maquette de fusée est au sol :
- lorsque le modèle de fusée est lancé, et
- lorsqu'elle atterrit.
- Qu'est-ce qui est commun à ces deux cas ?
- La hauteur de la fusée miniature est de \( 0 \N) !
- Donc, pour répondre à cette question, tu dois mettre la fonction originale \NH(t) \Négale à \N( 0 \N) et résoudre \N( t \N).\N[ \NBegin{align}H(t) = -6t^{2} + 120t &= 0 \N--6t(t - 20) &= 0 \N-t = 0 \N- et } t = 20\Nend{align} \]
- Tu sais que lorsque \( t = 0\space s \N) est le moment où le modèle de fusée a été lancé initialement, cela signifie que lorsque \( t = 20\space s \N) est le temps que le modèle de fusée met pour atterrir après avoir été lancé.
- Dans ce scénario, il y a deux cas où la maquette de fusée est au sol :
Prenons un autre exemple.
Une entreprise de fabrication constate que le bénéfice qu'elle tire de l'assemblage d'un certain nombre de bicyclettes par jour est donné par la formule suivante
\N[ P(n) = -n^{2} + 50n - 100. \N]
- Combien de bicyclettes doivent être assemblées par jour pour maximiser le profit ?
- Quel est le bénéfice maximum ?
- Quelle est la perte si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour ?
Solutions:
D'après les informations données, tu sais que :
- le profit réalisé par l'entreprise de fabrication - en dollars - est donné par la variable \( P \),
- le nombre de bicyclettes assemblées en une journée est donné par la variable \N( n \N), et
- le nombre de vélos assemblés ne peut pas être négatif.
- Ceci te demande de trouver la valeur maximale de la fonction \N( P(n) \N).
- Prends la dérivée première de la fonction donnée.\N[ \Nbegin{align}P'(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-n^{2} + 50n - 100) \N \NP'(n) &= -2n + 50\Nend{align} \]
- Fixe \N P'(n) = 0 \N et résout pour \N n \N pour trouver tous les points critiques.\N[ \Nbegin{align}P'(n) = -2n + 50 &= 0 \N \N-2n &= -50 \N \Nn &= 25\Nend{align} \]
- Take the second derivative of the given function.\[ \begin{align}P''(n) &= \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}(-2n + 50) \\ \\P''(n) &= -2\end{align} \]
- Insère les points critiques de l'étape \N( 2 \N) dans la dérivée seconde.\N[ P''(25) = -2 \N]
- Puisque \N( P''(25) \N) est négatif, \N( n = 25 \N) est la valeur maximale de la fonction.Par conséquent, \N( n = 25 \N) est le nombre de bicyclettes qui doivent être assemblées par jour pour maximiser le profit.
- Pour trouver le profit maximum, tu prends le nombre de vélos qui doivent être assemblés par jour pour maximiser le profit, que tu as trouvé dans la partie A, et tu le mets dans la fonction donnée \N( P(n) \N).\N[ \Nbegin{align}P(n) &= -n^{2} + 50n - 100 & \mbox{ la fonction donnée } \\N-P(25) &= -(25)^{2} + 50(25) - 100 & \mbox { insérer 25 pour n } \N- \N-&= -(625) + 1250 - 100 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \N- \N-&= -625 + 1150 \N- \N-&= 525\N- end{align} \]Par conséquent, \( P = 525 $ \) est le profit maximum.
- Que sais-tu si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour ? C'est exact, \N( n = 0 \N) ! Donc, pour trouver la perte si aucune bicyclette n'est assemblée en un jour, tu résous la fonction donnée lorsque n = 0.\N-[ \N-{align}P(n) &= -n^{2} + 50n - 100 & \mbox{ la fonction donnée } \\N-P(0) &= -(0)^{2} + 50(0) - 100 & \mbox { insérer 0 pour n } \N- \N-&= -(0) + 0 - 100 & \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{ simplifier } \\ \\&= -100\end{align} \]Par conséquent, \( P = -$100 \) est la perte si aucun vélo n'est assemblé en un jour.
Problèmes de maxima et de minima - Principaux enseignements
- Les valeurs extrêmes d'une fonction sont collectivement connues sous le nom d'extrema. Les extrema sont également appelés maxima et minima.
- Les maxima et les minima sont les pics et les vallées sur le graphique d'une fonction.
- Une fonction ne peut avoir qu'un seul maximum absolu et un seul minimum absolu sur son domaine.
- Les applications courantes des problèmes de maxima et de minima sont les suivantes :
- minimiser les coûts et maximiser les profits
- minimiser ou maximiser les surfaces
- déterminer les valeurs maximales ou minimales d'un objet en mouvement
- pour aider à déterminer le dosage d'un médicament
- pour aider à déterminer les matériaux à utiliser lors de la conception d'un produit
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