Tu pourrais aller frapper à la porte de chaque maison de ta ville pour demander depuis combien de temps chaque habitant y vit. Ou bien, tu pourrais simplement utiliser une intégrale définie pour interpréter l'accumulation de personnes pendant la période où tu as été maire.
Le théorème fondamental du calcul dit que pour une fonction continue \(f\N) sur l'intervalle \N([a,b] \N),
\N[ \Nint_a^b f(x)\N, dx = F(b) - F(a) \N]
où \(F\) est l'antidérivée de \(f\).
En ce qui concerne notre exemple de population, pour trouver la population de la ville entre ta première année en tant que maire et ta quatrième année, le théorème fondamental du calcul dit que tu dois calculer
\N[ \Nint_0^4 f(x)\N, dx = F(4) - F(0) \N]
où \(f\) est une fonction de la population de ta ville. En d'autres termes, tout ce que tu as à faire, c'est de soustraire la population de ta première année en tant que maire de la population de ta quatrième année en tant que maire.
La signification des problèmes d'accumulation
Commençons par définir ce qu'est un problème d'accumulation.
Un problème d'accumulation est un problème dans lequel le taux de changement d'une quantité est donné, et tu dois trouver le changement net de la quantité au fil du temps.
Supposons qu'il y ait une petite fuite sous ton évier, de sorte qu'elle verse de l'eau à un taux constant de 1 millilitre par minute, et que tu places un seau sous l'évier pendant la nuit, afin qu'il ne fasse pas de dégâts jusqu'à ce qu'un plombier vienne le réparer. Ici, l'eau va commencer à s'accumuler dans le seau, et comme tu sais que le taux de changement est constant, tu peux en fait calculer la quantité d'eau qu'il y aura dans le seau !
Par exemple, disons que tu places le seau à 22 heures dans la nuit et que le plombier viendra à 8 heures le lendemain matin. Cela signifie que le seau se remplira pendant \(10\) heures, ce qui, en minutes, correspond à
\N- 10(60\text{ min})=600\text{ min.}\N- 10(60\text{ min})=600\text{ min.}]
Ensuite, tu multiplies ce temps par la vitesse à laquelle le seau se remplit, c'est-à-dire
\N[600\text{ min} \left( \frac{1\text{ ml}}{\text{min}} \right) = 600\text{ ml}\]
Il y aura donc 600 ml (environ 20 onces) dans le seau avant que l'évier ne soit réparé.
Ce calcul était simple parce que le taux de changement était constant, mais que se passe-t-il si le taux de changement n'est pas constant ? Ces problèmes sont généralement résolus à l'aide d'intégrales définies, alors le calcul a la réponse !
Les problèmes d'accumulation en calcul
Tu peux considérer un problème d'accumulation comme une situation où tu empiles une quantité qui change avec le temps. Le théorème du changement net, dérivé du théorème fondamental du calcul, stipule que l'intégrale d'un taux de changement est le changement net,
\N-int_a^b F'(x) \N, dx = F(b) - F(a).\N]
Pour revenir à l'exemple de la population de la ville, rappelle-toi que tu as besoin de savoir de combien la population de la ville a augmenté depuis que tu as été choisi comme maire. Disons que tu as été choisi il y a 4 ans. Connaître une fonction \NF(x) qui t'indique la population actuelle de la ville rendrait cette tâche triviale, car tu n'aurais qu'à soustraire la population actuelle, \NF(4),\Nde la population de la ville lorsque tu as commencé à être maire, \NF(0).\NLa population actuelle de la ville est la même que celle de la ville lorsque tu as commencé à être maire, \NF(0).\NLa population actuelle de la ville est la même que celle de la ville lorsque tu as commencé à être maire. C'est-à-dire
\N[ F(4) - F(0).\N]
Comme nous l'avons déjà mentionné, cela nécessiterait un sondage et prendrait beaucoup de temps. Cependant, rappelle-toi que tu connais le taux de croissance de la ville ! Supposons que ce taux soit donné par la fonction
\Nf(x) = 1920e^{0,01x}.\N- [f(x) = 1920e^{0,01x}.\N]
Puisque la fonction ci-dessus décrit un taux de changement, tu peux appliquer le théorème du changement net pour trouver l'accumulation de la population \N(A\N) au cours des quatre années de ton gouvernement, soit
\[ \begin{align} A &= \int_0^4 f(x) \, \mathrm{d}x \\N &= \int_0^4 1920 e^{0,01x}\N,\mathrm{d}x. \N- [Fin{align}\N]
L'intégrale ci-dessus est l'intégrale d'une fonction exponentielle, qui peut être résolue à l'aide des techniques d'intégration de base.
\[ \begin{align} A &= \int_0^4 1920e^{0.01x}\,\mathrm{d}x \\N &= \left(\frac{1920}{0.01}e^{0.01(4)}\Ndroite)-\left(\frac{1920}{0.01}e^{0.01(0)}\Ndroite) \N &= 192,000e^{0.04}-192,000 \N &= 7835.6686, \Nend{align}\N]
La croissance est donc d'environ \(7835\) personnes.
Figure 1. La zone située sous la courbe dans l'intervalle donné représente l'augmentation de la population
Cela signifie qu'au cours des quatre années pendant lesquelles tu as été maire, ta ville a augmenté d'environ \(7835\) personnes. Il s'agit de la variation nette de la population, qui peut également être considérée comme l'accumulation de la population au cours de ces quatre années.
Méthodes pour résoudre les problèmes d'accumulation
La résolution des problèmes d'accumulation peut se résumer à la résolution d'une intégrale définie. Cependant, les problèmes d'accumulation sont généralement des problèmes de mots, il est donc important de comprendre exactement quelle fonction tu dois intégrer, ou si tu dois l'intégrer tout court !
Le théorème de la variation nette stipule que la variation nette d'une fonction est l'intégrale définie du taux de variation de la fonction. Ainsi, si l'on te fournit un taux de variation, tu dois l'intégrer. Sinon, il te suffit de trouver la différence de la fonction à deux valeurs différentes.
Si la fonction représente un taux de variation, et dans ce cas, tu dois l'intégrer, le problème utilisera des phrases comme,
Taux
Dérivée
Vitesse
Vélocité
Voici un exemple.
La fonction
\[ g(t) = \frac{1}{5}t^2 \]
représente la vitesse ( en gallons par minute) à laquelle un réservoir industriel est rempli d'un produit chimique, où \( t \) est donné en minutes.
Quelle quantité de produit chimique s'accumule au cours des premières \(10\) minutes du processus de remplissage ?
Solution
Commence par noter que le problème te dit que la fonction représente une vitesse. De cette façon, tu peux identifier la fonction
\[ g(t) = \frac{1}{5}t^2\]
comme un taux de changement, ce qui te permet d'utiliser le théorème du changement net pour trouver l'accumulation \( A\) de produits chimiques. Comme on te demande de trouver l'accumulation pendant les 10 premières minutes du remplissage, les limites d'intégration seront comprises entre 0 et 10, donc
\[ \begin{align} A &= \int_0^{10} g(t) \, \mathrm{d}t \\N &= \int_0^{10} \frac{1}{5}t^2 \, \mathrm{d}t. \N-END{align} \]
Tu peux résoudre l'intégrale indéfinie impliquée à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \int \frac{1}{5}t^2 \, \mathrm{d}t &= \frac{1}{5}\left( \frac{1}{3}t^3 \right) \&= \frac{1}{15}t^3. \N- [Fin{align}\N]
Maintenant que tu connais l'intégrale indéfinie, tu peux évaluer l'intégrale définie, donc
\[ \begin{align} A &= \int_0^{10} \frac{1}{5}t^2\N,\mathrm{d}t \N &= \frac{1}{15}(10)^3 \Ndroite) - \frac{1}{15}(0)^3 \Ndroite) - \frac{1}{15} (0)^3 \Ndroite) - \frac{1}{15} (0)^3 \Ndroite). (0)^3 \Ndroite) \N &= \Nfrac{1000}{15} \\ &\approx 66.67.\end{align}\]
Cela signifie qu'environ \N( 66.67 \N) gallons de produits chimiques sont accumulés au cours des premières \N(10\N) minutes du processus de remplissage.
Parfois, tu n'auras pas besoin d'intégrer ! Tu dois faire très attention aux mots utilisés dans le problème.
La fonction
\[ P(t) = 200 e^{0,1t}\]
représente la population de loups dans un sanctuaire de loups \N(t \N) années depuis sa fondation. De combien la population a-t-elle augmenté entre la cinquième et la dixième année depuis la fondation du sanctuaire ?
Solution
Cette fois, tu peux remarquer qu'aucun mot ne suggère que la fonction donnée est un taux de changement. Elle indique plutôt combien de loups se trouvent dans le sanctuaire au cours d'une année donnée. Cela signifie qu'il te suffit de trouver
\N[ A = P(10) - P(5)\N]
pour trouver la réponse, donc
\[ \begin{align} A &= 200e^{0.1(10)}-200e^{0.1(5)} \N- &= 200(e-e^{0.5})\N- &= 200(1.06956) \N- &= 213.91, \Nend{align} \]
La population de loups a donc augmenté d'environ \N(213\N) loups entre ces deux années.
Exemples de fonctions d'accumulation
Lorsque tu étudies les problèmes d'accumulation, tu peux rencontrer le terme de fonction d'accumulation .
Lesfonctions d'accumulation sont des fonctions utilisées en mathématiques financières, qui servent à représenter des choses telles que l'intérêt simple et l'intérêt composé.
Par exemple, la fonction
\[ s(t) = 1+0,05t\]
représente l'intérêt simple, tandis que la fonction
\[ c(t) = (1+0,05)^t\]
représente les intérêts composés.
Ces fonctions sont utilisées dans un contexte différent, tu ne dois donc pas t'inquiéter de faire le lien entre les fonctions ci-dessus et les problèmes d'accumulation tels qu'ils sont vus dans le contexte de l'AP calculus !
Exemples de problèmes d'accumulation
Voici d'autres exemples de problèmes d'accumulation.
Il y a une fuite dans un réservoir d'eau, où l'eau s'écoule par un petit trou. Au fur et à mesure que le temps passe, le trou devient plus grand. La fonction
\[ V(t) = \frac{1}{2}t\]
modélise la vitesse à laquelle l'eau s'échappe par le trou, en gallons par heure. Quelle quantité d'eau s'est écoulée au cours des trois premières heures de la fuite ?
Solution
La fonction donnée modélise le taux auquel l'eau s'échappe par le trou, tu devras donc l'intégrer pour trouver la quantité d'eau qui s'est écoulée, donc
\N[ A = \Nint_0^3 \Nfrac{1}{2}t,\Nmathrm{d}t. \N]
Tu peux utiliser la règle des puissances et le théorème fondamental du calcul pour évaluer l'intégrale définie ci-dessus, c'est-à-dire
\[ \begin{align} A &= \int_0^3 \frac{1}{2}t, \mathrm{d}t \\N &= \left(\frac{1}{4}(3)^2 \Ndroite) - \left(\frac{1}{4}(0)^2 \Ndroite) \N &= \frac{9}{4} \N- &=2.25 \Nend{align} \]
Cela signifie que \(2,25\) gallons d'eau se sont écoulés du réservoir pendant les trois premières heures de la fuite.
Il y a des problèmes d'accumulation partout !
La fonction [S(t) = -t^2+2t \quad \text{for} \quad 0\leq t \leq 2\]modélise la vitesse à laquelle la pluie tombe d'un orage qui dure deux heures, en millions de gallons par heure. Quelle quantité d'eau s'accumule pendant la deuxième heure de l'orage ?
Solution
Une fois de plus, note que la fonction donne la vitesse à laquelle la pluie tombe du ciel. Cela signifie qu'il te suffit de trouver l'intégrale définie de la fonction sur l'intervalle demandé. Puisqu'on te demande de trouver l'accumulation au cours de la deuxième heure de l'orage, les limites d'intégration doivent être comprises entre \N( 1\N) et \N(2.\N).
\N[ A = \Nint_1^2 (-t^2+2t) \N, \Nmathrm{d}t,\N]
que tu peux aussi résoudre en utilisant la règle de puissance et le théorème fondamental du calcul, donc
\[ \begin{align} A &= \int_1^2 (-t^2+2t) \, \mathrm{d}t \\N &= \left( -\frac{1}{3}(2)^3+(2)^2 \Nright) - \left( -\frac{1}{3}(1)^3+(1)^2 \Nright) \N &= \frac{4}{3} - \left(\frac{2}{3}\right) \\N &= \frac{2}{3} \\ &\approx 0.67 . \end{align}\]
Ainsi, environ \N( 0,67 \N) millions de gallons d'eau sont tombés du ciel pendant la dernière heure de l'orage.
N'oublie jamais de vérifier si la fonction représente un changement de taux ou non !
La fonction
\[ S(m) = 125 + 20m \]
représente la somme d'argent, en dollars, qui se trouve sur un compte d'épargne en fonction du nombre de mois qui se sont écoulés depuis son ouverture. Combien d'argent a été déposé entre le 4ème et le 8ème mois de son ouverture ?
Solution
Cette fois, la fonction ne représente pas un taux de changement. Elle t'indique plutôt combien d'argent se trouve sur le compte d'épargne. Cela signifie que tu peux trouver combien d'argent a été déposé en trouvant la différence
\N[ S(8) - S(4),\N]
ce qui te donnera
\N- [\N- Début{align} S(8) - S(4) &= \left( 125+20(8) \right) - \left( 125+20(4) \right) \left &= (125+160)-(125+80) \left &= 80.\N-nd{align}\N]
Cela signifie qu'un total de \N( \N$ 80 \N) a été déposé au cours de ces quatre mois. Tu n'as pas eu besoin d'intégrer quoi que ce soit !
Problèmes d'accumulation - Principaux enseignements
- Un problème d'accumulation est un problème où le taux de changement est donné et où tu dois trouver le changement net de la quantité au fil du temps.
- Les problèmes d'accumulation sont généralement résolus à l'aide d'intégrales définies.
- Pour trouver l'accumulation, tu dois intégrer le taux de changement de la fonction sur un intervalle donné.
- Le taux de variation d'une fonction peut être identifié à l'aide de certains mots clés, comme taux, vitesse, vélocité ou dérivée.
- Il est possible qu'au lieu de te donner le taux de variation, le problème te donne la quantité réelle sous forme de fonction. Dans ce cas, il te suffit de trouver la différence de la fonction évaluée aux extrémités de l'intervalle demandé.
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