Pression hydrostatique

Définition de la pression hydrostatique

Qu'est-ce que la pression hydrostatique ?

La pression hydrostatique varie en fonction du fluide et de la profondeur.

Formule de calcul de la pression hydrostatique

Tu auras besoin de quelques variables pour la suite :

• \(P\) est la pression hydrostatique en \ (\text{N}/\text{m}^2\) ;

• \(\rho\) est la densité du fluide en \ (\text{kg}/\text{m}^3\);

• \(g\N-) est l'accélération due à la gravité en \N(\N-text{m}/\N-text{s}^2\N) ; et

• \(h\) est la hauteur de la colonne d'eau en \(\text{m}\).

La formule de la pression hydrostatique est alors la suivante

\N- P = \Nrho gh.\N]

Tu remarqueras que la pression augmente à mesure que la hauteur de la colonne d'eau (également appelée profondeur) augmente. Ce fait est illustré dans l'image ci-dessous.

Fig. 2 : La pression hydrostatique, classée de la plus faible à la plus élevée, irait \N(A, B, C\N).

La densité de l'eau est de \(1000\, \text{kg}/\text{m}^3\), et pour la gravité sur Terre, tu peux utiliser \(9,81 \, \text{m}/\text{s}^2\).

La force hydrostatique

Tu te demandes sûrement quelle est la différence entre la force hydrostatique et la pression.

Si tu penses à l'exemple du plongeur au début de l'article, la force hydrostatique sur le plongeur est la force de l'eau sur son corps submergé. Comme tu l'as vu, la pression augmente avec la hauteur de la colonne d'eau. En d'autres termes, plus le plongeur s'enfonce, plus la pression est élevée, ce qui signifie que la force hydrostatique agissant sur son corps augmente également.

Formule de la force hydrostatique

La formule de la force hydrostatique est la suivante

\N- [F = PA,\N]

où :

• \N-(F) est la force hydrostatique en \N(\N-text{N}\N) ;

• \(P\) est la pression hydrostatique en \ (\text{N}/\text{m}^2\); et

• \(A\) est l'aire de la surface immergée en \ (\text{m}^2\).

Remarque que la formule fonctionne pour des surfaces très compliquées, comme celle du corps d'un plongeur. Cependant, calculer la force hydrostatique exacte sur un plongeur est un peu difficile au départ, alors examinons plutôt l'immersion d'une plaque plate dans un liquide.

Fig. 3 : Une plaque plate immergée \(d\) unités sous l'eau.

Dans l'image ci-dessus, il y a une plaque hexagonale plate immergée à \(d\) unités sous l'eau. Le rectangle représenté a une hauteur de \(\Delta y\) et une largeur de \(x_i\), donc la surface du rectangle est de \(x_i\Delta y\). Cela signifie que la force hydrostatique sur le rectangle est de

\[ \begin{align} F_{\text{rectangle}} &= PA \\N- (\rho gh)(x_i\Delta y ) \N- (1000\cdot 9.81 d_i)(x_i\Delta y) \N- (9810d_ix_i\Delta y) \N-, \N- (\N-). \N-END{align}\N]

Une approximation de la force hydrostatique sur la plaque entière serait la somme des forces hydrostatiques sur tous les rectangles, donc s'il y a \(n\N) rectangles,

\[ F_{\text{plate}} \approx \sum\limites_{i=i}^n 9810d_ix_i\Delta y .\]

Cela devrait te sembler familier puisque trouver des surfaces de cette façon est l'une des applications des intégrales !

Forces hydrostatiques sur les surfaces immergées

Poursuivons avec l'exemple de la plaque commencé dans la section précédente. La première étape consiste à faire un diagramme correctement étiqueté avec les axes \(x) et \(y) inclus. Cette plaque est symétrique verticalement, il est donc logique de la centrer sur l'axe \(y\) avec le bas de la plaque sur l'axe \(x\).

Le sommet de la plaque se trouve à 6 mètres sous la surface de l'eau. La plaque peut être considérée comme étant composée de deux parties : la partie supérieure où \(y \ge 2\) ; et la partie inférieure où \(y \le 2\).

Fig. 4 : La plaque placée sur l'axe des coordonnées avec la profondeur et l'équation de la ligne supérieure de la plaque indiquées.

La surface totale de la plaque est alors la somme de la surface de la section supérieure et de la surface de la section inférieure. Par conséquent, lors de l'intégration, tu peux diviser l'intégrale à \(y=2\) pour faciliter les calculs. En fait, comme la surface est symétrique par rapport à l'axe \N(y\N), tu peux trouver la surface de la moitié droite de la plaque et la multiplier par \N(2\N) pour obtenir la surface totale de la plaque.

Calculs pour la partie supérieure de la plaque

Pour la partie supérieure de la plaque, la profondeur sous la surface est \(d_i\). L'équation de la ligne décrivant le bord de la plaque est \N(y = -0,8x + 8\N).

La somme de la force hydrostatique sur la partie supérieure de la plaque est la suivante

\[ F_{\text{upper}} \approx \sum\limites_{i=i}^n 9810d_ix_i\Delta y ,\]

qui contient un \(\Delta y\). Cela signifie que l'intégration se fera par rapport à \N(y\N) et non par rapport à \N(x\N). Par conséquent, en résolvant l'équation de la droite pour \(x\) en termes de \(y\), on obtient

\[x = -1.25y+10.\]

Tu devras faire attention car en l'écrivant de cette façon, tu n'obtiendras que la moitié droite de la plaque ! Puisque la plaque est symétrique, pour trouver la surface allant du côté gauche de la plaque au côté droit de la plaque, tu peux multiplier la somme par \(2\N). En substituant l'équation de la ligne à la somme et en multipliant par \(2\), on obtient

\N[ F_{\text{upper}} \approx 2\sum\limites_{i=i}^n 9810d_i(-1.25y_i+10)\NDelta y .\N]

Il ne reste plus qu'à écrire \(d_i\) en termes de \(y_i\). Comme tu peux le voir sur l'image ci-dessus,

\N-[y_i = 12-d_i,\N]

et maintenant la somme devient

\N- F_{{text{upper}}) \approx 2\sum\limites_{i=i}^n 9810(12-y_i)(-1.25y_i+10)\NDelta y .\N]

La force totale exercée sur la moitié supérieure de la plaque est donc la suivante

\N- [\N- Début{alignement} F_{\text{upper}} &= 2\\limites_{n\a \infty} \sum\limits_{i=1}^n 9810(12-y_i)(-1.25y_i+10) \Delta y \\N &= 2\int_2^6 9810(12-y)(-1.25y+10) \N, \mathrm{d}y \N &= \left. 2(9810)\left(\frac{5y^3-150y^2+1440y}{12}\right)\right|_{y=2}^{y=6} \N- &= 2(9810)\N-gauche(\Nfrac{500}{3}\Ndroite) \N- &= 3270000 \N-, \N-text{N}.\Nend{align} \]

Calculs de la plaque inférieure

Examinons maintenant la plaque inférieure. Le diagramme ci-dessous montre l'équation de la droite pour cette partie de la plaque.

Fig. 5. Moitié inférieure de la plaque immergée.

L'équation de la droite est \(y=0,4x-1\). Comme dans les calculs pour la moitié supérieure de la plaque, tu dois écrire cette équation en termes de \(x\) afin de pouvoir la substituer. En réécrivant l'équation de la droite en fonction de \N(x\N), tu obtiens \N(x = 2,5y+2,5\N). Puisque \(d_i = 12-y_i\), la force hydrostatique sur une bande rectangulaire horizontale allant de l'axe \(y\) à la ligne est la suivante

\[ \begin{align} F_i &= P_iA_i \N- 9810d_i(2.5y_i+2.5)\NDelta y \N- 9810(12-y_i)(2.5y_i+2.5 ) \NDelta y. \Nend{align}\N]

La force totale sur la moitié supérieure de la plaque est alors de

\[\begin{align} F_{\text{lower}} &= 2\limites_{n\à \infty} \sum\limits_{i=1}^n 9810(12-y_i)(2.5y_i+2.5 ) \Delta y \\N &= 2(2.5)(9810)\int_0^2 (12-y)(y+1 ) \N, \mathrm{d}y \N &= \left. (49050)\frac{-2y^3+33y^2+72y}{6}\right|_{y=0}^{y=2} \N- &= (49050)\N-gauche(\Nfrac{130}{3}\Ndroite) \N- &= 2125500\N, \N-text{N}.\Nend{align} \]

Comme tu t'y attends, la force hydrostatique sur la partie inférieure de la plaque est plus petite que celle sur la partie supérieure de la plaque parce que la surface de la plaque inférieure est plus petite que la surface de la partie supérieure de la plaque.

Force hydrostatique totale sur la plaque

Pour obtenir la force hydrostatique totale sur la plaque, il te suffit d'ajouter la force hydrostatique sur la partie supérieure de la plaque à la force hydrostatique sur la partie inférieure de la plaque:

\[ \begin{align} F_{{text{total}} &= F_{{text{upérieur}} + F_{\text{lower}} \N- &= 3270000 + 2125500 \N- &= 5395500 \N-, \N-{N}.\Nend{align} \]

Comme tu t'y attends, la force hydrostatique sur la partie inférieure de la plaque est plus petite que celle sur la partie supérieure de la plaque parce que la surface de la plaque inférieure est plus petite que la surface de la partie supérieure de la plaque.