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Il existe de nombreux types d'approximations, parmi lesquelles les polynômes de Taylor. Dans cet article, tu apprendras ce qu'est un polynôme de Taylor, comment il est calculé et comment il peut être utilisé.
Aperçu des polynômes de Taylor
Parfois, pour éviter de travailler avec des fonctions très complexes, les gens utilisent des approximations. L'approximation la plus couramment utilisée est l'approximation linéaire ou de premier ordre (voir l'article approximations linéaires et différentielles, pour plus d'informations à ce sujet).
Étant donné une fonction \(f(x)\), l'approximation linéaire de \(f(x)\) au point \(x=c\) est donnée par la fonction
\N- L(x)=f(c)+f'(c)(x-c).\N- L(x)=f(c)+f'(c)(x-c).\N]
Prenons un exemple rapide.
Par exemple, si \N(f(x)=\N(x)\N), alors l'approximation linéaire de \N(f(x)\N) au point \N(x=1\N) est donnée par
\[\N- L(x)&=\ln (1)+\frac{1}{1}(x-1)\N- &=x-1. \N- Fin{align}\N].
Figure 1. Graphique de la fonction \(\ln(x)\) avec son approximation linéaire.
Alors, comment peux-tu obtenir une meilleure approximation qui fonctionne pour des valeurs plus éloignées ?
Eh bien, tu peux penser à ce qui suit : l'approximation linéaire fonctionne parce que tu connais le taux de variation en un point, si tu savais comment le taux de variation varie (c'est-à-dire la dérivée seconde), cela pourrait te fournir plus d'informations sur la nature de la fonction.
En général, si tu savais comment "toutes" les dérivées de la fonction se comportent, tu pourrais savoir exactement à quoi ressemble la fonction. C'est l'idée des polynômes de Taylor.
Formule des polynômes de Taylor
Énonçons la définition du polynôme de Taylor.
Soit \(f\) une fonction avec au moins \(n\) dérivées à \(x=c\). Alors, le polynôme de Taylor d'ordre \ (n^{th}\) centré sur \(x=c\) est donné par
\N- [\N- Début{alignement} T_n(x)&=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f''(c)(x-c)^2}{2!}+\dots\\ & \quad +\frac{f^{(n)}(c)(x-c)^n}{n!}.\end{align}\]
Ce polynôme de degré \(n\) a la propriété que
\[T_n^{(k)}(c)=f^{(k)}(c)\]
pour \N(k=0,\Npoints,n\N), et se rapproche de \N(f(x)\N) près de \N(x=c\N).
Note que le polynôme de Taylor du premier degré est le même que l'approximation linéaire (également appelée ligne tangente) !
Il existe un cas particulier lorsque \(x=0\) car il est beaucoup plus facile à écrire.
Soit \(f\) une fonction avec au moins \(n\) dérivées à \(x=0\). Alors, le \(n^{th}\) polynôme de Maclaurin d'ordre centré sur \(x=0\) est donné par
\[\begin{align}M_n(x)&=f(0)+\frac{f'(0)x}{1!}+\frac{f''(0)x^2}{2!}+\dots\\ & \quad +\frac{f^{(n)}(0)x^n}{n!}.\end{align}\]
Il convient de mentionner que les polynômes de Taylor te permettent d'approximer n'importe quelle fonction à l'aide de puissances de \(x\). Quelle est la qualité de cette approximation ? Cela dépendra du nombre de dérivées que tu calculeras, plus il y aura de dérivées, plus l'approximation sera précise.
Pour savoir comment calculer l'erreur dans l'approximation, consulte notre article intitulé Limite d'erreur de Lagrange.
Polynôme de Taylor du deuxième degré
Un cas particulier est celui où tu veux approximer une fonction à l'aide de la dérivée seconde.
Soit \(f\) une fonction avec au moins \(2\) dérivées à \(x=c\). Le polynôme de Taylor du second degré, ou approximation quadratique, centré sur \(x=c\) est donné par la fonction\[T_2(x)=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f''(c)(x-c)^{2}}{2!}.\]
Pour voir comment une approximation quadratique est meilleure qu'une approximation linéaire, approximons la fonction \(f(x)=\sin x\) à \(x=\dfrac{\pi}{2}\). Tout d'abord, calculons les dérivées et évaluons les fonctions à \(x=\dfrac{\pi}{2}\).
Tableau 1. Valeurs de la fonction et de la dérivée pour \(\sin x\) à \(\dfrac{\pi}{2}\).
\N(f(x)=\sin x\N) | \(f\left( \dfrac{\pi}{2}\right)=1\) |
\N(f'(x)=\Ncos x\N) | \N- (f'\Ngauche( \Ndfrac{\pi}{2}\Ndroite) =0\N) |
\N(f''(x)=-\sin x\N) | \N(f''\Nà gauche( \Ndfrac{\pi}{2}\Nà droite) =-1\N) |
Ainsi, le polynôme de Taylor du premier degré pour \(f(x)=\sin x\) à \(x=\dfrac{\pi}{2}\) est
\N[T_1(x)=1,\N]
et le polynôme de Taylor du second degré pour \(f(x)=\sin x\) à \(x=\dfrac{\pi}{2}\) est
\[T_2(x)=1-\frac{(x-\frac{\pi}{2})^2}{2!}.\]
Figure 2. Graphique de la fonction \(f(x)=\sin x\) avec son polynôme de Taylor du premier et du second degré.
Note que les approximations te permettent également d'estimer les valeurs d'une fonction aux points où il est difficile de l'évaluer. Par exemple, tu sais que \(\sin(\frac{\pi}{2})\) est égal à \(1\), mais qu'en est-il de la valeur de \(\sin 2\) ? En utilisant l'approximation quadratique, tu obtiens
\N- [\N- Début{align}] \sin 2 &\approx T_2(2) \\sin 2 &=1-\frac{(2-\frac{\pi}{2})^2}{2!} \\N- &\N- environ 0,9. [\N-{align}\N]
❗❗ Rappelle-toi qu'un polynôme de Taylor centré sur \(x=a\), ne te permet d'estimer que les valeurs proches de \(x=a\).
Polynôme de Taylor du troisième degré
Tu pourrais aussi faire une approximation d'une fonction en utilisant la dérivée troisième.
Soit \(f\) une fonction avec au moins \(3\) dérivées à \(x=c\). Le polynôme de Taylor du troisième degré, ou approximation cubique, centré sur \(x=c\) est \N[\i1}début{align}]. T_3(x)&=f(c)+\frac{f'(c)(x-c)}{1!}+\frac{f''(c)(x-c)^{2}}{2!}\\ &\quad +\frac{f'''(c)(x-c)^{3}}{3!}.\end{align}\]
Calculons le polynôme de Taylor du troisième degré pour la fonction \(g(x)=\sqrt{x}\) à \(x=1\).
Tableau 2. Dérivées et valeurs des fonctions pour \(g(x) = \sqrt{x}\).
\(g(x)=\sqrt{x}\) | \(g(1)=1\) |
\(g(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(g(1)=\dfrac{1}{2}\) |
\(g(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}\) | \(g(1)=-\dfrac{1}{4}\) |
\(g(x)=\dfrac{3}{8x^{5/2}}\) | \(g(1)=\dfrac{3}{8}\) |
Ainsi, son polynôme de Taylor du troisième degré centré sur \(x=1\) est
\[T_3(x)=1+\frac{(x-1)}{2}-\frac{(x-1)^2}{8}+\frac{3(x-1)^3}{48}.\]
Figure 3. Graphique de la fonction \(g(x)=\sqrt{x}\) avec son polynôme de Taylor du troisième degré.
Exemples de polynômes de Taylor
Voyons d'autres exemples d'utilisation des polynômes de Taylor pour estimer les valeurs d'une fonction.
Calcule le polynôme de Taylor du quatrième degré pour la fonction \(f(x)=\cos x\) à \(x=0\) et utilise-le pour estimer \(\cos\left(\dfrac{\pi}{2}\right)\N).
Solution :
Rappelle-toi qu'un polynôme de Taylor à \(x=0\) s'appelle un polynôme de Maclaurin ! Tout d'abord, calcule les premières dérivées de \N(4\N) de \N(f(x)=\cos x\N) et évalue-les à \N(x=0\N).
Tableau 3. Dérivées et valeurs de la fonction pour \(\cos x\).
| \N(f(x)=\Ncos{x}\N) | \(f(0)=1\) |
| \N(f'(x)=-\sin{x}\N) | \(f'(0)=0\) |
| \N(f''(x)=-\cos{x}\N) | \(f''(0)=-1\) |
| \(f'''(x)=\sin{x}\) | \(f'''(0)=0\) |
| \(f^{(iv)}(x)=\cos{x}\) | \(f^{(4)}(0)=1\) |
Alors, le polynôme de Taylor du quatrième degré autour de \(x=0\) est
\[\begin{align}T_4(x) &=f(0)+\frac{f'(0)(x-0)}{1!}+\frac{f''(0)(x-0)^{2}}{2!}\\ & \quad+\frac{f'''(0)(x-0)^{3}}{3!}+\frac{f^{(4)}(0)(x-0)^{4}}{4!} \N- 1+0-\frac{x^2}{2!}+0+\frac{x^4}{4!} \\ &=1-\frac{x^2}{2!}+\frac{x^4}{4!}.\end{align}\]
Donc, en évaluant à \(x=2\), tu as
\N- [\N- Début{align}] \cos\left(\frac{\pi}{2}\right) &\approx T_4\left(\frac{\pi}{2}\right)\\ &=1-\frac{\frac{\pi}{2}}{2!}+\frac{\frac{\pi}{2}^4}{4!} \N- &=0,02.\Nend{align}\N]
Prenons un autre exemple.
Calcule la valeur de \(\sqrt{24}\) en utilisant une approximation quadratique.
Solution :
Dans ce cas, tu dois calculer le polynôme de Taylor du second degré de la fonction \(g(x)=\sqrt{x}\) puisque tu veux une approximation quadratique de \ (\sqrt{24}\).
Comme les polynômes de Taylor ne te permettent que d'approcher des valeurs proches de la valeur à laquelle ils sont centrés, tu as besoin d'une valeur proche de \(24\) où tu pourras trouver facilement la racine carrée. Prenons donc \(25\) puisque \(\sqrt{25}=5\).
Tableau 4. Tableau des dérivées et des valeurs des fonctions pour \(\sqrt{x}\).
| \(g(x)=\sqrt{x}\) | \(g(25)=\sqrt{25}=5\) |
| \(g'(x)=\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(g'(25)=\dfrac{1}{2\sqrt{25}}=\dfrac{1}{10}\) |
| \(g''(x)=-\dfrac{1}{4x^{3/2}}\) | \(g''(25)=-\dfrac{1}{4(25)^{3/2}}=-\dfrac{1}{1000}\) |
Ainsi, le polynôme quadratique (autre façon de dire second degré) de Taylor de \(\sqrt{x}\) centré sur \(x=25\) est
\[T_2(x)=5+\frac{(x-25)}{10}-\frac{(x-25)^2}{1000}.\]
En utilisant l'approximation \(T_2(x)\) tu obtiens
\[\begin{align} \sqrt{24}&\approx 5+\frac{(24-25)}{10}-\frac{(24-25)^2}{1000} \N- &= 4,899.\Nend{align}\N]
❗❗ Note que le polynôme de Taylor calculé dans l'exemple précédent n'a pas été utilisé parce qu'il était centré sur \(1\), et que \(1\) est très éloigné de \(24\), donc l'utiliser t'aurait donné une très mauvaise approximation.
Polynômes de Taylor - Principaux enseignements
- Soit \(f\) une fonction avec au moins \(n\) dérivées à \(x=c\). Alors, le polynôme de Taylor d'ordre \N(n^{th}\N) centré sur \N(x=c\N) est \N[\NBegin{align}T_n(x)&=f(c)+\Nfrac{f'(c)(x-c)}{1!}+\Nfrac{f'(c)(x-c)^2}{2!}+\Ncdots\N- &\Nquad +\Nfrac{f^{(n)}(c)(x-c)^n}{n!}. \[end{align}\N-]
- Si le polynôme de Taylor est centré sur \(x=0\), il est également connu sous le nom de polynôme de Maclaurin.
- Les polynômes de Taylor sont utilisés pour approximer des fonctions complexes et te permettent de calculer des valeurs difficiles à calculer.
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