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Définition de la modélisation du mouvement des particules
Qu'est-ce que la modélisation du mouvement des particules ?
Lamodélisation du mouvement des particules consiste à décrire le mouvement d'un objet discret ou d'une "particule" à l'aide d'un langage mathématique.
Cela peut se faire de plusieurs façons, par exemple à l'aide d'équations différentielles ou de fonctions de transfert, mais en mathématiques AP, cela se fera à l'aide de fonctions du temps.
Modéliser le mouvement d'une particule en fonction du temps
Pour modéliser le mouvement d'une particule en fonction du temps, tu dois prendre en compte les deux variables de la fonction : la variable dépendante et la variable indépendante.
Le temps est toujours la variable indépendante, mais quelle est la variable dépendante ?
Cela dépend de la partie du mouvement de la particule que tu modélise : position, déplacement, vitesse ou accélération. À quoi pourrait ressembler le déplacement d'une particule en fonction du temps ? Eh bien...
\N-[s(t) = t^3 + 2t^2 + t + 3\]
Et sa vitesse ?
\[v(t) = 3t^2 + 4t + 1 \]
Et son accélération ?
\[a(t) = 6t + 4\]
Ces exemples sont des polynômes, mais on peut imaginer que n'importe quelle fonction continue du temps pourrait modéliser le mouvement d'une particule.
En utilisant ces fonctions, tu peux calculer le déplacement, la vitesse et l'accélération d'une particule à un moment donné.
Par exemple, quel est le déplacement de la particule à \(3\) secondes ? Eh bien...
\[ \begin{align} s(t) &= t^3 + 2t^2 + t + 3 \\\\ s(3) &= 3^3 + 2\cdot 3^2 + 3 + 3 \\\\ &= 27 + 18 + 6 \\\\ &= 51 \,m \end{align} \]
Modélisation du mouvement des particules à l'aide de diagrammes
Pour bien comprendre la modélisation du mouvement des particules, il peut être utile de la visualiser à l'aide de diagrammes. Lorsque l'on modélise le mouvement d'une particule en fonction du temps en mathématiques AP, la particule se déplace généralement le long d'une ligne droite, et peut donc être représentée par une droite numérique.
Le déplacement de la particule est défini comme sa distance par rapport à un point spécifié. Le déplacement de la particule est une valeur vectorielle, ce qui signifie qu'il a une taille et une direction.
Le diagramme ci-dessous montre comment mesurer la position d'une particule le long d'une droite numérique. La position de la particule est mesurée à partir d'un point \(0\) spécifié.
Fig. 1. Position d'une particule.
Ledéplacement est similaire à la position mais subtilement différent. Le déplacement décrit l'endroit où se trouve la particule par rapport à sa position initiale. Nous pouvons trouver le déplacement en soustrayant la position initiale de la position actuelle. Si la position initiale de la particule est nulle, le déplacement et la position sont équivalents.
Par exemple, si la position initiale est \(-1\), et la position actuelle est \(2\), alors le déplacement est le suivant
\[s = 2 - (-1) = 3\]
Fig. 2. Déplacement d'une particule.
La vitesse d'une particule est le taux de changement de son déplacement/de sa position. En d'autres termes, il s'agit de la vitesse à laquelle le déplacement/la position de la particule change. Si une particule a une vitesse positive, elle se déplace dans le sens positif de la droite numérique (vers la droite), si elle a une vitesse négative, elle se déplace dans le sens négatif de la droite numérique (vers la gauche).
Fig. 3. Vitesse des particules.
L'accélération d'une particule est le taux de changement de sa vitesse. En d'autres termes, il s'agit de la vitesse à laquelle sa vitesse change. Si une particule a une accélération positive, sa vitesse augmente dans le sens positif, et si une particule a une accélération négative, sa vitesse augmente dans le sens négatif.
Fig. 4. Accélération des particules.
Il est important de se rappeler que l'accélération et la vitesse d'une particule n'ont pas nécessairement la même direction !
Droite-positive-gauche-négative n'est pas une règle absolue, c'est juste une pratique acceptée connue sous le nom de convention. Les scénarios individuels peuvent établir leur propre convention. Mais si la question ne le précise pas, tu dois supposer que la direction positive va vers la droite. Si la ligne de déplacement de la particule est verticale, alors la direction positive est vers le haut.
Modélisation du déplacement, de la vitesse et de l'accélération des particules
La définition de la vitesse est le changement de déplacement ou de position par rapport au temps, en d'autres termes, c'est le taux de changement du déplacement ou de la position.
La définition de l'accélération est le changement de la vitesse par rapport au temps, en d'autres termes, c'est le taux de changement de la vitesse.
Tu sais comment le calcul relie ces propriétés ?
Eh bien, pour trouver le taux de changement d'une particule, il suffit de trouver sa dérivée par rapport au temps, c'est-à-dire...
\[Déplacement \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Vitesse \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Accélération]
Oui, c'est vrai, l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, et la vitesse est la dérivée du déplacement par rapport au temps !
Cela signifie également que le déplacement est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps, et que la vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps.
\[Déplacement \xleftarrow{\int dt + x_0} Vitesse \xleftarrow{\int dt + v_0} Accélération]
Lors de l'intégration de l'accélération, la constante d'intégration est la vitesse initiale. Lors de l'intégration de la vitesse, la constante d'intégration est la position initiale.
Examinons quelques exemples.
(1) Le déplacement d'une particule dans le temps est modélisé comme suit
\[x(t) = t^2 + t\]
Trouve la vitesse et l'accélération de la particule en fonction du temps.
Solution :
La vitesse de la particule est la dérivée de son déplacement par rapport au temps. Par conséquent
\N-[v(t) = 2t + 1 \N]
L'accélération de la particule est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps. Par conséquent
\[a(t) = 2\]
(2) L'accélération d'une particule en fonction du temps est modélisée comme suit
\N- a(t) = t \N]
Trouve la vitesse et le déplacement de la particule en fonction du temps, étant donné les conditions initiales \(v_0 = 1 \,m/s\) et \(x_0 = 2 \,m\).
Solution :
La vitesse de la particule est l'intégrale de son accélération par rapport au temps. Par conséquent, la vitesse de la particule est l'intégrale de son accélération par rapport au temps.
\N- [\N- Début{align} v(t) &= \Nint a(t) \N, dt + C \\\\ &= \Nint t \N, dt + v_0 \\\\ &= \Nfrac{1}{2} t^2 + 1 \N- Fin{align} \]
Le déplacement de la particule est l'intégrale de sa vitesse par rapport au temps. Par conséquent
\[\N- s(t) &= \Nint v(t) \N, dt + C \\\\ &= \Nint \Nfrac{1}{2}t^2 + 1 \N, dt + x_0 \\\\ &= \Nfrac{1}{6} t^3 + t + 2 \Nend{align} \]
Exemples de modélisation du mouvement des particules
Examinons quelques autres exemples de modélisation du mouvement des particules.
(1) Le déplacement en ligne droite d'une particule, en mètres, peut être modélisé par le polynôme suivant.
\[s(t) = x^2 + 2x + 3\]
(a ) Quelle est la fonction de la vitesse de la particule en fonction du temps ?
(b ) Quelle est l'accélération de la particule ?
(c ) La vitesse de la particule augmente-t-elle ou diminue-t-elle ?
Solution :
(a) La vitesse de la particule est simplement la dérivée de son déplacement par rapport au temps.
\[\begin{align} v(t) &= \frac{d s}{dt} \\\\ v(t) &= 2x + 2 \Nend{align} \]
(b) L'accélération de la particule est la dérivée de sa vitesse par rapport au temps.
\[\begin{align} a(t) &= \frac{dv}{dt} \\\\ a(t) &= 2 \ \end{align}\]
(c) La vitesse de la particule augmente car elle subit une accélération positive.
(2) L'accélération en ligne droite d'une particule, en mètres, peut être modélisée par le polynôme suivant.
\N[ a(t) = 4t + 7 \N]
La particule a des conditions initiales \(x_0=2,m\) et \(v_0=3,m/s\).
(a ) Quelle est la fonction de la vitesse de la particule en fonction du temps ?
(b) Quel est le déplacement de la particule au temps \(t = 4\,s\)
Solution :
(a ) La vitesse de la particule est simplement l'intégrale de son accélération par rapport au temps.
\N- [\N- Début{align} v(t) &= \Nint a(t)\N,dt+C \\\\ &= \Nint 4t+7\N,dt + v_0 \\\\ &= 2t^2 + 7t + 3 \N- Fin{align}\N].
(b) Le déplacement de la particule est simplement l'intégrale de sa vitesse par rapport au temps.
\N- [\N- Début{align} s(t) &= \Nint v(t)\N,dt + C \\\\ &= \Nint 2t^2 + 7t + 3 \N,dt + x_0 \\\\ &= \Nfrac{2}{3}t^3 + \Nfrac{7}{2}t^2 + 3t + 2 \Nend{align}\N]
(3) La vitesse d'une particule en \(m/s\) est modélisée comme la fonction suivante du temps.
\N-[v(t) = t^2 -3t + 4\N]
Quelle distance la particule parcourt-elle pendant l'intervalle de temps entre \N(t=2\N,s\N) et \N(t=4\N,s\N) ?
Solution :
Pour trouver le déplacement de la particule sur l'intervalle, trouve l'intégrale définie par rapport au temps de la vitesse sur cet intervalle.
\N- [\N- Début{align} s &= \Nint_2^4 v(t)\N,dt \\\\ &= \Nint_2^4 t^2 -3t + 4 \N,dt \\\\ &= \Nleft[ \Nfrac{1}{3}t^3 - \Nfrac{3}{2}t^2 + 4t \Nright]_2^4 \\\\ &= \left( \frac{1}{3}4^3 - \frac{3}{2}4^2 + 4\cdot 4 \right) - \left( \frac{1}{3}2^3 - \frac{3}{2}2^2 + 4\cdot2\right) \\\\ &= 8.67\N- m \Nend{align} \]
(4) Le graphique ci-dessous montre la vitesse d'une particule en fonction du temps. Sa position initiale est \N(x = 2,m\N).
Fig. 5. Graphique de la vitesse d'une particule en fonction du temps.
(a ) Quel est le déplacement total de la particule après \(6\,s\) ?
(b) Quelle est la position de la particule après \N(4\N,s\N) ?
Solution :
(a) Le déplacement de la vitesse est son intégrale par rapport au temps, malheureusement, la question ne fournit pas la vitesse comme une fonction en termes de temps qui peut être intégrée.Lorsque l'on calcule une intégrale définie, quelle est la grandeur physique que l'on cherche à résoudre ? La réponse est l'aire sous le graphique dans l'intervalle donné.
Dans ce cas, l'intervalle est compris entre \(0,s\) et \(6,s\). Pour trouver le déplacement, il suffit donc de trouver l'aire sous le graphique entre ces deux points dans le temps.
\N- [\N- Début{align}] A &= 2\cdot 2 + 3 \cdot 2 + 1 \cdot 2 \\\\ &= 4 + 6 + 2 \\\\ &= 12 \end{align}\]
Par conséquent, le déplacement total de la particule est \N(12\N,m\N).
(b) Comme dans la partie (a), l'aire sous le graphique dans l'intervalle \(0\N,s\N) à \N(4\N,s\N) est le déplacement de la particule.
\N- [\N- Début{align} A &= 2\cdot 2 + 3 \cdot 2 \\\\ &= 4 + 6 \\\\ &= 10 \cend{align}\N]
Le déplacement de la particule est donc \(10\,m\).
Étant donné que la particule commence à la position \N(x=2\N,m\N), sa position à \N(4\N,s\N) est la suivante
\[\N- Début{alignement} x&=s-x_0 \\\\ &= 10-2 \\\\ &=8 \N,m \NFin{alignement} \N]
Modélisation du mouvement des particules - Principaux enseignements
- Lamodélisation du mouvement des particules consiste à décrire le mouvement d'un objet discret ou d'une "particule" à l'aide d'un langage mathématique.
- La vitesse est le changement de déplacement ou de position par rapport au temps, en d'autres termes, c'est le taux de changement du déplacement ou de la position.
- L'accélération est la variation de la vitesse par rapport au temps, c'est-à-dire le taux de variation de la vitesse.
- La façon la plus simple de trouver le taux de changement d'une particule est de trouver sa dérivée par rapport au temps, c'est-à-dire que l'accélération est la dérivée de la vitesse par rapport au temps, et la vitesse est la dérivée du déplacement par rapport au temps.
\[Déplacement \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Vitesse \xrightarrow{\frac{d}{dt}} Accélération]
Le déplacement est l'intégrale de la vitesse par rapport au temps, et la vitesse est l'intégrale de l'accélération par rapport au temps.
\[Déplacement \xleftarrow{\int dt + x_0} Vitesse \xleftarrow{\int dt + v_0} Accélération]
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