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Modèles de croissance de la population

Supposons que tu plantes un jardin rempli de fruits, de légumes et de fleurs. Cependant, tu remarques des trous et des traces de morsures de feuilles sur tes plantes. Il est clair que tu as une infestation de parasites. La solution la plus évidente pour débarrasser ton jardin des parasites est d'utiliser des pesticides. Cependant, tu reconnais les dangers pour l'environnement et les humains associés aux pesticides. Tu sais que tu dois limiter autant que possible ton utilisation de pesticides nocifs. Tu pourrais envisager d'utiliser un modèle de population pour établir un seuil de nuisibles. Si la population d'insectes augmente au-delà de ton seuil, tu sauras qu'il faut agir avec des pesticides. Prévoir quand la population de nuisibles dépassera ton seuil t'aiderait à minimiser de façon proactive les dommages causés à ton jardin par les nuisibles.

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Last Updated: 01.01.1970
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En général, les écologistes et les experts en matière de population utilisent des modèles de changement de population pour décrire la population et prédire son évolution.

Dans l'AP Calculus, tu travailleras principalement avec deux modes de changement de population : exponentiel et logistique.

Modèles de croissance de la population en calcul

Dans AP Calculus, tu travailleras principalement avec deux modèles de changement de population : exponentiel et logistique.

Les principales différences entre ces deux modèles sont les suivantes :

La croissance exponentielle est en forme de J alors que la croissance logistique est sigmoïde (en forme de S).
La croissance exponentielle dépend exclusivement de la taille de la population, tandis que la croissance logistique dépend de la taille de la population, de la concurrence et du nombre de ressources
La croissance exponentielle s'applique à une population dont la croissance n'est pas limitée, tandis que la croissance logistique s'applique plutôt à toute population ayant une capacité de charge.

Dans les sections suivantes, tu découvriras ces deux modèles en profondeur.

Le modèle exponentiel de croissance de la population

Lacroissance exponentielle décrit un modèle particulier de données qui augmente de plus en plus avec le temps. Le graphique des données reflète une fonction exponentielle et crée une forme en J.

Modèles de croissance de la population exemple de graphique croissance exponentielle StudySmarter La croissance exponentielle du temps par rapport à la taille de la population est une fonction en forme de J - StudySmarter Originals

En ce qui concerne l'évolution de la population, la croissance exponentielle se produit lorsqu'une quantité infinie de ressources est disponible pour la population. Prends l'exemple de notre jardin. La population de parasites augmentera de façon exponentielle s'il n'y a pas de limites à la quantité de nourriture que les parasites peuvent manger dans ton jardin infiniment grand.

La population humaine croît actuellement à un rythme exponentiel. Cependant, la Terre ne dispose pas d'une quantité infinie de ressources. Les scientifiques émettent l'hypothèse que nous finirons par atteindre une "capacité de charge", dont nous parlerons plus en détail dans la section suivante.

La formule de la croissance exponentielle est la suivante

$P = C e^{k t}$

où $C$ est une constante déterminée par la population initiale, $k$ est la constante de croissance et est supérieure à 0, et $t$ est le temps.

Pour plus de détails sur la croissance exponentielle, consulte notre article sur la croissance et la décroissance exponentielles.

Le modèle logistique pour la croissance de la population

Lacroissance logistique décrit un modèle de données dont le taux de croissance devient de plus en plus petit au fur et à mesure que la population s'approche d'un certain maximum - souvent appelé capacité de charge. Le graphique de la croissance logistique est une courbe sigmoïde.

Modèles de croissance démographique exemple de graphique de croissance logistique StudySmarter La croissance logistique du temps en fonction de la taille de la population est une fonction sigmoïde (en forme de S) - StudySmarter Originals

En ce qui concerne l'évolution de la population, la croissance logistique se produit lorsque les ressources disponibles sont limitées ou lorsqu'il y a concurrence entre les animaux. La population de nuisibles augmentera jusqu'à ce que nous introduisions des pesticides. La capacité de charge permet à notre jardin de prospérer en veillant à ce que la population de nuisibles ne devienne pas trop importante tout en limitant notre utilisation de pesticides toxiques.

La formule de la croissance logistique est la suivante

$N = \frac{M C}{C + e^{- k t}}$

où $M$ est la capacité de charge, $C$ est une constante déterminée par la population initiale, $k$ est la constante de croissance, et $t$ est le temps. Toutes les valeurs sont positives.

Pour plus de détails sur la croissance logistique de la population, consulte notre article sur l'équation différentielle logistique.

Modèles de formules de croissance de la population

Croissance exponentielle

Le taux de variation d'une fonction de croissance exponentielle $P$ peut être modélisé par l'équation différentielle

$\frac{d P}{d t} = k P$

Croissance et décroissance logistiques

Le taux de variation d'une fonction de croissance logistique $N$ peut être modélisé par l'équation différentielle

$\frac{d N}{d t} = k N (1 - \frac{N}{M})$

Exemples de modèles de croissance démographique

Exemple 1

Le taux de changement d'une culture de bactéries est proportionnel à la population elle-même. Lorsque $t = 0$ il y a 100 bactéries. Deux minutes plus tard, à $t = 2$ il y a 300 bactéries. Combien y a-t-il de bactéries à 4 minutes ?

Étape 1 : Décider du modèle de croissance de la population à suivre

On ne nous parle pas d'éventuelles limites de capacité de charge dans ce problème, et le taux de croissance est proportionnel à la population de bactéries, il est donc prudent de supposer que ces bactéries suivront un modèle de croissance exponentielle.

Étape 2 : Utilise la condition initiale pour trouver C

Puisque la population suit un taux de croissance exponentiel, nous savons que la population $P$ peut être modélisée par

$P = C e^{k t}$

Pour trouver $C$ nous pouvons introduire notre condition initiale (0, 100).

$100 = C e^{(0) k} 100 = C (1) 100 = C$

Étape 3 : Utilise la deuxième condition pour trouver le taux de croissance k

Pour trouver $k$ nous pouvons introduire la deuxième condition (2, 300).

$300 = 100 e^{2 k} 3 = e^{2 k} \ln (3) = 2 k \frac{\ln (3)}{2} = k$

Étape 4 : Inscris t = 4 pour trouver la population.

$P (4) = 100 e^{\frac{\ln (3)}{2} (4)} P (4) = 900$

Par conséquent, à 4 minutes, la population de bactéries est de 900.

Exemple 2

Une population de lapins a un taux de variation de

$\frac{d N}{d t} = 0.05 N (1 - \frac{N}{500})$

où t est une mesure en années.

Quelle est la taille de la population de lapins à quatre ans ?
Combien y aura-t-il de lapins à 10 ans ?
Quand la population de lapins atteindra-t-elle 400 ?

Étape 1 : Extraire les variables de la forme différentielle

D'après la définition de la forme différentielle du modèle de croissance logistique, nous savons que $k = 0.05$ , $M = 500$ , et à $t = 0$ , $N = 100$ .

Étape 2 : Insère les variables dans l'équation de la croissance logistique.

$N = \frac{500 C}{C + e^{- 0.05 t}}$

Étape 3 : Résoudre C avec la valeur initiale

$100 = \frac{500 C}{C + e^{- 0.05 (0)}} 100 = \frac{500 C}{C + 1}$

Nous pouvons utiliser la multiplication croisée pour résoudre $C$ .

$100 (C + 1) = 500 C C + 1 = 5 C C = \frac{1}{4}$

Étape 4 : Introduis t = 4 et t = 10

En introduisant $C$ et à $N$

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}}$

Nous pouvons maintenant introduire $t = 4$ et $t = 10$ .

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 (4)}} N = 116.961$

$N = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 (10)}} N = 145.948$

Au bout de quatre ans, la population de lapins sera d'environ 117. Après 10 ans, la population de lapins sera d'environ 146.

Étape 5 : Soit N = 400 et résous t

$400 = \frac{500 (\frac{1}{4})}{\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}} 400 (\frac{1}{4} + e^{- 0.05 t}) = 125 100 + 400 e^{- 0.05 t} = 125 e^{- 0.05 t} = \frac{1}{16} - 0.05 t = \ln (\frac{1}{16}) t = 55.452$

Il faudra donc environ 55,5 ans à la population de lapins pour atteindre une population de 400.

Modèles de croissance de la population - Principaux enseignements

La croissance de la population peut prendre deux formes : exponentielle ou logistique.
- La croissance exponentielle de la population se produit lorsque les ressources sont illimitées - le taux de variation de la population est strictement basé sur la taille de la population.
- La croissance démographique logistique se produit lorsque les ressources disponibles sont limitées et qu'il y a de la concurrence pour accéder aux ressources - le taux de variation de la population est basé sur la taille de la population, la concurrence et le nombre de ressources.

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Questions fréquemment posées en Modèles de croissance de la population

Qu'est-ce qu'un modèle de croissance de la population en mathématiques ?

Un modèle de croissance de la population en mathématiques est une méthode utilisée pour prédire l'évolution de la population dans le temps.

Quels sont les différents types de modèles de croissance de la population ?

Les principaux types sont le modèle de croissance exponentielle et le modèle logistique. Le premier suit une courbe exponentielle, tandis que le second tient compte des limites environnementales.

Comment fonctionne le modèle de croissance exponentielle ?

Le modèle de croissance exponentielle décrit une situation où la population croît à un taux proportionnel à sa taille actuelle, souvent représentée par la formule P(t) = P0 * e^(rt).

Quelles sont les applications des modèles de croissance de la population ?

Les modèles de croissance de la population sont utilisés en écologie, économie, urbanisme et planification des ressources pour prédire et gérer les populations humaines et animales.

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