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Une façon de trouver la surface du beignet serait de le considérer comme un cercle dans un cercle ! De cette façon, tu peux trouver la surface du plus petit cercle et la soustraire de la surface du plus grand cercle.
Tu peux utiliser une idée similaire pour trouver le volume d'un solide de révolution ! Grâce à une simple généralisation de la méthode du disque, tu peux enlever une partie du disque pour trouver le volume d'un solide creux de révolution.
Définition de la méthode de la rondelle
La méthode de la rondelle est une méthode d'intégration qui découpe un solide de révolution en une série de rondelles tridimensionnelles, ou beignets plats. Le volume de chaque rondelle est additionné pour trouver le volume total du solide.
La méthode des rondelles est une méthode de calcul du volume d'un solide de révolution formé par la rotation d'une région qui n'est pas limitée par l'axe de rotation.
En général, on fait tourner la région délimitée par deux courbes. Comme pour la méthode du disque, l'intégration est parallèle à l'axe de rotation.
Cette méthode est une modification de la méthode du disque pour les solides qui sont creux d'une certaine manière. On l'appelle la "méthode de la rondelle" parce que les sections transversales ressemblent à des rondelles.
Figure 1. Section transversale d'une rondelle vue du dessus
La méthode de la rondelle est particulièrement utile pour trouver le volume d'un solide de révolution lorsque l'axe de rotation ne délimite pas la région en rotation. Comme l'axe de rotation n'est pas une limite de la région à faire tourner, le solide de révolution qui en résulte est creux.
La méthode de la rondelle et le calcul
Pour mieux comprendre la méthode de la rondelle, jette un coup d'œil à l'image suivante.
La section transversale d'une rondelle est constituée de deux cercles concentriques. Pour trouver la surface de cette section, \N( A_\text{washer} \N), tu dois soustraire la surface du plus petit cercle de la surface du plus grand cercle, c'est-à-dire
\[ \begin{align} A_{\text{washer}} &= \pi R^2 - \pi r^2 \\N- \N- &= \pi (R^2-r^2), \Nend{align}\N]
où \N R \N est le rayon du plus grand cercle, et \N r \N est le rayon du plus petit cercle.
Pour trouver le volume de la rondelle, \( V_\text{washer} \), tu multiplies l'aire de la section transversale ci-dessus par son épaisseur, soit
\[ V_{\text{washer}}} = \pi (R^2-r^2) \N, \NDelta x, \N]
où \( \Delta x \) est l'épaisseur de la rondelle.
Maintenant que tu as trouvé le volume d'une rondelle individuelle, l'étape suivante consiste à additionner les volumes de toutes les rondelles.
Pour obtenir le volume exact du solide, il faut tenir compte de certaines considérations. Tout d'abord, supposons que le solide de révolution soit obtenu en faisant tourner la limite de l'aire entre \Nf(x) et \Ng(x),\Noù \Nf(x) > \Ng(x).
Le grand et le petit rayon de la section transversale d'une rondelle deviennent des fonctions, donc \N(R) devient \N( f(x).\N) et \N( r) devient \N( g(x).\N).
Les rondelles deviennent très fines, ainsi \N( \NDelta x \N) devient \N( \Nmathrm{d}x.\N)
Au lieu d'additionner toutes les rondelles, tu les intègres, ce qui signifie que la somme, \N( \NSigma, \N) devient l'intégration, \N( \Nint.\N).
Tu peux trouver quelle fonction représente les cercles intérieurs en regardant quelle fonction est la plus proche de l'axe \(x-\).
Lorsque les rondelles deviennent très fines, leur longueur devient une différentielle. Ces différentielles sont additionnées au moyen de l'intégration. C'est là que le calcul entre en jeu !
Tu peux obtenir la formule pour trouver le volume d'un solide de révolution obtenu avec la méthode de la rondelle en suivant les considérations ci-dessus.
Formule pour la méthode de la rondelle
Supposons que la région délimitée par deux fonctions, f(x) et g(x), tourne autour de l'axe (x-) sur un intervalle (a,b). La formule pour trouver le volume du solide de révolution avec la méthode de la rondelle est la suivante
\[V=\int_a^{b} \pi \left[ \left( f(x) \right) ^2 - \left( g(x) \right)^2 \right] \, \mathrm{d}x, \]
où \( |f(x)| > |g(x)| \) dans l'intervalle d'intégration.
Si la révolution se fait autour de l'axe \N(y-\N), la formule est adaptée comme suit
\[ V =\int_a^b \pi \left[ \left( f(y) \right) ^2 - \left( g(y) \right) ^2 \right] \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \NMathrm{d}y. \]
Dans ce cas, \N( g(y) \N) est la fonction qui est la plus proche de l'axe \N( y-\N).
Tu peux utiliser les propriétés des intégrales pour écrire les formules ci-dessus sous la forme suivante
\[ V = \int_a^b \pi \left[ f(x) \right]^2 \N, \mathrm{d}x - \int_a^b \pi \left[ g(x) \Nright]^2 \N, \mathrm{d}x, \N].
et
\V = \int_a^b \pi \left[ f(y) \right]^2 \N, \mathrm{d}y - \int_a^b \pi \left[ g(y) \right]^2 \N, \mathrm{d}y, \N].
essentiellement en faisant les formules comme si tu faisais la méthode du disque pour deux fonctions, et que tu soustrayais ensuite le volume intérieur du volume extérieur.
Étapes de calcul de la méthode de la rondelle
Bien que la méthode de la rondelle s'appuie sur la méthode du disque, elle est légèrement plus complexe. Voici les étapes générales que tu dois suivre pour obtenir le volume d'un solide obtenu par la méthode du disque.
Étape 1 : Représentation graphique de la région
Pour t'assurer que tu visualises correctement la région, fais un graphique de la région tout en identifiant l'axe de rotation. Cela t'aidera pour l'étape suivante.
Étape 2 : Trouver les rayons extérieur et intérieur
Ensuite, tu dois trouver la fonction qui correspond au rayon extérieur et celle qui correspond au rayon intérieur. Les rayons sont déterminés en fonction de la distance entre les fonctions et l'axe de rotation, de sorte que la fonction la plus proche de l'axe doit être le rayon intérieur, \N( r(x),\N) et l'autre le rayon extérieur, \N( R(x).\N).
Cela signifie que le rayon extérieur sera la fonction qui est la plus grande en valeur absolue, ce qui signifie que \( |R(x)| > |r(x)|.\) La valeur absolue ne sert qu'à identifier la fonction en question ! Il n'est pas nécessaire de calculer la valeur absolue lors de l'intégration.
Étape 3 : utilise la formule de la méthode de la rondelle.
Il ne te reste plus qu'à brancher les bornes, les deux rayons, et tu te retrouves avec une intégrale définie que tu peux résoudre en utilisant la méthode de ton choix.
Exemples de la méthode de la rondelle
Voici quelques exemples de la méthode de la rondelle pour trouver le volume des solides de révolution.
Considère les fonctions
\[ f(x) = -x^2 + 3 \quad \text{for} \quad 0 \leq x \leq 1,\]
et
\[ g(x) = -x^2 + 2 \quad \text{for} \quad 0 \leq x \leq 1,\]
Trouve le volume du solide de révolution obtenu en faisant tourner l'aire délimitée entre les deux courbes le long de l'axe \(x-\).
Réponse :
1. Trace le graphique de la région.
Commence par représenter graphiquement les deux fonctions. \N( f(x)) est une parabole dont le sommet est situé à \N( (0,3)) et \N( g(x)) est une parabole dont le sommet est situé à \N( (0,2).\N). Les deux paraboles s'ouvrent vers le bas.
Figure 4. Graphique des paraboles dans l'intervalle donné.
Le solide de révolution sera obtenu par rotation de la zone suivante délimitée entre les deux courbes.
Figure 5. Zone délimitée entre les deux paraboles
Le solide obtenu se présente comme suit.
Figure 6. Solide obtenu par rotation de la région ci-dessus autour de l'axe \(x-\).
2. Trouve les rayons extérieur et intérieur.
Note que \( f(x) \) est supérieur à \( g(x) \) dans l'intervalle donné, donc \(f(x)=R\) et \( g(x)=r.\).
3. Utilise la formule de la méthode de la rondelle.
Tu devras élever les deux fonctions au carré, donc
\[ \begin{align} R^2 &= ( f(x) )^2 \N- \N- \N- &= (-x^2+3)^2 \N- \N- \N- &= x^4-6x^2+9 \N- end{align} \]
et
\[ \begin{align} r^2 &=( g(x) )^2 \\ \\ &= (-x^2+2)^2 \\ \\ &= x^4-4x^2+4. \N-END{align} \]
Ensuite, tu soustrais le carré de la fonction du rayon intérieur, \N( r^2,\N) du carré de la fonction du rayon extérieur, \N( R^2,\N), c'est-à-dire
\[ \begin{align} R^2-r^2 &= \left( x^4-6x^2+9 \right) - \left( x^4-4x^2+4\right) \\N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- -2x^2+5. \N- [end{align}\N]
De cette façon, tu peux utiliser la formule de la méthode de la rondelle, donc
\[ \begin{align} V &= \int_a^b \pi \left( R^2-r^2 \right) \, \mathrm{d}x \\ \\ &= \int_0^2 \pi (-2x^2+5) \, \mathrm{d}x \\ \\ &= \pi \int_0^1 (-2x^2+5) \, \mathrm{d}x. \N-END{align} \]
Tu peux évaluer l'intégrale définie résultante en trouvant d'abord l'intégrale indéfinie à l'aide de la règle de puissance, c'est-à-dire
\[ \Nint (-2x^2+5) \N, \Nmathrm{d}x = -\frac{2}{3}x^3+5x,\N]
et utilise ensuite le théorème fondamental du calcul, ce qui te donnera
\[ \begin{align} \N-int_0^1 (-2x^2+5) \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N-{13}{3}}. \N- [end{align}\N]
Enfin, tu multiplies l'intégrale définie ci-dessus par \N( \Npi, \N) pour obtenir le volume du solide, c'est-à-dire
\[ V= \frac{13\pi}{3}.\]
Que penses-tu d'une fonction exponentielle ?
Considère les fonctions
\[ p(x) = e^x \quad \text{for} \quad 0 \leq x \leq 2 \]
et
\[ q(x) = 1 \quad \text{for} \quad 0 \leq x \leq 2.\]
Trouve le volume du solide de révolution obtenu en faisant pivoter la zone délimitée entre les deux courbes le long de l'axe \(x-\).
Réponds :
1. Trace le graphique de la région.
Une fois de plus, tu dois représenter graphiquement les fonctions données. Pour \( p(x),\), note qu'il s'agit d'une fonction exponentielle, et \( q(x) \) est une fonction constante, c'est donc une ligne horizontale.
Figure 7. Graphique de la fonction exponentielle et de la fonction constante
De cette façon, la région à faire tourner est donnée comme suit.
Figure 8. Surface délimitée par les deux fonctions
Et le solide de révolution est représenté sur l'image suivante.
Figure 9. Solide obtenu par la rotation de la région ci-dessus autour de l'axe \(x-\).
2. Trouve les rayons extérieur et intérieur.
D'après le graphique précédent, tu peux noter que \N( q(x) \Nest plus proche de l'axe des x dans l'intervalle donné, donc \N( q(x)=r.\N). La fonction restante est donc \N( p(x)=R.\N)
3. Utilise la formule de la méthode de la rondelle.
Tu devras prendre la différence des carrés des deux fonctions, donc d'abord le carré de \(R,\N) en obtenant
\N[ \N- R^2 &= (e^x)^2 \N- e^{2x}. \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N- \N]
Le carré de la fonction constante 1 est juste
\N[ \N- r^2 &=1^2 \N- &=1, \Nend{align}\N]
De cette façon, la différence des carrés devient
\N- R^2-r^2=e^{2x}-1. \N]
Tu peux maintenant insérer l'expression ci-dessus dans la formule de la méthode Washer, c'est-à-dire
\[ \N-int_a^b \Npi (R^2-r^2)\N,\Nmathrm{d}x = \Nint_0^2 \Npi \Ngauche( e^{2x}-1 \Ndroite) \N,\Nmathrm{d}x.\N]
Pour évaluer l'intégrale définie, commence par trouver l'intégrale indéfinie
\[ \Nint (e^{2x}-1) \N, \Nmathrm{d}x = \Nfrac{1}{2}e^{2x}-x,\N]
et utilise ensuite le théorème fondamental du calcul pour évaluer les deux extrémités, c'est-à-dire
\[ \begin{align} \Nint_0^2 (e^{2x}-1)\Nmathrm{d}x &= \Ngauche(\Nfrac{1}{2}e^{2(2)}-2\Ndroite) - \Ngauche( \Nfrac{1}{2}e^{2(0)}-0\Ndroite) \N \N &= \Ngauche( \Nfrac{1}{2}e^4-2\Ndroite) - \Ngauche(\Nfrac{1}{2}\Ndroite) \Nfrac{1}{2}e^4-\Nfrac{5}{2} \\ \\ &= \frac{1}{2}(e^4-5) .\end{align}\]
Enfin, en multipliant par \(\pi\) le résultat ci-dessus, on obtient le volume du solide, donc
\[ V = \frac{\pi}{2}(e^4-5).\]
Note que les solides de révolution sont creux dans les deux exemples !
Méthode de la rondelle - Points clés
- La méthode de la rondelle est une méthode de calcul du volume d'un solide de révolution lorsque la région à faire tourner n'est pas limitée par l'axe de rotation.
- Il s'agit d'une modification de la méthode du disque pour les solides comportant un trou au milieu
- On l'appelle la "méthode de la rondelle" parce que les sections transversales ressemblent à des rondelles
- La formule de laméthode de la rondelle est la suivante
\[V=\int_a^{b}(R^{2}-r^{2})dx\]
où \(R\) est le rayon extérieur du solide et \(r\) est le rayon intérieur du solide.
Si une région tourne autour de l'axe \(x\) ou de toute autre ligne horizontale, les tranches sont verticales - nous devons les intégrer par rapport à \(x\).
Si une région tourne autour de l'axe \(y\) ou de toute autre ligne verticale, les tranches sont horizontales - nous devons les intégrer par rapport à \(y\).
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