Un pont suspendu au milieu de la forêt
Le calcul a de nombreuses applications, dont l'une consiste à trouver les propriétés des courbes. Trouver la longueur d'une courbe est un excellent exemple d'utilisation conjointe des dérivées et des intégrales. Voyons comment les dérivées et les intégrales s'associent pour trouver la longueur d'une courbe !
Trouver la longueur de l'arc d'une courbe
Réfléchissons un instant à la longueur d'une courbe. Si, au lieu d'une courbe, tu avais une ligne droite, tu pourrais facilement trouver sa longueur dans un intervalle donné en utilisant le théorème de Pythagore.
Fig. 1. Le théorème de Pythagore peut être utilisé pour trouver la longueur d'un segment de droite.
Tout comme tu peux calculer approximativement la surface située sous une courbe à l'aide de rectangles, tu peux calculer approximativement la longueur d'une courbe à l'aide de segments de droite. Voyons une illustration de cette méthode.
Fig. 2. Approximation de la longueur de la parabole à l'aide de 4 segments.
Si tu utilises plus de segments, tu obtiendras une meilleure approximation.
Fig. 3. Approximation de la longueur de la parabole à l'aide de 8 segments.
Cela te semble familier ? Comme pour les sommes de Riemann, tu commences par faire une partition de l'intervalle, puis tu évalues la fonction à chaque valeur de la partition. Cette fois-ci, tu n'as pas à t'occuper des extrémités droite et gauche puisque les deux valeurs sont utilisées pour trouver les segments. La longueur de chaque segment individuel peut être trouvée en utilisant le théorème de Pythagore.
Fig. 4. Le théorème de Pythagore peut être utilisé pour trouver la longueur de chaque segment.
Enfin, tous les segments sont additionnés, ce qui permet de trouver une approximation de la longueur de la courbe. Mais que faire si nous voulons la valeur exacte de la longueur de la courbe ? Il faut alors procéder à une intégration.
Formule pour la longueur de l'arc d'une courbe
Suppose que tu doives trouver une approximation de la longueur d'une courbe dans l'intervalle \( [a,b] \). Tu peux suivre les étapes suivantes :
Effectue une partition de l'intervalle en utilisant \(N\) points.
Trouve la longueur de chaque segment qui relie une paire de points adjacents de la partition.
Additionne la longueur de tous les segments.
Nommons chaque segment individuel \(s_{i}\) et l'approximation sera \(S_N\). La longueur du \(i\text{-}\) ième segment est donnée par
$$s_{i}=\sqrt{(\Delta x)^2+(\Delta y_{i})^2}.$$
Tu peux réécrire l'expression ci-dessus comme suit
$$s_{i}=\Delta x\sqrt{1+\Big(\frac{\Delta y_{i}}{\Delta x}\Big)^2}$$$.
à l'aide d'un peu d'algèbre. En additionnant tous les segments, tu obtiens une approximation de la longueur de la courbe
$$S_N = \sum_{i=1}^{N}s_{i}.$$
Pour chaque segment \(s_{i}\), le théorème de la valeur moyenne nous dit qu'il existe un point dans chaque sous-intervalle \(x_{i-1}\leq x_{i}^{*}\leq x_{i}\) tel que \(f'(x_{i}^{*})=\frac{\Delta y_{i}}{\Delta x_i}\). C'est là que les dérivées entrent en jeu ! La longueur de chaque segment individuel peut alors être réécrite comme suit
$$s_{i}=\Delta x\sqrt{1+(f'(x_{i}^{*}))^2}.$$
En prenant la limite comme \(Nrightarrow\infty\), la somme devient l'intégrale
$$\begin{align}\text{Arc Length} &= \lim_{Nrightarrowrow\infty}\sum_{i=1}^{N}\Delta x\sqrt{1+(f'(x_{i}^{*})^2}\ &=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2},\mathrm{d}x,\end{align}$$$.
ce qui te donne une expression pour la longueur de la courbe. C'est la formule de la longueur de l'arc.
Soit \(f(x)\) une fonction différentiable sur l'intervalle \([a,b]\) dont la dérivée est continue sur le même intervalle. La longueur de l'arc de la courbe entre le point \N(a,f(x))\Net le point \N(b,f(b))\Nest donnée par la formule suivante :
$$\text{Arc Length}=\int_{a}^{b}\sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x.$$
Remarque que les expressions utilisées pour trouver les longueurs d'arc sont parfois difficiles à intégrer. Si tu as besoin de te rafraîchir la mémoire, n'hésite pas à consulter notre article sur les techniques d'intégration !
Exemples de longueur d'arc d'une courbe
Voyons quelques exemples de la façon de trouver la longueur de l'arc d'une courbe.
Trouve la longueur de \(f(x)=x^{\frac{3}{2}}) sur l'intervalle \([0,3]\N).
Réponse :
Pour trouver la longueur de l'arc de la fonction donnée, tu dois d'abord trouver sa dérivée, qui peut être trouvée à l'aide de la règle de la puissance, c'est-à-dire
$$f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}.$$
Puisque la dérivée a donné une fonction continue, tu peux librement utiliser la formule pour trouver la longueur de l'arc.
$$\text{Longueur d'arc}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\\Nmathrm{d}x,$$
et remplace ensuite \(a=0\), \(b=3\), et \(f'(x)=\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\) dans la formule, ce qui te donne
$$\begin{align} \text{Arc Length} &= \int_0^3 \sqrt{1+\Big(\frac{3}{2}x^{\frac{1}{2}}\Big)^2},\mathrm{d}x \\[0.5em] &=\int_0^3 \sqrt{1+\frac{9}{4}x},\mathrm{d}x. \Nend{align}$$
Tu peux trouver l'antidérivée en utilisant l'intégration par substitution. Commence par laisser
$$u=1+\frac{9}{4}x,$$
utilise la règle de puissance pour trouver sa dérivée
$$\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{9}{4},$$
et l'utiliser pour trouver \( \mathrm{d}x \)$$\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\mathrm{d}u.$$
De cette façon, tu peux écrire l'intégrale en termes de \(u\N) et \N(\mathrm{d}u\N)
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\int\sqrt{u}\,\mathrm{d}u,$$
tu peux donc l'intégrer à l'aide de la règle de puissance
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{4}{9}\cdot\frac{2}{3}u^{\frac{3}{2}},$$
et substituer \(u=1+\frac{9}{4}x\) en simplifiant
$$\int\sqrt{1+\frac{9}{4}x}\,\mathrm{d}x=\frac{8}{27}(1+\frac{9}{4}x)^{\frac{3}{2}}.$$
Tu peux maintenant revenir à la formule de la longueur d'arc et évaluer l'intégrale définie à l'aide du théorème fondamental du calcul.
$$\text{Arc Length}=\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4}(3)\right)^{\frac{3}{2}}-\frac{8}{27}\left(1+\frac{9}{4}(0)\right)^{\frac{3}{2}}.$$
L'expression ci-dessus peut être évaluée à l'aide d'une calculatrice. Ici, nous arrondirons à 2 décimales inférieures à des fins d'illustration, soit
$$\text{Longueur de l'arc}\approx 6.1$$$
Si tu ne sais pas si une fonction est continue ou non, consulte l'article Continuité sur un intervalle.
La plupart des intégrales que nous devons évaluer pour trouver la longueur d'arc d'une courbe sont difficiles à réaliser. Nous pouvons utiliser un système de calcul formel pour évaluer les intégrales définies qui en résultent !
Trouve la longueur de l'arc de \(f(x)=\frac{1}{2}x^2\) sur l'intervalle \([1,2]\N). Évalue l'intégrale définie résultante à l'aide d'un système de calcul formel ou d'une calculatrice graphique.
Réponse :
Commence par utiliser la règle de puissance pour trouver la dérivée de la fonction
$$f'(x)=x,$$$
et utilise la formule de la longueur d'arc
$$\text{Longueur d'arc}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\,\mathrm{d}x.$$
Tu peux maintenant substituer \(a=1\), \(b=2\) et \(f'(x)=x\) dans la formule de la longueur de l'arc pour obtenir
$$\text{Longueur d'arc}=\int_1^2 \sqrt{1+x^2}\,\mathrm{d}x,$$
ce qui peut être fait avec la substitution trigonométrique. Malheureusement, c'est assez compliqué, alors tu peux utiliser un système de calcul formel pour évaluer l'intégrale définie :
$$\text{Longueur d'arc}\approx 1.8101.$$
Longueur de l'arc d'une courbe décrite par une équation
Jusqu'à présent, tu as étudié la longueur d'arc des courbes qui peuvent être décrites à l'aide de fonctions. Cependant, il est également possible de trouver la longueur d'arc des courbes qui sont décrites à l'aide d'équations, comme l'équation d'une circonférence
$$x^2+y^2=r^2.$$
L'équation ci-dessus, bien qu'elle ne soit pas une fonction, peut également être représentée graphiquement sur un système de coordonnées. Tu peux aussi trouver sa longueur d'arc ! L'approche est assez similaire, mais tu dois tenir compte de différents facteurs. Jette un coup d'œil à notre article sur la longueur d'arc en coordonnées polaires pour en savoir plus sur le sujet !
Longueur d'arc d'une courbe plane
Une courbe plane est une courbe que tu peux dessiner sur un plan. Tous les exemples ci-dessus sont des courbes sur un plan.
Il est important de le souligner car il est également possible d'avoir des courbes dans l'espace tridimensionnel, ce qui sort malheureusement du cadre de cet article.
Longueur d'arc d'une courbe paramétrique
Lorsque tu étudies la longueur d'arc d'une courbe, il se peut que tu tombes sur la longueur d'arc d'une courbe paramétrique. Cela fait référence à un autre sujet et n'entre pas dans le cadre de cet article. Pour plus d'informations, jette un coup d'œil à nos articles Calcul des courbes paramétriques et Longueur des courbes paramétriques.
Résumé
Longueur de l'arc d'une courbe - Principaux points à retenir
- La longueur d'une courbe peut être calculée approximativement en divisant la courbe en segments droits.
- Pour une fonction différentiable (f(x)\N) dont la dérivée est continue, la longueur exacte de l'arc de la courbe dans l'intervalle \N([a,b] \N) est donnée par $$\text{Arc Length}=\int_a^b \sqrt{1+(f'(x))^2}\N,\Nmathrm{d}x.$$
- Les intégrales définies impliquées dans le calcul de la longueur de l'arc sont assez complexes. L'utilisation de systèmes de calcul formel peut s'avérer extrêmement utile pour évaluer ces intégrales.
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