Importance des lois des limites
Tu peux te demander pourquoi les lois des limites en calcul sont importantes. Tu connais déjà la définition de la limite d'une fonction. Pourquoi ne pas simplement l'appliquer ? La raison est qu'il est beaucoup plus efficace de prouver une chose sur les fonctions en général que d'utiliser la définition pour chaque fonction. C'est la différence entre prouver que les chiens aiment jouer et prouver que mon chien aime jouer, ton chien aime jouer, le chien du voisin aime jouer... et ainsi de suite.
Les lois des limites en calcul
De nombreux manuels mentionnent les propriétés des limites énumérées ci-dessous, car ce sont les plus courantes. Parfois, ils s'y réfèrent même comme étant les 5 lois des limites.
Théorème : Propriétés des limites, également connues sous le nom de lois des limites.
Supposons que \(L\), \(M\), \(a\) et \(k\) soient des nombres réels, avec \(f\) et \(g\) étant des fonctions telles que :
\N-[lim_{x \N-rightarrow a} f(x)=L\N]
et
\N-[lim_{x \N-rightarrow a} g(x)=M\N].
Alors les points suivants sont valables :
Règle de la somme: \N(lim_{x \Nrightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M\N)
Règle dedifférence: \N(lim_{x \Nrightarrow a} (f(x)-g(x))=L-M\N)
Règle duproduit: \(lim_{x \rightarrow a} (f(x)+ \cdot g(x))=L \cdot M\)
Règledu multiple constant: \(lim_{x \rightarrow a} k \cdot f(x) = k \cdot L\)
Règle du quotient: Si \neq 0\) alors
\[lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}\]
Règle de puissance: Si \(r, s \n dans R \n), avec \n(s \nneq 0\n), alors
\N[lim_{x \Ndroite à droite a} \Ngauche( f(x) \Ndroite)^{r/s}=L^{r/s} \N]
à condition que \(L^{r/s}\) soit un nombre réel et que \(L>0\) lorsque \(s\) est pair.
Pour plus d'exemples sur la façon de trouver les limites de fonctions particulières, voir Trouver des limites. Pour un rappel sur la définition de la limite d'une fonction, voir Limites d'une fonction.
Il est essentiel de s'assurer que les conditions sont remplies avant d'appliquer les propriétés des limites. Voyons un exemple.
Prends
\N(f(x)=x\N) et \N(g(x)=\Ndfrac{1}{x}\N) et essayez de trouver :
\N[lim_{x \rightarrow 0} (f \cdot g)(x)\N].
Réponse :
Tu es probablement tenté d'utiliser la règle du produit pour les limites. Tu sais déjà que
\lim_{x \rightarrow 0} f(x)=0\]
Cependant, si tu essaies d'appliquer la définition de la limite pour \N(g(x)\N), tu peux voir que peu importe à quel point tu rapproches ta fenêtre \N(\Ndelta\N) de \N(a=0\N), cela ne fonctionnera pas parce que la fonction a une asymptote verticale à \N(x=0\N). Donc, \N(g(x)\N) n'a pas de limite à \N(a=0\N). Mais
\[lim_{x \rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))= lim_{x \rightarrow 0} \left( x \cdot \dfrac{1}{x} \cright)\]
\N-[lim_{x \N-rightarrow 0} (f(x) \cdot g(x))=lim_{x \N-rightarrow 0} (1)\N]
\N- [lim_{x \Nrightarrow 0} (f(x) \Ncdot g(x))=1\N]
ce qui n'est pas ce que tu obtiens lorsque tu multiplies \(0\) et quelque chose qui n'existe pas ! Ainsi, bien que la limite du produit existe, le produit des limites n'existe pas.
Calcul des limites à l'aide des lois des limites
Pour certaines fonctions, les lois sur les limites sont tellement utilisées qu'il est plus facile d'examiner des types de fonctions plutôt que des tas de fonctions. Il s'avère que les polynômes et les fonctions rationnelles sont particulièrement intéressants.
Définitions et lois des limites
Dans les exemples suivants, la définition de la limite a été utilisée pour montrer que
\[lim_{x \rightarrow a} x=a\]
et
\N- [lim_{x \Nrightarrow a} k=k\N]
où \(k\) est une constante. Voir Limites d'une fonction pour plus de détails sur l'application de la définition de la limite.
Prends la fonction
\Nf(x)=10x^3-2x+1\N]
et que \N(a\N) est un nombre réel constant. Trouve
\N- Lim_{x \rencontre a} f(x)\N]
Réponse :
En regardant attentivement, tu peux remarquer que la fonction est juste la somme et le produit des puissances de \(x\), avec la constante ! La condition requise pour utiliser nos lois sur les limites est donc remplie ! En les appliquant, on obtient :
\[lim_{x \rightarrow a} f(x) = lim_{x \rightarrow a} (10x^3-2x+1)\].
\N-[lim_{x \N-rightarrow a} f(x)= 10 (lim_{x \N-rightarrow a} x) (lim_{x \N-rightarrow a} x) (lim_{x \N-rightarrow a} x)- 2 (lim_{x \N-rightarrow a} x)+ (lim_{x \N-rightarrow a} 1) \N].
\N-[10a^3-2a+1\N]
Dans l'exemple ci-dessus, tu as examiné un polynôme spécifique et tu as trouvé que la limite existe. Il s'avère que tu peux procéder de la même façon (en utilisant la règle de la somme, la règle de la constante et la règle de la puissance) pour trouver la limite de n'importe quel polynôme !
Si \(f(x)\) est un polynôme et que \(a\) est un nombre réel, alors
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\N]
Limites des fonctions rationnelles
Prendre la limite des fonctions rationnelles peut parfois être un défi. Pour plus d'exemples de techniques que tu peux utiliser pour les fonctions rationnelles, voir Trouver les limites de fonctions spécifiques.
Dans le cas où le point où tu veux prendre la limite se trouve dans le domaine de la fonction rationnelle, prendre la limite n'est pas difficile. Prends
\[f(x)= \dfrac{x^2+3}{x-1}\]
et trouve la limite lorsque \(x \Nfréquence 4\N).
Réponse :
Tout d'abord, demande-toi si \(x=4\) est dans le domaine de la fonction. Il s'avère que c'est le cas, et en fait
\[f(4)=\dfrac{4^2+3}{4-1}=\dfrac{16+3}{3}=\dfrac{19}{3}\].
L'utilisation de la règle du quotient t'indique donc que
\[lim_{x \rightarrow 4} = \dfrac{19}{3}\]
Comme pour les polynômes, tu peux dire ce qui suit à propos des fonctions rationnelles :
Si \(f(x)\Nest une fonction rationnelle et si \N(a\N) est un nombre réel dans le domaine de \N(f(x)\N), alors
\[lim_{x \rightarrow a} f(x)=f(a)\N]
Exemples utilisant les lois des limites
Plutôt que de regarder une fonction avec une définition, parfois tout ce que tu sais, ce sont certaines propriétés des fonctions impliquées, et tu devras utiliser les lois des limites pour tirer des conclusions sur les fonctions.
Supposons que
\N(lim_{x \Nrightarrow 7} f(x)=3\N) et \N(lim_{x \Nrightarrow 7} g(x) =-1\N).
Si possible, trouve ce qui suit :
\N[lim_{x \Nrightarrow 7} (f+g)(x)\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrow 7} 4g(x)\N]
\N-[lim_{x \N-rightarrow 7} \N-[lim_{x \N-rightarrow 7} \N-[lim_{x \N-[lim_{x \N-rightarrow 7} \N-](x)\N]
et
\N-[lim_{x \rrowrow 7} \Nsqrt{g(x)}]
Réponse :
1. Pour trouver
\[lim_{x \rightarrow 7} (f+g)(x)\]
toutes les conditions sont remplies pour appliquer la règle de la somme, donc
\[lim_{x \N-rightarrow 7} (f+g)(x)=lim_{x \N-rightarrow 7} f(x) + lim_{x \N-rightarrow 7} g(x)\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrow 7} (f+g)(x)=3+(-1)\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrow 7} (f+g)(x)=2\N]
2. Tu peux utiliser la règle de la constante pour la suivante, donc
\N- [lim_{x \Nrightarrow 7} 4g(x)=4 lim_{x \Nrightarrow 7} g(x)\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrow 7} 4g(x)=4(-1)\N]
\N-[lim_{x \Nrightarrow 7} 4g(x)=-4 \N]
3. Puisque la limite de \(g(x)\) en tant que \(x \N-rightarrow 7\N) n'est pas égale à zéro, tu peux appliquer la règle du quotient pour voir que
\N-[lim_{x \N-{rightarrow 7}] \left( \dfrac{f}{g} \right)=\dfrac{\lim_{x \rightarrow 7}f(x)}{lim_{x \rightarrow 7} g(x)}=\dfrac{3}{-1}=-3\]
4. La dernière est un peu plus difficile. Ici ,
\[lim_{x \rightarrow 7} \sqrt{g(x)}=lim_{x \rightarrow 7}\sqrt{-1}\]
Tu ne peux pas prendre la racine carrée d'un nombre négatif et obtenir un nombre réel en retour, donc tu ne peux pas l'évaluer. Cela signifie que tu ne peux pas trouver
\[lim_{x \rightarrow 7} \sqrt{g(x)}\]
Lois des limites - Principaux enseignements
Supposons que \(L\), \(M\), \(a\) et \(k\) sont des nombres réels, avec \(f\) et \(g\) étant des fonctions telles que :
\N(lim_{x \Nrightarrow a} f(x)=L\N) et \N(lim_{x \Nrightarrow a} g(x)=M\N).
Alors les points suivants sont valables :
Règle de la somme: \N(lim_{x \Nrightarrow a} (f(x)+g(x))=L+M\N)
Règle dedifférence: \N(lim_{x \Nrightarrow a} (f(x)-g(x))=L-M\N)
Règle duproduit: \(lim_{x \rightarrow a} (f(x) \cdot g(x))L \cdot M\)
Règledu multiple constant: \(lim_{x \rightarrow a} k \cdot f(x)=k \cdot L\)
Règledu quotient: Si \ (M \neq 0\) alors \[lim_{x \rightarrow a} \dfrac{f(x)}{g(x)}=\dfrac{L}{M}\]
Règle de puissance: Si \ (r, s, \Nen Z\N), avec \N(s \Nneq 0\N), alors \N[lim_{x \Nrightarrow a} (f(x))^{r/s}=L{r/s}\N]
à condition que \(L^{r/s}\) soit un nombre réel et que \ (L>0\) lorsque \(s\) est pair.
- Si \( f(x)\) est un polynôme et \(a\)est un nombre réel, alors \[lim_{x \rrowarrow a} f(x)=f(a)\].
Si \(f(x)\Nest une fonction rationnelle et que \N (a\N) est un nombre réel dans le domaine de \N (f(x)\N), alors \N[lim_{x \Nrightarrow a} f(x)=f(a)\N].
Assure-toi toujours que les conditions d'utilisation de l'une des lois sur les limites sont remplies avant de l'utiliser !
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